Lema lui Slutsky

Lema lui Slutsky este una dintre aplicațiile teoremei lui Slutsky , folosită în special pentru a demonstra că continuitatea unei funcții $g:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {k} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {k} \ to \ mathbb {R}}$ este o condiție necesară și suficientă pentru conservarea convergenței în probabilitate .

Lemă

Afirmație

Lasa-i sa fie $X_{n}$ ${\ displaystyle X_ {n}}$ $X_ {n}$ Și $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ variabile aleatorii k-dimensionale; Consider $g:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {k} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {k} \ to \ mathbb {R}}$ continuă și presupun că $X_{n}{\stackrel {p}{\rightarrow }}X$ ${\ displaystyle X_ {n} {\ stackrel {p} {\ rightarrow}} X}$ ${\ displaystyle X_ {n} {\ stackrel {p} {\ rightarrow}} X}$ . Atunci:

$g(X_{n}){\stackrel {p}{\rightarrow }}g(X)$ ${\ displaystyle g (X_ {n}) {\ stackrel {p} {\ rightarrow}} g (X)}$ ${\ displaystyle g (X_ {n}) {\ stackrel {p} {\ rightarrow}} g (X)}$

Dovadă (carcasă unidimensională)

Fix $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ . Consider un compact $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ tc $P(X\notin S)\leq {\frac {1}{2}}\varepsilon$ ${\ displaystyle P (X \ notin S) \ leq {\ frac {1} {2}} \ varepsilon}$ ${\ displaystyle P (X \ notin S) \ leq {\ frac {1} {2}} \ varepsilon}$ . Asa de: $P(X\in S)\geq 1-{\frac {1}{2}}\varepsilon$ ${\ displaystyle P (X \ in S) \ geq 1 - {\ frac {1} {2}} \ varepsilon}$ ${\ displaystyle P (X \ in S) \ geq 1 - {\ frac {1} {2}} \ varepsilon}$ . Din teorema Heine-Cantor , știu că o funcție continuă pe un compact este, de asemenea, uniformă , adică

\forall \eta >0,\exists \delta >0

{\ displaystyle \ forall \ eta> 0, \ există \ delta> 0}

{\ displaystyle \ forall \ eta> 0, \ există \ delta> 0}

tc dacă

\{X\in S,|X-Y|\leq \delta \}

{\ displaystyle \ {X \ în S, | XY | \ leq \ delta \}}

{\ displaystyle \ {X \ în S, | X-Y | \ leq \ delta \}}

asa de

\{|g(X)-g(Y)|<\eta \}

{\ displaystyle \ {| g (X) -g (Y) | <\ age \}}

{\ displaystyle \ {| g (X) -g (Y) | <\ age \}}

.

Prin ipoteză știu că $X_{n}{\stackrel {p}{\rightarrow }}X$ ${\ displaystyle X_ {n} {\ stackrel {p} {\ rightarrow}} X}$ ${\ displaystyle X_ {n} {\ stackrel {p} {\ rightarrow}} X}$ , acesta este