Metoda Lax-Wendroff

Metoda Lax-Wendroff , așa numită din numele matematicienilor Peter Lax și Burton Wendroff , este o metodă numerică bazată pe diferențe finite , utilizată pentru a rezolva într-un mod aproximativ ecuații sau sisteme de ecuații diferențiale parțiale hiperbolice , cum ar fi legile de conservare , cu precizie de ordinul doi în spațiu și timp. ^[1] Este o metodă temporală explicită, în care valoarea soluției aproximate la un moment dat depinde în mod explicit doar de valorile soluției la momentul anterior.

Introducere

Metoda Lax-Wendroff, precum și celelalte metode de diferență finită, prevede subdivizarea domeniului spațiu-timp al ecuației într-un set discret de puncte ( mesh ) $\left\{x_{i},t_{n}\right\}$ ${\ displaystyle \ left \ {x_ {i}, t_ {n} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {x_ {i}, t_ {n} \ right \}}$ , printr-un interval de discretizare spațială $\Delta x$ ${\ displaystyle \ Delta x}$ $\ Delta x$ și un interval de discretizare a timpului (sau pas de timp ) $\Delta t$ ${\ displaystyle \ Delta t}$ $\ Delta t$ ; derivatele parțiale (spațiale și temporale) prezente în ecuația diferențială sunt apoi înlocuite cu aproximările lor discrete, mai ușor de calculat numeric. În cele din urmă, metoda permite calcularea unei valori aproximative în fiecare punct al ochiului $u_{i}^{n}$ ${\ displaystyle u_ {i} ^ {n}}$ ${\ displaystyle u_ {i} ^ {n}}$ a soluției reale $u\left(x_{i},t_{n}\right)$ ${\ displaystyle u \ left (x_ {i}, t_ {n} \ right)}$ ${\ displaystyle u \ left (x_ {i}, t_ {n} \ right)}$ . ^[2]

Formulare

Stencil legat de metoda Lax-Wendroff.

Cea mai simplă formulare a metodei are ca scop găsirea unei soluții aproximative la ecuația de advecție liniară:

{\frac {\partial u\left(x,t\right)}{\partial t}}+\lambda {\frac {\partial u\left(x,t\right)}{\partial x}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u \ left (x, t \ right)} {\ partial t}} + \ lambda {\ frac {\ partial u \ left (x, t \ right)} {\ partial x }} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u \ left (x, t \ right)} {\ partial t}} + \ lambda {\ frac {\ partial u \ left (x, t \ right)} {\ partial x }} = 0}

unde este $u\left(x,t\right)$ ${\ displaystyle u \ left (x, t \ right)}$ ${\ displaystyle u \ left (x, t \ right)}$ este o cantitate scalară, variabilă în timp și spațiu, care constituie necunoscutul problemei, e $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este viteza locală de propagare în mediu. Dezvoltarea soluției reale din seria Taylor $u(x_{i},t_{n+1})$ ${\ displaystyle u (x_ {i}, t_ {n + 1})}$ ${\ displaystyle u (x_ {i}, t_ {n + 1})}$ în funcție de variabila de timp pe care o avem:

u(x_{i},t_{n+1})=u(x_{i},t_{n})+\Delta t{\frac {\partial u\left(x_{i},t_{n}\right)}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\Delta t^{2}{\frac {\partial ^{2}u\left(x_{i},t_{n}\right)}{\partial t^{2}}}+O\left(\Delta t^{2}\right).

{\ displaystyle u (x_ {i}, t_ {n + 1}) = u (x_ {i}, t_ {n}) + \ Delta t {\ frac {\ partial u \ left (x_ {i}, t_ {n} \ right)} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ Delta t ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} u \ left (x_ {i}, t_ {n} \ right)} {\ partial t ^ {2}}} + O \ left (\ Delta t ^ {2} \ right).}

{\ displaystyle u (x_ {i}, t_ {n + 1}) = u (x_ {i}, t_ {n}) + \ Delta t {\ frac {\ partial u \ left (x_ {i}, t_ {n} \ right)} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} \ Delta t ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} u \ left (x_ {i}, t_ {n} \ right)} {\ partial t ^ {2}}} + O \ left (\ Delta t ^ {2} \ right).}

Prin înlocuirea derivatelor de timp cu derivatele spațiale corespunzătoare,

{\frac {\partial u\left(x,t\right)}{\partial t}}=-\lambda {\frac {\partial u\left(x,t\right)}{\partial x}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u \ left (x, t \ right)} {\ partial t}} = - \ lambda {\ frac {\ partial u \ left (x, t \ right)} {\ partial X}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u \ left (x, t \ right)} {\ partial t}} = - \ lambda {\ frac {\ partial u \ left (x, t \ right)} {\ partial X}}}

Și

{\frac {\partial ^{2}u\left(x,t\right)}{\partial t^{2}}}=\lambda ^{2}{\frac {\partial ^{2}u\left(x,t\right)}{\partial x^{2}}},

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u \ left (x, t \ right)} {\ partial t ^ {2}}} = \ lambda ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2 } u \ left (x, t \ right)} {\ partial x ^ {2}}},}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u \ left (x, t \ right)} {\ partial t ^ {2}}} = \ lambda ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2 } u \ left (x, t \ right)} {\ partial x ^ {2}}},}

Dezvoltarea soluției de către Taylor devine:

u(x_{i},t_{n+1})=u(x_{i},t_{n})-\Delta t\,\lambda {\frac {\partial u\left(x,t\right)}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\Delta t^{2}\,\lambda ^{2}{\frac {\partial ^{2}u\left(x,t\right)}{\partial x^{2}}}+O\left(\Delta t^{2}\right).

{\ displaystyle u (x_ {i}, t_ {n + 1}) = u (x_ {i}, t_ {n}) - \ Delta t \, \ lambda {\ frac {\ partial u \ left (x, t \ right)} {\ partial x}} + {\ frac {1} {2}} \ Delta t ^ {2} \, \ lambda ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} u \ left (x, t \ right)} {\ partial x ^ {2}}} + O \ left (\ Delta t ^ {2} \ right).}

{\ displaystyle u (x_ {i}, t_ {n + 1}) = u (x_ {i}, t_ {n}) - \ Delta t \, \ lambda {\ frac {\ partial u \ left (x, t \ right)} {\ partial x}} + {\ frac {1} {2}} \ Delta t ^ {2} \, \ lambda ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} u \ left (x, t \ right)} {\ partial x ^ {2}}} + O \ left (\ Delta t ^ {2} \ right).}

În cele din urmă, derivatele spațiale sunt înlocuite cu aproximările respective la diferențele finite centrate,

{\frac {\partial u\left(x,t\right)}{\partial x}}\approx {\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2\Delta x}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u \ left (x, t \ right)} {\ partial x}} \ approx {\ frac {u_ {i + 1} ^ {n} -u_ {i-1} ^ {n}} {2 \ Delta x}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u \ left (x, t \ right)} {\ partial x}} \ approx {\ frac {u_ {i + 1} ^ {n} -u_ {i-1} ^ {n}} {2 \ Delta x}}}

Și

{\frac {\partial ^{2}u\left(x,t\right)}{\partial x^{2}}}\approx {\frac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{\Delta x^{2}}},

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u \ left (x, t \ right)} {\ partial x ^ {2}}} \ approx {\ frac {u_ {i + 1} ^ {n} -2u_ {i} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n}} {\ Delta x ^ {2}}},}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u \ left (x, t \ right)} {\ partial x ^ {2}}} \ approx {\ frac {u_ {i + 1} ^ {n} -2u_ {i} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n}} {\ Delta x ^ {2}}},}

pentru a obține formularea finală a metodei:

u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\lambda \,{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left(u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}\right)+\lambda ^{2}\,{\frac {\Delta t^{2}}{2\Delta x^{2}}}\left(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right).

{\ displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = u_ {i} ^ {n} - \ lambda \, {\ frac {\ Delta t} {2 \ Delta x}} \ left (u_ {i + 1 } ^ {n} -u_ {i-1} ^ {n} \ right) + \ lambda ^ {2} \, {\ frac {\ Delta t ^ {2}} {2 \ Delta x ^ {2}} } \ left (u_ {i + 1} ^ {n} -2u_ {i} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n} \ right).}

{\ displaystyle u_ {i} ^ {n + 1} = u_ {i} ^ {n} - \ lambda \, {\ frac {\ Delta t} {2 \ Delta x}} \ left (u_ {i + 1 } ^ {n} -u_ {i-1} ^ {n} \ right) + \ lambda ^ {2} \, {\ frac {\ Delta t ^ {2}} {2 \ Delta x ^ {2}} } \ left (u_ {i + 1} ^ {n} -2u_ {i} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n} \ right).}

^[3]

Prin urmare, schema Lax-Wendroff permite obținerea unei aproximări a soluției ecuației diferențiale în fiecare punct spațial $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ domeniu instantaneu $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ plecând de la cunoașterea soluției în trei puncte instantaneu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ : $u_{i-1}^{n},u_{i}^{n},u_{i+1}^{n}$ ${\ displaystyle u_ {i-1} ^ {n}, u_ {i} ^ {n}, u_ {i + 1} ^ {n}}$ ${\ displaystyle u_ {i-1} ^ {n}, u_ {i} ^ {n}, u_ {i + 1} ^ {n}}$ . O reprezentare alternativă a metodei este obținută prin definirea numărului Courant $\alpha ={\frac {\lambda \Delta t}{\Delta x}}$ ${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ lambda \ Delta t} {\ Delta x}}}$ ${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ lambda \ Delta t} {\ Delta x}}}$ :

{\begin{aligned}u_{i}^{n+1}&=u_{i}^{n}-{\frac {1}{2}}\alpha \left(u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}\right)+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right)\\&={\frac {1}{2}}\alpha \left(1+\alpha \right)u_{i-1}^{n}+\left(1-\alpha ^{2}\right)u_{i}^{n}-{\frac {1}{2}}\alpha \left(1-\alpha \right)u_{i+1}^{n}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} u_ {i} ^ {n + 1} & = u_ {i} ^ {n} - {\ frac {1} {2}} \ alpha \ left (u_ {i + 1 } ^ {n} -u_ {i-1} ^ {n} \ right) + {\ frac {1} {2}} \ alpha ^ {2} \ left (u_ {i + 1} ^ {n} - 2u_ {i} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n} \ right) \\ & = {\ frac {1} {2}} \ alpha \ left (1+ \ alpha \ right) u_ { i-1} ^ {n} + \ left (1- \ alpha ^ {2} \ right) u_ {i} ^ {n} - {\ frac {1} {2}} \ alpha \ left (1- \ alfa \ dreapta) u_ {i + 1} ^ {n}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} u_ {i} ^ {n + 1} & = u_ {i} ^ {n} - {\ frac {1} {2}} \ alpha \ left (u_ {i + 1 } ^ {n} -u_ {i-1} ^ {n} \ right) + {\ frac {1} {2}} \ alpha ^ {2} \ left (u_ {i + 1} ^ {n} - 2u_ {i} ^ {n} + u_ {i-1} ^ {n} \ right) \\ & = {\ frac {1} {2}} \ alpha \ left (1+ \ alpha \ right) u_ { i-1} ^ {n} + \ left (1- \ alpha ^ {2} \ right) u_ {i} ^ {n} - {\ frac {1} {2}} \ alpha \ left (1- \ alfa \ dreapta) u_ {i + 1} ^ {n}. \ end {align}}}

^[1] ^[4]

Stabilitate

Stabilitatea metodei, precum și acuratețea și convergența numerică a soluției, depind în mod clar de discretizarea spațiu-timp efectuată. În special, trebuie evitat ca aplicarea metodei să nu conducă la o creștere necontrolată a soluției sau la rezultate extrem de incorecte. Stabilitatea metodei Lax-Wendroff este garantată prin adoptarea unor pași de timp suficient de mici pentru a menține numărul Courant întotdeauna mai mic de 1 în valoare absolută ^[5] : cu toate acestea, cele mai bune rezultate se obțin atunci când valoarea absolută a numărului Courant este aproape de 1. ^[6]

Notă

^ ^a ^b Taur , p. 173 .
^ Taur , pp. 163-167 .
^ LeVeque, Metode numerice , p. 101 .
^ (EN) Metoda Lax-Wendroff , pe Enciclopedia Matematicii, Springer. Adus pe 24 noiembrie 2016 .
^ (EN) Gilbert Strang, Acuratețe și stabilitate pentru $u_{t}=cu_{x}$ ${\ displaystyle u_ {t} = cu_ {x}}$ ${\ displaystyle u_ {t} = cu_ {x}}$ ( PDF ), pe MIT Open Courseware , Massachusetts Institute of Technology. Adus pe 24 noiembrie 2016 .
^ LeVeque, Metode de volum finit , pp. 100-102 .

Bibliografie

( EN ) Peter Lax și Burton Wendroff, Systems of Conservation Laws , în Comunicări despre matematică pură și aplicată , vol. 13, n. 2, Wiley, mai 1960, pp. 217-237, DOI : 10.1002 / cpa . 3160130205 .
( EN ) Eleuterio F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics , ediția a III-a, Berlin, Springer, 2009, ISBN 978-3-540-25202-3 .
(EN) Randall J. LeVeque, Metode numerice pentru legile conservării (PDF), ediția a II-a, Basel, Birkhäuser, 1992 ISBN 3-7643-2723-5 .
(EN) Randall J. LeVeque, Metode cu volum finit pentru probleme hiperbolice , Cambridge, Cambridge University Press, 2002, DOI : 10.1017 / CBO9780511791253 , ISBN 0-521-00924-3 .
( EN ) Charles Hirsch, Schemele explicite centrate pe spațiu de ordinul al doilea , în calculul numeric al fluxurilor interne și externe , vol. 2, John Wiley, 1990, ISBN 0-471-92452-0 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Metoda Lax-Wendroff , pe Enciclopedia Matematicii , Springer. Adus pe 3 iulie 2019 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[toro-1] Taur , p. 173 .

[2] Taur , pp. 163-167 .

[3] LeVeque, Metode numerice , p. 101 .

[4] (EN) Metoda Lax-Wendroff , pe Enciclopedia Matematicii, Springer. Adus pe 24 noiembrie 2016 .

[5] (EN) Gilbert Strang, Acuratețe și stabilitate pentru $u_{t}=cu_{x}$ ${\ displaystyle u_ {t} = cu_ {x}}$ ${\ displaystyle u_ {t} = cu_ {x}}$ ( PDF ), pe MIT Open Courseware , Massachusetts Institute of Technology. Adus pe 24 noiembrie 2016 .

[6] LeVeque, Metode de volum finit , pp. 100-102 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]