Unda elastică

În fizică, o undă elastică este un anumit tip de undă mecanică (care se propagă într-un mediu material) în care caracteristicile fizice ale mediului sunt de tip elastic și în care se verifică legea lui Hooke ^[1] .

Generalitate

O undă se poate propaga într-un mediu material sau în vid: undele mecanice sunt un exemplu al primului caz, radiația electromagnetică a celui de-al doilea. Aici vorbim despre unele tipuri de unde mecanice care se referă în special la unde elastice, adică se propagă într-un mediu elastic pentru care este verificată legea lui Hooke . Stresul aplicat unui punct din spațiu unde se propagă unda produce un transport de energie de la un punct la altul în spațiu. Prin urmare, definim o undă elastică , propagarea energiei elastice în funcție de coordonatele spațiale și timpul, care exploatează proprietățile elastice ale mediului în care se propagă, chiar și fără transportul materiei.

Mediul în care se propagă unda trebuie să fie liniar, omogen și izotrop, pentru ca legea lui Hooke să se aplice. Mai jos vom lua în considerare valul într-un mediu nelimitat și câteva tipuri de unde elastice, care verifică ecuația de undă unidimensională:

1)\ {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}

{\ displaystyle 1) \ {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} = {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial t ^ {2}}}}

{\ displaystyle 1) \ {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} = {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial t ^ {2}}}}

unde este $f({\vec {r}},t)$ ${\ displaystyle f ({\ vec {r}}, t)}$ ${\ displaystyle f ({\ vec {r}}, t)}$ este funcția noastră reprezentativă a valului.

Suport nelimitat

Să luăm în considerare o undă care se propagă într-un mediu după o solicitare în orice punct al mediului în sine, în general produce o deformare elastică care se propagă. Stresul în termeni de efort normal este reprezentat de ecuația:

2)\ {\frac {\partial {\vec {\sigma }}_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\vec {\sigma }}_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial {\vec {\sigma }}_{z}}{\partial z}}=\rho \cdot {\vec {a}}

{\ displaystyle 2) \ {\ frac {\ partial {\ vec {\ sigma}} _ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial {\ vec {\ sigma}} _ {y} } {\ partial y}} + {\ frac {\ partial {\ vec {\ sigma}} _ {z}} {\ partial z}} = \ rho \ cdot {\ vec {a}}}

{\ displaystyle 2) \ {\ frac {\ partial {\ vec {\ sigma}} _ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial {\ vec {\ sigma}} _ {y} } {\ partial y}} + {\ frac {\ partial {\ vec {\ sigma}} _ {z}} {\ partial z}} = \ rho \ cdot {\ vec {a}}}

unde este $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este densitatea mediului e ${\vec {a}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$ $\ vec a$ accelerare . Această ecuație este alcătuită din trei ecuații scalare de tipul:

3)\ {\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial z}}=\rho \cdot {\frac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial t^{2}}}

{\ displaystyle 3) \ {\ frac {\ partial \ sigma _ {ij}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {ij}} {\ partial y}} + {\ frac { \ partial \ sigma _ {ij}} {\ partial z}} = \ rho \ cdot {\ frac {\ partial ^ {2} f_ {i}} {\ partial t ^ {2}}}}

{\ displaystyle 3) \ {\ frac {\ partial \ sigma _ {ij}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {ij}} {\ partial y}} + {\ frac { \ partial \ sigma _ {ij}} {\ partial z}} = \ rho \ cdot {\ frac {\ partial ^ {2} f_ {i}} {\ partial t ^ {2}}}}

unde este $i,j=1,2,3$ ${\ displaystyle i, j = 1,2,3}$ ${\ displaystyle i, j = 1,2,3}$ . Soluția acestei ecuații ne oferă componentele deplasării undei. Această ecuație este greu de rezolvat, dar poate fi simplificată din când în când și trebuie adaptată în funcție de tipul de undă și de problema cu care ne confruntăm.

Unda longitudinală plan unidimensional

În cazul notabil al unei unde plane longitudinale care se propagă de-a lungul axei z, 3) are zero derivate parțiale de-a lungul x și y și ecuația este redusă la:

4)\ {\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}=\rho \cdot {\frac {\partial ^{2}f_{z}}{\partial t^{2}}}

{\ displaystyle 4) \ {\ frac {\ partial \ sigma _ {zz}} {\ partial z}} = \ rho \ cdot {\ frac {\ partial ^ {2} f_ {z}} {\ partial t ^ {2}}}}

{\ displaystyle 4) \ {\ frac {\ partial \ sigma _ {zz}} {\ partial z}} = \ rho \ cdot {\ frac {\ partial ^ {2} f_ {z}} {\ partial t ^ {2}}}}

unde încă $f_{z}$ ${\ displaystyle f_ {z}}$ $f_ {z}$ reprezintă deplasarea. Această ecuație ia forma unei ecuații de undă dacă exprimăm deformările în funcție de stresul normal $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ . Din ecuațiile deformărilor elastice :

5)\ \sigma _{zz}={\frac {1-P}{P}}L\cdot \varepsilon _{zz}

{\ displaystyle 5) \ \ sigma _ {zz} = {\ frac {1-P} {P}} L \ cdot \ varepsilon _ {zz}}

{\ displaystyle 5) \ \ sigma _ {zz} = {\ frac {1-P} {P}} L \ cdot \ varepsilon _ {zz}}

unde P este raportul lui Poisson și L este constanta Lamé și $\varepsilon _{zz}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {zz}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {zz}}$ este deformarea corespunzătoare. Apoi ecuația undei devine:

6)\ {\frac {\partial ^{2}f_{z}}{\partial z^{2}}}={\frac {\rho P}{L(1-P)}}\cdot {\frac {\partial ^{2}f_{z}}{\partial t^{2}}}

{\ displaystyle 6) \ {\ frac {\ partial ^ {2} f_ {z}} {\ partial z ^ {2}}} = {\ frac {\ rho P} {L (1-P)}} \ cdot {\ frac {\ partial ^ {2} f_ {z}} {\ partial t ^ {2}}}}

{\ displaystyle 6) \ {\ frac {\ partial ^ {2} f_ {z}} {\ partial z ^ {2}}} = {\ frac {\ rho P} {L (1-P)}} \ cdot {\ frac {\ partial ^ {2} f_ {z}} {\ partial t ^ {2}}}}

atunci unde

7)\ v={\sqrt {\frac {L(1-P)}{\rho P}}}

{\ displaystyle 7) \ v = {\ sqrt {\ frac {L (1-P)} {\ rho P}}}}

{\ displaystyle 7) \ v = {\ sqrt {\ frac {L (1-P)} {\ rho P}}}}

depinde așa cum a prezis materialul.

Unda longitudinală plană pe o bară subțire

Un exemplu de undă longitudinală unidimensională este cea a unei bare subțiri de material omogen și izotrop: unda se propagă de-a lungul direcției z. Folosind relația 5) și vedem că în acest caz avem pur și simplu o deformare de-a lungul z: $\varepsilon _{zz}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {zz}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {zz}}$ datorită stresului și în direcția z: $\sigma _{zz}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {zz}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {zz}}$ :

\sigma _{zz}=E\varepsilon _{zz}=E{\frac {\partial f_{z}}{\partial _{z}}}

{\ displaystyle \ sigma _ {zz} = E \ varepsilon _ {zz} = E {\ frac {\ partial f_ {z}} {\ partial _ {z}}}}

{\ displaystyle \ sigma _ {zz} = E \ varepsilon _ {zz} = E {\ frac {\ partial f_ {z}} {\ partial _ {z}}}}

unde E este modulul lui Young. Atunci viteza de propagare este:

v={\sqrt {\frac {E}{\rho }}}

{\ displaystyle v = {\ sqrt {\ frac {E} {\ rho}}}}

{\ displaystyle v = {\ sqrt {\ frac {E} {\ rho}}}}

Unda transversală plan unidimensional

În cazul unei unde transversale într-un mediu elastic omogen și izotrop, de-a lungul direcției z, ecuația undei 1) este redusă la:

8)\ {\frac {\partial ^{2}f_{y}}{\partial z^{2}}}={\frac {\rho }{G}}\cdot {\frac {\partial ^{2}f_{y}}{\partial t^{2}}}

{\ displaystyle 8) \ {\ frac {\ partial ^ {2} f_ {y}} {\ partial z ^ {2}}} = {\ frac {\ rho} {G}} \ cdot {\ frac {\ partial ^ {2} f_ {y}} {\ partial t ^ {2}}}}

{\ displaystyle 8) \ {\ frac {\ partial ^ {2} f_ {y}} {\ partial z ^ {2}}} = {\ frac {\ rho} {G}} \ cdot {\ frac {\ partial ^ {2} f_ {y}} {\ partial t ^ {2}}}}

9)\ {\frac {\partial ^{2}f_{x}}{\partial z^{2}}}={\frac {\rho }{G}}\cdot {\frac {\partial ^{2}f_{x}}{\partial t^{2}}}

{\ displaystyle 9) \ {\ frac {\ partial ^ {2} f_ {x}} {\ partial z ^ {2}}} = {\ frac {\ rho} {G}} \ cdot {\ frac {\ partial ^ {2} f_ {x}} {\ partial t ^ {2}}}}

{\ displaystyle 9) \ {\ frac {\ partial ^ {2} f_ {x}} {\ partial z ^ {2}}} = {\ frac {\ rho} {G}} \ cdot {\ frac {\ partial ^ {2} f_ {x}} {\ partial t ^ {2}}}}

unde G este modulul de alunecare. Acest lucru este clar din faptul că deformarea mediului are două componente transversale față de direcția de propagare z, două solicitări de forfecare. Atunci viteza de propagare este:

10)\ v={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}

{\ displaystyle 10) \ v = {\ sqrt {\ frac {G} {\ rho}}}}

{\ displaystyle 10) \ v = {\ sqrt {\ frac {G} {\ rho}}}}

.

Energia undelor elastice

Se poate presupune, fără a pierde generalitatea, că unda noastră este armonică și unidimensională, adică poate fi reprezentată de o funcție precum:

11)\ f(z,t)=A\cos(kz-\omega t)

{\ displaystyle 11) \ f (z, t) = A \ cos (kz- \ omega t)}

{\ displaystyle 11) \ f (z, t) = A \ cos (kz- \ omega t)}

unde pentru simplitate am stabilit faza inițială egală cu zero. Vrem să determinăm densitatea de energie mecanică conținută în volumul infinitesimal al mediului lovit de unda elastică. În acest scop putem calcula energia cinetică și potențială infinitesimală și o putem însuma și aceasta se poate face direct din ecuația undei, recunoscând că f reprezintă o deplasare:

{\frac {1}{2}}\rho \left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}E\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\rho \left[A^{2}\omega ^{2}\sin ^{2}(kz-\omega t)+v^{2}A^{2}k^{2}\sin ^{2}(kz-\omega t)\right]

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ rho \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ right) ^ {2} + {\ frac {1} {2}} E \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial z}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ rho \ left [A ^ {2} \ omega ^ { 2} \ sin ^ {2} (kz- \ omega t) + v ^ {2} A ^ {2} k ^ {2} \ sin ^ {2} (kz- \ omega t) \ right]}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ rho \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ right) ^ {2} + {\ frac {1} {2}} E \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial z}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ rho \ left [A ^ {2} \ omega ^ { 2} \ sin ^ {2} (kz- \ omega t) + v ^ {2} A ^ {2} k ^ {2} \ sin ^ {2} (kz- \ omega t) \ right]}

Prin evidențierea obținem densitatea energiei este:

12)\ w=\rho A^{2}\omega ^{2}\sin ^{2}(kz-\omega t)

{\ displaystyle 12) \ w = \ rho A ^ {2} \ omega ^ {2} \ sin ^ {2} (kz- \ omega t)}

{\ displaystyle 12) \ w = \ rho A ^ {2} \ omega ^ {2} \ sin ^ {2} (kz- \ omega t)}

unde am folosit modulul lui Young E.

Numim densitatea energetică a undei elastice asociate cu o undă armonică valoarea medie de 12):

{\bar {w}}={\frac {\rho \omega ^{2}A^{2}}{2}}

{\ displaystyle {\ bar {w}} = {\ frac {\ rho \ omega ^ {2} A ^ {2}} {2}}}

{\ displaystyle {\ bar {w}} = {\ frac {\ rho \ omega ^ {2} A ^ {2}} {2}}}

care se măsoară evident în $\left[{\frac {J}{m^{3}}}\right]$ ${\ displaystyle \ left [{\ frac {J} {m ^ {3}}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [{\ frac {J} {m ^ {3}}} \ right]}$ . Acum putem defini intensitatea undei ca mărime: