Model de compensare

În fizica matematică și în special în biologia matematică , un sistem dinamic definit de ecuația diferențială

{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=xr(x)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = xr (x)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = xr (x)}

unde este $r(x)$ ${\ displaystyle r (x)}$ $r (x)$ este rata de creștere pe cap de locuitor , se numește model de compensare dacă se verifică următoarele proprietăți:

$\left.{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right|_{x=0}=0$ ${\ displaystyle \ left. {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right | _ {x = 0} = 0}$ ${\ displaystyle \ left. {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right | _ {x = 0} = 0}$
într-un cartier al $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ rata de creștere ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}}}$ dezvoltă
de la un moment dat rata de creștere scade.

Grafic al ritmului de creștere într-un model cu compensare

În mod formal, aceste condiții se traduc în:

$r(x)\geq 0\qquad \forall \quad 0\leq x\leq K$ ${\ displaystyle r (x) \ geq 0 \ qquad \ forall \ quad 0 \ leq x \ leq K}$ ${\ displaystyle r (x) \ geq 0 \ qquad \ forall \ quad 0 \ leq x \ leq K}$
$r'(x)\geq 0\qquad \forall \quad 0\leq x\leq K^{*}\qquad$ ${\ displaystyle r '(x) \ geq 0 \ qquad \ forall \ quad 0 \ leq x \ leq K ^ {*} \ qquad}$ ${\ displaystyle r '(x) \ geq 0 \ qquad \ forall \ quad 0 \ leq x \ leq K ^ {*} \ qquad}$ unde este $K^{*}<K$ ${\ displaystyle K ^ {*} <K}$ ${\ displaystyle K ^ {*} <K}$
$r'(x)\leq 0\qquad \forall \quad K^{*}\leq x\leq K$ ${\ displaystyle r '(x) \ leq 0 \ qquad \ forall \ quad K ^ {*} \ leq x \ leq K}$ ${\ displaystyle r '(x) \ leq 0 \ qquad \ forall \ quad K ^ {*} \ leq x \ leq K}$
$r''(x)\leq 0\qquad \forall \quad 0\leq x\leq K$ ${\ displaystyle r '' (x) \ leq 0 \ qquad \ forall \ quad 0 \ leq x \ leq K}$ ${\ displaystyle r '' (x) \ leq 0 \ qquad \ forall \ quad 0 \ leq x \ leq K}$

Semnificație biologică

În cazul sistemelor biologice , adică dacă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ reprezintă o populație , modelul de compensare se caracterizează printr-o creștere ridicată a ratei de creștere pe cap de locuitor pentru o populație scăzută, până la o așezare care depășește un anumit număr de indivizi.

Un exemplu este cel al populațiilor care, în absența concurenței (adică atunci când există doar câțiva indivizi), se reproduc cu rate similare modelului Malthus și apoi scad rata reproducerii până când ating o rată zero atunci când populația atinge un punct de echilibru stabil (de exemplu cel egal cu capacitatea de încărcare în ecuația logistică ).

Elemente conexe

Portalul de biologie

Portalul Economiei

Portalul de matematică