Numărul Cullen

În matematică se numesc numere Cullen și sunt indicate cu $C_{n}$ ${\ displaystyle C_ {n}}$ $C_n$ numerele naturale astfel încât

C_{n}=n\cdot 2^{n}+1.

{\ displaystyle C_ {n} = n \ cdot 2 ^ {n} +1.}

{\ displaystyle C_ {n} = n \ cdot 2 ^ {n} +1.}

Secvența

Au fost studiate pentru prima dată de James Cullen în 1905 . Studiile lui Cullen asupra numerelor de acest tip au fost folosite în 1917 de Allan JC Cunningham și HJ Woodall pentru definiția (similară) a numerelor Woodall . Primele numere ale lui Cullen sunt:

C_{1}=3

{\ displaystyle C_ {1} = 3}

{\ displaystyle C_ {1} = 3}

C_{2}=9

{\ displaystyle C_ {2} = 9}

{\ displaystyle C_ {2} = 9}

C_{3}=25

{\ displaystyle C_ {3} = 25}

{\ displaystyle C_ {3} = 25}

C_{4}=65

{\ displaystyle C_ {4} = 65}

{\ displaystyle C_ {4} = 65}

C_{5}=161

{\ displaystyle C_ {5} = 161}

{\ displaystyle C_ {5} = 161}

C_{6}=385

{\ displaystyle C_ {6} = 385}

{\ displaystyle C_ {6} = 385}

C_{7}=897

{\ displaystyle C_ {7} = 897}

{\ displaystyle C_ {7} = 897}

(secvența A002064 a OEIS ).

Primul din Cullen

Numerele Cullen, care sunt, de asemenea, primii se numesc primele Cullen . Primele valori ale $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ care fac ca numerele Cullen prime să fie $1,141,4713,5795,6611,18496,32292,32469,59656,90825,262419$ ${\ displaystyle 1,141,4713,5795,66,18496,32292,32469,59656,90825,262419}$ ${\ displaystyle 1,141,4713,5795,66,18496,32292,32469,59656,90825,262419}$ (secvența A005849 a OEIS ). Spre deosebire de primele Woodall , primele Cullen sunt foarte greu de calculat. Primele două sunt

C_{1}=3

{\ displaystyle C_ {1} = 3}

{\ displaystyle C_ {1} = 3}

C_{141}=393050634124102232869567034555427371542904833\approx 3{,}93\cdot 10^{44}

{\ displaystyle C_ {141} = 393050634124102232869567034555427371542904833 \ approx 3 {,} 93 \ cdot 10 ^ {44}}

{\ displaystyle C_ {141} = 393050634124102232869567034555427371542904833 \ approx 3 {,} 93 \ cdot 10 ^ {44}}

În ianuarie 2019 , numărul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cel mai cunoscut care generează un prim Cullen este $6679881$ ${\ displaystyle 6679881}$ ${\ displaystyle 6679881}$ și are originea unei prime formate din 2010852 cifre. Acest număr a fost descoperit de Magnus Bergman ca parte a proiectului de calcul distribuit PrimeGrid .

Proprietate

Un număr Cullen este divizibil cu $p=2n-1$ ${\ displaystyle p = 2n-1}$ ${\ displaystyle p = 2n-1}$ de sine $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este un număr prim al formei $p=8k-3$ ${\ displaystyle p = 8k-3}$ ${\ displaystyle p = 8k-3}$ . De asemenea, grație micii teoreme a lui Fermat , știm asta $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ va fi un număr impar și rezultă că $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ divizează, de asemenea $C_{m(k)}$ ${\ displaystyle C_ {m (k)}}$ ${\ displaystyle C_ {m (k)}}$ pentru fiecare $m(k)=(2^{k}-k)(p-1)-k$ ${\ displaystyle m (k) = (2 ^ {k} -k) (p-1) -k}$ ${\ displaystyle m (k) = (2 ^ {k} -k) (p-1) -k}$ pentru fiecare $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ pozitiv.

De asemenea, s-a arătat că $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ împarte numărul

C_{\frac {p+1}{2}},

{\ displaystyle C _ {\ frac {p + 1} {2}},}

{\ displaystyle C _ {\ frac {p + 1} {2}},}

când simbolul Jacobi $\left({\frac {p}{2}}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {2}} \ right)}$ Și $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$

și împarte

C_{\frac {3p-1}{2}}

{\ displaystyle C _ {\ frac {3p-1} {2}}}

{\ displaystyle C _ {\ frac {3p-1} {2}}}

dacă simbolul lui Jacobi $\left({\frac {p}{2}}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {2}} \ right)}$ Și $+1$ ${\ displaystyle +1}$ $+1$

Numărul Cullen generalizat

Un număr de formă

C_{n}=n\cdot b^{n}+1,

{\ displaystyle C_ {n} = n \ cdot b ^ {n} +1,}

{\ displaystyle C_ {n} = n \ cdot b ^ {n} +1,}

se numește numărul Cullen generalizat .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică