Teorema lui Slutsky

Probabil , teorema lui Slutsky este un rezultat fundamental asupra convergenței variabilelor aleatorii , atribuită lui Evgeni Evgenievici Sluckij .

Enunțarea teoremei

Lasa-i sa fie $\{X_{n}\}_{n}$ ${\ displaystyle \ {X_ {n} \} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {n} \} _ {n}}$ Și $\{Y_{n}\}_{n}$ ${\ displaystyle \ {Y_ {n} \} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ {Y_ {n} \} _ {n}}$ două secvențe de variabile aleatorii astfel încât $\{X_{n}\}_{n}$ ${\ displaystyle \ {X_ {n} \} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {n} \} _ {n}}$ converge în distribuție la o variabilă aleatorie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $\{Y_{n}\}_{n}$ ${\ displaystyle \ {Y_ {n} \} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ {Y_ {n} \} _ {n}}$ converge în probabilitate la o constantă reală $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ . Atunci:

$\{X_{n}+Y_{n}\}_{n}$ ${\ displaystyle \ {X_ {n} + Y_ {n} \} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {n} + Y_ {n} \} _ {n}}$ converge în distribuție a $X+c$ ${\ displaystyle X + c}$ ${\ displaystyle X + c}$ ;
$\{Y_{n}X_{n}\}_{n}$ ${\ displaystyle \ {Y_ {n} X_ {n} \} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ {Y_ {n} X_ {n} \} _ {n}}$ converge în distribuție a $c X$ ${\ displaystyle cX}$ ${\ displaystyle cX}$ ;
$\{X_{n}/Y_{n}\}_{n}$ ${\ displaystyle \ {X_ {n} / Y_ {n} \} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {n} / Y_ {n} \} _ {n}}$ converge în distribuție a $X/c$ ${\ displaystyle X / c}$ ${\ displaystyle X / c}$ , de sine $c\neq 0$ ${\ displaystyle c \ neq 0}$ ${\ displaystyle c \ neq 0}$ .

Generalizări

În aceleași ipoteze ca mai sus, avem asta $\{g(X_{n},Y_{n})\}_{n}$ ${\ displaystyle \ {g (X_ {n}, Y_ {n}) \} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ {g (X_ {n}, Y_ {n}) \} _ {n}}$ converge în distribuție a $g(X,c)$ ${\ displaystyle g (X, c)}$ ${\ displaystyle g (X, c)}$ pentru fiecare funcție $g:\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R}$ ${\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {2} \ mapsto \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {2} \ mapsto \ mathbb {R}}$ continuă.

Elemente conexe

Lema lui Slutsky

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică