Metoda Delta

În statistici și econometrie , metoda delta este o modalitate de a obține distribuția aproximativă a probabilității unei funcții a unui estimatordistribuit în mod normal asimptotic, cunoscând varianța asimptotică a acelui estimator. În termeni generali, metoda delta poate fi considerată o versiune generalizată a teoremei limitei centrale .

Formulări ale rezultatului

Caz univariat

Metoda delta poate fi aplicată fără probleme în cazul variabilelor aleatorii multidimensionale; cu toate acestea, în cazul univariat, se poate da o demonstrație de înțelegere imediată, după cum urmează. Este $\left\{X_{n}\right\}_{n}$ ${\ displaystyle \ left \ {X_ {n} \ right \} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ left \ {X_ {n} \ right \} _ {n}}$ o succesiune de variabile aleatorii care satisfac:

{\sqrt {n}}\left(X_{n}-\vartheta \right)\ {\xrightarrow {\mathcal {D}}}\ {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})

{\ displaystyle {\ sqrt {n}} \ left (X_ {n} - \ vartheta \ right) \ {\ xrightarrow {\ mathcal {D}}} \ {\ mathcal {N}} (0, \ sigma ^ { 2})}

{\ displaystyle {\ sqrt {n}} \ left (X_ {n} - \ vartheta \ right) \ {\ xrightarrow {\ mathcal {D}}} \ {\ mathcal {N}} (0, \ sigma ^ { 2})}

unde este $\vartheta$ ${\ displaystyle \ vartheta}$ $\ vartheta$ Și $\sigma ^{2}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$ $\ sigma ^ {2}$ sunt constante reale și ${\xrightarrow {\mathcal {D}}}$ ${\ displaystyle {\ xrightarrow {\ mathcal {D}}}}$ ${\ displaystyle {\ xrightarrow {\ mathcal {D}}}}$ denotă convergență în distribuție ; este de asemenea $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ o funcție continuă și astfel încât $g'(\vartheta )\neq 0$ ${\ displaystyle g '(\ vartheta) \ neq 0}$ ${\ displaystyle g '(\ vartheta) \ neq 0}$ . Se pare că:

{\sqrt {n}}\left(g(X_{n})-g(\vartheta )\right)\ {\xrightarrow {\mathcal {D}}}\ {\mathcal {N}}\left(0,\sigma ^{2}\left(g'(\vartheta )\right)^{2}\right)

{\ displaystyle {\ sqrt {n}} \ left (g (X_ {n}) - g (\ vartheta) \ right) \ {\ xrightarrow {\ mathcal {D}}} \ {\ mathcal {N}} \ left (0, \ sigma ^ {2} \ left (g '(\ vartheta) \ right) ^ {2} \ right)}

{\ displaystyle {\ sqrt {n}} \ left (g (X_ {n}) - g (\ vartheta) \ right) \ {\ xrightarrow {\ mathcal {D}}} \ {\ mathcal {N}} \ left (0, \ sigma ^ {2} \ left (g '(\ vartheta) \ right) ^ {2} \ right)}

Demonstrație

Asumand $g'(\vartheta )$ ${\ displaystyle g '(\ vartheta)}$ ${\ displaystyle g '(\ vartheta)}$ este continuă, o dovadă elementară a rezultatului în cazul univariat poate fi dată după cum urmează. Luați în considerare dezvoltarea seriei Taylor , arestată la prima comandă, a $g(X_{n})$ ${\ displaystyle g (X_ {n})}$ ${\ displaystyle g (X_ {n})}$ , centrat în $\vartheta$ ${\ displaystyle \ vartheta}$ $\ vartheta$ :

g(X_{n})=g(\vartheta )+g'({\tilde {\vartheta }})(X_{n}-\vartheta )

{\ displaystyle g (X_ {n}) = g (\ vartheta) + g '({\ tilde {\ vartheta}}) (X_ {n} - \ vartheta)}

{\ displaystyle g (X_ {n}) = g (\ vartheta) + g '({\ tilde {\ vartheta}}) (X_ {n} - \ vartheta)}

unde este ${\tilde {\vartheta }}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ vartheta}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ vartheta}}}$ se află undeva între ele $X_{n}$ ${\ displaystyle X_ {n}}$ $X_ {n}$ Și $\vartheta$ ${\ displaystyle \ vartheta}$ $\ vartheta$ . Clar $X_{n}{\xrightarrow {\mathcal {P}}}\vartheta$ ${\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {\ mathcal {P}}} \ vartheta}$ ${\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {\ mathcal {P}}} \ vartheta}$ (unde este ${\xrightarrow {\mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle {\ xrightarrow {\ mathcal {P}}}}$ ${\ displaystyle {\ xrightarrow {\ mathcal {P}}}}$ denotă convergența în probabilitate ) implică ${\tilde {\vartheta }}{\xrightarrow {\mathcal {P}}}\vartheta$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ vartheta}} {\ xrightarrow {\ mathcal {P}}} \ vartheta}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ vartheta}} {\ xrightarrow {\ mathcal {P}}} \ vartheta}$ ; întrucât se presupune că $g'(\vartheta )$ ${\ displaystyle g '(\ vartheta)}$ ${\ displaystyle g '(\ vartheta)}$ este continuu, dintr-o aplicare imediată a teoremei lui Slutsky rezultă:

g'({\tilde {\vartheta }}){\xrightarrow {\mathcal {P}}}g'(\vartheta )

{\ displaystyle g '({\ tilde {\ vartheta}}) {\ xrightarrow {\ mathcal {P}}} g' (\ vartheta)}

{\ displaystyle g '({\ tilde {\ vartheta}}) {\ xrightarrow {\ mathcal {P}}} g' (\ vartheta)}

Rearanjarea termenilor din dezvoltarea lui Taylor și înmulțirea cu constanta pozitivă ${\sqrt {n}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {n}}}$ $\ sqrt {n}$ avem: