Numărul Harshad

Un număr Harshad într-o bază dată este un întreg pozitiv divizibil cu suma cifrelor sale.

Definiția numerelor Harshad a fost dată de matematicianul indian Dattatreya Ramachandra Kaprekar . Termenul Harshad derivă din sanscrita „harṣa” care înseamnă „mare bucurie”. Aceste numere sunt uneori denumite și numere Niven , în cinstea matematicianului Ivan Morton Niven .

Definiție matematică

Dat fiind un număr întreg pozitiv $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ care, exprimat în bază $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , ambele $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ cifre $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ (cu $i=0,1,\ldots ,m-1$ ${\ displaystyle i = 0,1, \ ldots, m-1}$ ${\ displaystyle i = 0,1, \ ldots, m-1}$ ) (Rețineți că $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ trebuie să fie zero sau un număr întreg pozitiv mai mic decât $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ), asa de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ poate fi scris ca:

X=\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}n^{i}.

{\ displaystyle X = \ sum _ {i = 0} ^ {m-1} a_ {i} n ^ {i}.}

X = \ sum _ {{i = 0}} ^ {{m-1}} a_ {i} n ^ {i}.

Dacă există un număr întreg $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ astfel încât următoarea egalitate se menține, atunci $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un număr Harshad în bază $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ :

X=A\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}.

{\ displaystyle X = A \ sum _ {i = 0} ^ {m-1} a_ {i}.}

X = A \ sum _ {{i = 0}} ^ {{m-1}} a_ {i}.

Numere Harshad în baza 10

Primele numere de Harshad din baza 10 cu mai mult de o cifră sunt (secvența A005349 din OEIS ):

10 , 12 , 18 , 20 , 21 , 24 , 27 , 30 , 36 , 40 , 42 , 45 , 48 , 50 , 54 , 60 , 63 , 70 , 72 , 80 , 81 , 84 , 90 , 100 , 102 , 108 , 110 , 111 , 112 , 114 , 117 , 120 , 126 , 132 , 133 , 135 , 140 , 144 , 150 , 152 , 153 , 156 , 162 , 171 , 180 , 190 , 192 , 195 , 198 , 200 , 201 , 204 .

Numere consecutive Harshad

Helen Grundman a demonstrat în 1994 că, în baza 10, nu există secvențe de numere consecutive Harshad egale sau mai mari de 21 în lungime. Ea a identificat, de asemenea, prima secvență de 20 de numere consecutive: se află dincolo de $10^{44363342786}$ ${\ displaystyle 10 ^ {44363342786}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {44363342786}}$ .

Estimarea cantității de numere Harshad

Este $N(x)$ ${\ displaystyle N (x)}$ $N (x)$ funcția care returnează numărul de numere Harshad mai mic sau egal cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

Jean-Marie De Koninck și Nicolas Doyon au dovedit asta pentru orice $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ : $x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}$ ${\ displaystyle x ^ {1- \ varepsilon} \ ll N (x) \ ll {\ frac {x \ log \ log x} {\ log x}}}$ $x ^ {{1- \ varepsilon}} \ ll N (x) \ ll {\ frac {x \ log \ log x} {\ log x}}$ .

De Koninck, Doyon și Kátai au dovedit atunci acest lucru $c={\frac {14}{27}}\log 10\approx 1,1939$ ${\ displaystyle c = {\ frac {14} {27}} \ log 10 \ approx 1.1939}$ ${\ displaystyle c = {\ frac {14} {27}} \ log 10 \ approx 1.1939}$ : $N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}}$ ${\ displaystyle N (x) = (c + o (1)) {\ frac {x} {\ log x}}}$ $N (x) = (c + o (1)) {\ frac {x} {\ log x}}$ .

Ce numere pot fi sau nu numere Harshad?

Orice număr natural cu notație $n\cdot 10^{i}$ ${\ displaystyle n \ cdot 10 ^ {i}}$ ${\ displaystyle n \ cdot 10 ^ {i}}$ , unde este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este orice cifră cuprinsă între 1 și 9 și $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este orice număr întreg mai mare sau egal cu 0, este un număr Harshad, deoarece suma cifrelor sale este egală cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . ^[1]

Orice număr natural cu notație $n n n$ ${\ displaystyle nnn}$ ${\ displaystyle nnn}$ este de fapt un număr Harshad $nnn=n\cdot 10^{2}+n\cdot 10^{1}+n\cdot 10^{0}=n\cdot (100+10+1)=n\cdot 111=n\cdot (3\cdot 37)=(3\cdot n)\cdot 37$ ${\ displaystyle nnn = n \ cdot 10 ^ {2} + n \ cdot 10 ^ {1} + n \ cdot 10 ^ {0} = n \ cdot (100 + 10 + 1) = n \ cdot 111 = n \ cdot (3 \ cdot 37) = (3 \ cdot n) \ cdot 37}$ ${\ displaystyle nnn = n \ cdot 10 ^ {2} + n \ cdot 10 ^ {1} + n \ cdot 10 ^ {0} = n \ cdot (100 + 10 + 1) = n \ cdot 111 = n \ cdot (3 \ cdot 37) = (3 \ cdot n) \ cdot 37}$ , asa de $n n n$ ${\ displaystyle nnn}$ ${\ displaystyle nnn}$ este cu siguranță divizibil prin suma cifrelor sale, adică $3n$ ${\ displaystyle 3n}$ ${\ displaystyle 3n}$ . ^[2]

Cu o procedură analogă se poate arăta că fiecare număr natural cu notație $n\ldots n$ ${\ displaystyle n \ ldots n}$ ${\ displaystyle n \ ldots n}$ de lungime $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ egal cu orice putere naturală de 3, este un număr Harshad, de fapt poate fi întotdeauna considerat ca $L n$ ${\ displaystyle ln}$ ${\ displaystyle ln}$ .

Toate factorialele până la $431!$ ${\ displaystyle 431!}$ ${\ displaystyle 431!}$ inclusiv sunt numerele Harshad. Numarul $432!$ ${\ displaystyle 432!}$ ${\ displaystyle 432!}$ este primul care nu este. În schimb, alți factori sunt, de exemplu: $444!,453!,458!,474!,476!,485!,489!,\ldots$ ${\ displaystyle 444 !, 453 !, 458 !, 474 !, 476 !, 485 !, 489 !, \ ldots}$ ${\ displaystyle 444 !, 453 !, 458 !, 474 !, 476 !, 485 !, 489 !, \ ldots}$

Orice număr natural cu notație $9R_{n}a_{n}$ ${\ displaystyle 9R_ {n} a_ {n}}$ ${\ displaystyle 9R_ {n} a_ {n}}$ , unde este $R_{n}$ ${\ displaystyle R_ {n}}$ $R_ {n}$ este numărul de bază 10 format din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ repetări ale cifrei 1, $n>0$ ${\ displaystyle n> 0}$ $n> 0$ , Și $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ este orice număr întreg pozitiv mai mic decât $10^{n}$ ${\ displaystyle 10 ^ {n}}$ $10 ^ n$ și multiplu de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , este un număr de Harshad. (R. D'Amico, 2019). ^[3]

Numere Harshad în baza b

Un număr Harshad pe bază generică $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este definit un număr de $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ -Harshad (conform notației lui Grundman din 1994).

Numerele 1 , 2 , 4 și 6 sunt singurele numere care sunt numere Harshad în orice bază sunt exprimate; pentru această proprietate se numesc numere complete Harshad .

Numere consecutive b-Harshad

În notația binară, există un număr infinit de secvențe cu 4 numere ale 2-Harshad; în notația ternară, există un număr infinit de secvențe de 6 numere de 3-Harshad. Ambele dovezi se datorează lui T. Cai, care le-a publicat în 1996 .

Ce numere pot fi sau nu numere b-Harshad?

Orice număr $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ mai jos decât baza $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este un număr de b-Harshad. De fapt, deoarece notația sa are o singură cifră, este evident divizibilă de la sine.

Orice număr $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ care este o putere întreagă a $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ (sau $a=b^{n}$ ${\ displaystyle a = b ^ {n}}$ ${\ displaystyle a = b ^ {n}}$ ) este un număr de b-Harshad, deoarece notația sa de bază $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $10,100,\ldots ,10\ldots 0$ ${\ displaystyle 10.100, \ ldots, 10 \ ldots 0}$ ${\ displaystyle 10.100, \ ldots, 10 \ ldots 0}$ de aici suma cifrelor lui $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este întotdeauna egal cu 1 care este cu siguranță un divizor al $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ .

Un număr prim $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este un număr b-Harshad numai dacă este mai mic sau egal cu baza $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . Prima regulă expusă asigură validitatea acestei reguli pentru cazuri $p<b$ ${\ displaystyle p <b}$ ${\ displaystyle p <b}$ . A doua regulă expusă, pentru caz $p=b$ ${\ displaystyle p = b}$ ${\ displaystyle p = b}$ (în eventualitatea în care $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ în sine este prim). Valabilitatea pentru celelalte cazuri poate fi dovedită absurd, de fapt dacă a existat un număr prim $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , mai sus decât baza $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ că a fost o serie de $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ -Harshad, apoi suma cifrelor sale (care este în mod necesar mai mică decât $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ și mai mare decât unitatea) ar fi un divizor al $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ care, însă, fiind prim admite doar ca divizori $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ și unitate.

Numere Harshad-morfice

Un număr întreg $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ se spune Harshad-morphic (sau Niven-morphic ) dacă, pentru o bază dată $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , puteți găsi o serie de $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ -Harshad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , astfel încât suma cifrelor sale să fie egală cu $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , Și $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ este sfârșitul notației $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ scris în aceeași bază $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ .

De exemplu, 18 este Harshad-morfic în baza 10, deoarece:

16218 are 18 ca sumă a cifrelor;
18 este un divizor al lui 16218 (deci 16218 este un număr Harshad);
18 este ultima parte din 16218.

Sandro Boscaro a arătat că în baza 10 toate numerele întregi sunt Harshad-morfice, cu excepția 11 .

Notă

^ De exemplu: 3 (n = 3, i = 0), 100 (n = 1, i = 2) sau 500.000 (n = 5, i = 5).
^ De exemplu: 777 = 7 * 111 = 7 * 3 * 37 = 21 * 37.
^ De exemplu: $9R_{n}a_{n}=15438456$ ${\ displaystyle 9R_ {n} a_ {n} = 15438456}$ ${\ displaystyle 9R_ {n} a_ {n} = 15438456}$ , unde este $R_{n}=1111,n=4$ ${\ displaystyle R_ {n} = 1111, n = 4}$ ${\ displaystyle R_ {n} = 1111, n = 4}$ Și $a_{n}=4\cdot 386=1544$ ${\ displaystyle a_ {n} = 4 \ cdot 386 = 1544}$ ${\ displaystyle a_ {n} = 4 \ cdot 386 = 1544}$ , este un număr Harshad; rezultă de fapt: $15438456/(1+5+4+3+8+4+5+6)=15438456/36=428846$ ${\ displaystyle 15438456 / (1 + 5 + 4 + 3 + 8 + 4 + 5 + 6) = 15438456/36 = 428846}$ ${\ displaystyle 15438456 / (1 + 5 + 4 + 3 + 8 + 4 + 5 + 6) = 15438456/36 = 428846}$ .

Bibliografie

HG Grundmann, Secvențe de numere consecutive Niven , Fibonacci Quarterly 32 (1994), 174-175
Jean-Marie De Koninck și Nicolas Doyon, Despre numărul de numere Niven până la x , Volumul trimestrial Fibonacci 41.5 (noiembrie 2003), 431-440
Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon și I. Katái, Despre funcția de numărare pentru numerele Niven , Acta Arithmetica 106 (2003), 265-275
Sandro Boscaro , Nivenmorphic Integers , Journal of Recreational Mathematics 28 , 3 (1996 - 1997): 201–205!
Rosario D'Amico, O metodă pentru a genera numere Harshad , în Journal of Mathematical Economics and Finance , vol. 5, nr. 1, iunie 2019, p. 19-26.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] De exemplu: 3 (n = 3, i = 0), 100 (n = 1, i = 2) sau 500.000 (n = 5, i = 5).

[2] De exemplu: 777 = 7 * 111 = 7 * 3 * 37 = 21 * 37.

[3] De exemplu: $9R_{n}a_{n}=15438456$ ${\ displaystyle 9R_ {n} a_ {n} = 15438456}$ ${\ displaystyle 9R_ {n} a_ {n} = 15438456}$ , unde este $R_{n}=1111,n=4$ ${\ displaystyle R_ {n} = 1111, n = 4}$ ${\ displaystyle R_ {n} = 1111, n = 4}$ Și $a_{n}=4\cdot 386=1544$ ${\ displaystyle a_ {n} = 4 \ cdot 386 = 1544}$ ${\ displaystyle a_ {n} = 4 \ cdot 386 = 1544}$ , este un număr Harshad; rezultă de fapt: $15438456/(1+5+4+3+8+4+5+6)=15438456/36=428846$ ${\ displaystyle 15438456 / (1 + 5 + 4 + 3 + 8 + 4 + 5 + 6) = 15438456/36 = 428846}$ ${\ displaystyle 15438456 / (1 + 5 + 4 + 3 + 8 + 4 + 5 + 6) = 15438456/36 = 428846}$ .

[1]

[2]

[3]