Numărul Riesel

În matematică , un număr Riesel este un număr natural impar $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ astfel încât orice număr întreg al formei $k\cdot 2^{n}-1$ ${\ displaystyle k \ cdot 2 ^ {n} -1}$ $k \ cdot 2 ^ {n} -1$ este un număr compus , adică nu este un număr prim .

Cu alte cuvinte, când $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este un număr Riesel, toate numerele din următorul set sunt compuse:

\left\{\,k\cdot 2^{n}-1:n\in \mathbb {N} \,\right\}.

{\ displaystyle \ left \ {\, k \ cdot 2 ^ {n} -1: n \ in \ mathbb {N} \, \ right \}.}

{\ displaystyle \ left \ {\, k \ cdot 2 ^ {n} -1: n \ in \ mathbb {N} \, \ right \}.}

În 1956 , Hans Riesel a demonstrat că există numere întregi infinite $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ astfel încât $k\cdot 2^{n}-1$ ${\ displaystyle k \ cdot 2 ^ {n} -1}$ $k \ cdot 2 ^ {n} -1$ nu este prim pentru niciun număr întreg $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . El a arătat că numărul 509203 are această proprietate și același lucru este valabil și pentru numerele din forma: $509203+11184810\cdot k;k\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle 509203 + 11184810 \ cdot k; k \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle 509203 + 11184810 \ cdot k; k \ in \ mathbb {N}}$ .

Pentru a demonstra că un anumit număr este un număr Riesel, trebuie găsit un „ set de întindere ” . Un set de întindere este un set de prime mici astfel încât fiecare membru al unei anumite secvențe să fie divizibil cu unul dintre ele și se numește așa deoarece se spune că „acoperă” acea secvență. Singurele numere Riesel dovedite mai mici de un milion au următoarele seturi de întindere:

$509\,203\cdot 2^{n}-1$ ${\ displaystyle 509 \, 203 \ cdot 2 ^ {n} -1}$ $509 \, 203 \ cdot 2 ^ {n} -1$ are setul de acoperire {3, 5, 7, 13, 17, 241}
$762\,701\cdot 2^{n}-1$ ${\ displaystyle 762 \, 701 \ cdot 2 ^ {n} -1}$ $762 \, 701 \ cdot 2 ^ {n} -1$ are setul de acoperire {3, 5, 7, 13, 17, 241}
$777\,149\cdot 2^{n}-1$ ${\ displaystyle 777 \, 149 \ cdot 2 ^ {n} -1}$ $777 \, 149 \ cdot 2 ^ {n} -1$ are întregul acoperitor {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
$790\,841\cdot 2^{n}-1$ ${\ displaystyle 790 \, 841 \ cdot 2 ^ {n} -1}$ $790 \, 841 \ cdot 2 ^ {n} -1$ are întregul acoperitor {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
$992\,077\cdot 2^{n}-1$ ${\ displaystyle 992 \, 077 \ cdot 2 ^ {n} -1}$ $992 \, 077 \ cdot 2 ^ {n} -1$ are setul de acoperire {3, 5, 7, 13, 17, 241}

O problemă încă nerezolvată este așa-numita problemă Riesel, adică determinarea celui mai mic număr Riesel.

Nu a fost identificat niciun set de întindere pentru valorile de $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ mai puțin de 509203, acesta este presupus a fi cel mai mic număr Riesel. Oricum, 75 de valori de $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ mai puțin de 509 203 au returnat numai numere formate pentru toate valorile $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ încercat până acum. Cel mai mic dintre ele sunt 2 293, 9 221, 23 669, 26 773, 31 859, 38 473, 40 597, 46 663, 65 531, 67 117 și 74 699. Factorii principali ai 21 de numere au fost identificate Datorită Proiectul Riesel Sieve (similar cu Seventeen sau Bust pentru numerele lui Sierpinski ).

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Proiectul Riesel Sieve , pe rieselsieve.com . Adus la 26 noiembrie 2005 (arhivat din original la 21 octombrie 2006) .
( EN ) Căutare Riesel , pe prothsearch.net . Adus la 26 noiembrie 2005 (arhivat din original la 4 iunie 2009) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică