Metoda maximă și minimă a lui Fermat

În 1637, Fermat , în manuscrisul său intitulat Methodus ad disquierendam maximam et minimam , a propus o metodă pentru calcularea valorilor maxime și minime ale unei funcții $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ . Principiul pe care s-a bazat este foarte apropiat de conceptul de derivat înțeles ca limita a raportului incremental , chiar dacă la momentul respectiv conceptul de limită nu era încă cunoscut. Metoda propusă se bazează pe presupunerea că:

dacă o funcție dată $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ are un maxim sau un minim la punctul respectiv $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , apoi alegeți o cantitate $\;e$ ${\ displaystyle \; e}$ $\;Și$ în mod arbitrar mic, funcția $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ evaluat în $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , sau $f(a)$ ${\ displaystyle f (a)}$ $face)$ , este aproximativ egal cu $f(a+e)$ ${\ displaystyle f (a + e)}$ ${\ displaystyle f (a + e)}$ .

În special, avem:

f(a+e)-f(a)\approx 0,

{\ displaystyle f (a + e) ​​-f (a) \ approx 0,}

{\ displaystyle f (a + e) ​​-f (a) \ approx 0,}

Si deasemenea

{\frac {f(a+e)-f(a)}{e}}\approx 0.

{\ displaystyle {\ frac {f (a + e) ​​-f (a)} {e}} \ approx 0.}

{\ displaystyle {\ frac {f (a + e) ​​-f (a)} {e}} \ approx 0.}

Prin simplificarea ultimei expresii pentru a elimina termenul $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ în numitor și ulterior prin plasare $e=0$ ${\ displaystyle e = 0}$ ${\ displaystyle e = 0}$ , obținem o ecuație în necunoscut $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ .

Exemplu

Dat un dreptunghi $LA B. C. D.$ ${\ displaystyle ABCD}$ $ABCD$ din care se cunoaște jumătatea perimetrului $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , vi se cere să determinați marginile $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ Și $B. C.$ ${\ displaystyle BC}$ $Î.Hr.$ care maximizează zona ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ .

Se știe că, pentru a avea suprafață maximă, trebuie să fie $AB=BC={\frac {p}{2}}$ ${\ displaystyle AB = BC = {\ frac {p} {2}}}$ $AB = BC = {\ frac {p} {2}}$ . Aici vrem să aplicăm metoda maximă și minimă a lui Fermat pentru a obține același rezultat. Cu referire la figura, numită $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ abscisa punctului $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , zona ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ este dat de:

{\mathcal {A}}(x)=x(p-x).

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} (x) = x (px).}

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} (x) = x (p-x).}

Se scrie apoi:

{\frac {{\mathcal {A}}(x+e)-{\mathcal {A}}(x)}{e}}\approx 0.

{\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {A}} (x + e) ​​- {\ mathcal {A}} (x)} {e}} \ approx 0.}

{\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {A}} (x + e) ​​- {\ mathcal {A}} (x)} {e}} \ approx 0.}

Se simplifică eliminarea $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ în numitor.

Se ridică $e=0$ ${\ displaystyle e = 0}$ ${\ displaystyle e = 0}$

În cele din urmă obținem:

\;p-2x\approx 0\Longrightarrow x\approx {\frac {p}{2}},

{\ displaystyle \; p-2x \ approx 0 \ Longrightarrow x \ approx {\ frac {p} {2}},}

{\ displaystyle \; p-2x \ approx 0 \ Longrightarrow x \ approx {\ frac {p} {2}},}

care este rezultatul scontat. Fermat aplică această metodă pentru a determina ecuația tangentei la o curbă într-un punct dat $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Această aplicație este cunoscută sub numele de metoda tangentă a lui Fermat

Metoda tangentă a lui Fermat

În manuscrisul De tangentibus linearum curvarum , Fermat propune o aplicare a metodei sale pentru a determina maximele și minimele unei funcții $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ , cunoscută sub numele de „Metoda maximă și minimă a lui Fermat”, pentru a determina tangenta, la un moment dat $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , la o linie curbată de ecuație $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ .

Procedura propusă de Fermat este reconstruită mai jos .

Luați în considerare curba concavă prezentată în figură. Scopul este de a determina tangenta la punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Este definit odată cunoscut subtangenta carteziană $t=EX$ ${\ displaystyle t = EX}$ ${\ displaystyle t = EX}$ . Spus $h(x)$ ${\ displaystyle h (x)}$ $h (x)$ ecuația liniei tangente la punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , metoda maximă și minimă se aplică funcției:

g(x)=h(x)-f(x),

{\ displaystyle g (x) = h (x) -f (x),}

{\ displaystyle g (x) = h (x) -f (x),}

(în figură ia în considerare segmentul $C. D.$ ${\ displaystyle CD}$ $CD$ ), care are un minim la punctul respectiv $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ de tangență. Pentru metoda maximă și minimă, la punctul $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ de minim, avem:

{\frac {g(a+e)-g(a)}{e}}\approx 0.

{\ displaystyle {\ frac {g (a + e) ​​-g (a)} {e}} \ approx 0.}

{\ displaystyle {\ frac {g (a + e) ​​-g (a)} {e}} \ approx 0.}

Mai mult, a fi $g(a)=0$ ${\ displaystyle g (a) = 0}$ ${\ displaystyle g (a) = 0}$ , precedentul devine:

{\frac {g(a+e)}{e}}\approx 0.

{\ displaystyle {\ frac {g (a + e)} {e}} \ approx 0.}

{\ displaystyle {\ frac {g (a + e)} {e}} \ approx 0.}

Prin urmare, vom încerca să scriem această ultimă expresie în așa fel încât să obținem o ecuație în care singura necunoscută este subtangenta $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Cu referire la figură, pentru al doilea criteriu de similaritate , triunghiurile $C. LA ȘI$ ${\ displaystyle CAE}$ ${\ displaystyle CAE}$ Și $P. X ȘI$ ${\ displaystyle PXE}$ ${\ displaystyle PXE}$ sunt asemănătoare între ele. Din care avem:

CA:AE=PX:XE

{\ displaystyle CA: AE = PX: XE}

{\ displaystyle CA: AE = PX: XE}

CA={\frac {AE\cdot PX}{XE}}

{\ displaystyle CA = {\ frac {AE \ cdot PX} {XE}}}

{\ displaystyle CA = {\ frac {AE \ cdot PX} {XE}}}

g(x+e)+f(x+e)={\frac {(t+e)\cdot f(x)}{t}}

{\ displaystyle g (x + e) ​​+ f (x + e) ​​= {\ frac {(t + e) ​​\ cdot f (x)} {t}}}

{\ displaystyle g (x + e) ​​+ f (x + e) ​​= {\ frac {(t + e) ​​\ cdot f (x)} {t}}}

Dividend de $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ primesti:

{\frac {g(x+e)}{e}}={\frac {{\frac {(t+e)\cdot f(x)}{t}}-f(x+e)}{e}}\approx 0.

{\ displaystyle {\ frac {g (x + e)} {e}} = {\ frac {{\ frac {(t + e) ​​\ cdot f (x)} {t}} - f (x + e)} {e}} \ aproximativ 0.}

{\ displaystyle {\ frac {g (x + e)} {e}} = {\ frac {{\ frac {(t + e) ​​\ cdot f (x)} {t}} - f (x + e)} {e}} \ aproximativ 0.}

În cele din urmă, procedura de determinare a minimului $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ :

simplifică ștergerea parametrului $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ în numitor;
apare $e=0$ ${\ displaystyle e = 0}$ ${\ displaystyle e = 0}$ ;
obținem astfel o ecuație în necunoscut $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , aceasta este sub-tangenta căutată.

O altă interpretare poate fi următoarea: considerată ultima expresie găsită în stabilirea numitorului egal cu $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ noi obținem

f(x+e)={\frac {t+e}{e}}f(x).

{\ displaystyle f (x + e) ​​= {\ frac {t + e} {e}} f (x).}

{\ displaystyle f (x + e) ​​= {\ frac {t + e} {e}} f (x).}

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică