Numărul Sierpiński

În matematică , un număr Sierpiński este un număr întreg impar pozitiv k astfel încât toate numerele întregi ale formei $k\cdot 2^{n}+1$ ${\ displaystyle k \ cdot 2 ^ {n} +1}$ $k \ cdot 2 ^ {n} +1$ sunt compuse pentru fiecare număr natural n .

Cu alte cuvinte, atunci când k este un număr Sierpiński, toate elementele acestui set sunt compuse:

\left\{\,k2^{n}+1:n\in \mathbb {N} \,\right\}

{\ displaystyle \ left \ {\, k2 ^ {n} +1: n \ in \ mathbb {N} \, \ right \}}

\ left \ {\, k2 ^ {n} +1: n \ in {\ mathbb {N}} \, \ right \}

În 1960 Wacław Sierpiński a demonstrat că există un număr infinit de numere întregi impare care, atunci când sunt folosite în locul lui k , nu produc numere prime.

Numerele Sierpiński cunoscute în prezent sunt:

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, ... ^[1] .

Problema Sierpiński

Problema lui Sierpiński întreabă: "Care este cel mai mic număr Sierpiński?"

În 1962 , John Selfridge a presupus că 78557 este răspunsul la problemă. Selfridge a demonstrat că pentru k = 78557 niciunul dintre numerele produse de ecuație nu este prim. Cu alte cuvinte, Selfridge a dovedit că 78557 este un număr Sierpiński. 78557 are factorii 17 și 4621.

Pentru a demonstra că 78557 este cu adevărat cel mai mic număr Sierpiński, este necesar să arătăm că toate numerele impare mai mici de 78557 nu sunt. Până în 2000 , acest lucru a fost dovedit pentru toate numerele, cu excepția celor șaptesprezece.

În noiembrie 2016, mai erau doar cinci candidați:

k=21181,22699,24737,55459,67607

{\ displaystyle k = 21181,22699,24737,55459,67607}

{\ displaystyle k = 21181,22699,24737,55459,67607}

care nu au fost încă eliminate din lista posibilelor numere ale lui Sierpiński.

Seventeen sau Bust , împreună cu PrimeGrid , este un proiect de calcul distribuit care testează toate aceste numere rămase. Dacă proiectul găsește un număr prim sub forma k 2 ⁿ +1 pentru fiecare dintre ks-urile rămase, problema lui Sierpiński va fi rezolvată și conjectura lui Selfridge va fi dovedită ca teoremă .

Deoarece al doilea număr s-a dovedit a fi un număr Sierpiński este 271129, valorile necunoscute ale lui k între 78557 și 271129 sunt: