Unda evanescentă

O undă evanescentă este un anumit tip de undă electromagnetică plană neuniformă. Este fundamental în studiul unor fenomene precum reflexia totală .

Definiție

O undă poate fi clasificată ca evanescentă dacă vectorul său de atenuare ${\vec {a}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$ ${\ vec {a}}$ și vectorul său de fază ${\vec {k}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}}}$ sunt perpendiculare una pe cealaltă. Acest lucru nu este posibil în niciun mediu, ci doar în cele în care conductivitatea este zero. De fapt, prin definiție, vectorul de propagare ${\vec {S}}$ ${\ displaystyle {\ vec {S}}}$ $\ vec {S}$ îl poți scrie ca

${\vec {S}}={\vec {a}}+i{\vec {k}}$ ${\ displaystyle {\ vec {S}} = {\ vec {a}} + i {\ vec {k}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {S}} = {\ vec {a}} + i {\ vec {k}}}$

dar este valabil și ^{[ fără sursă ]} ${\vec {S}}\cdot {\vec {S}}=-\omega ^{2}\mu \varepsilon _{c}$ ${\ displaystyle {\ vec {S}} \ cdot {\ vec {S}} = - \ omega ^ {2} \ mu \ varepsilon _ {c}}$ ${\ displaystyle {\ vec {S}} \ cdot {\ vec {S}} = - \ omega ^ {2} \ mu \ varepsilon _ {c}}$ cu $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ permeabilitatea magnetică a mediului e $\varepsilon _{c}=\varepsilon -{\frac {i\gamma }{\omega }}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {c} = \ varepsilon - {\ frac {i \ gamma} {\ omega}}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {c} = \ varepsilon - {\ frac {i \ gamma} {\ omega}}}$ permitivitatea dielectrică complexă a mediului.

Prin urmare, cuplul de relații trebuie să se aplice: $\left\{{\begin{array}{l}|{\vec {a}}|^{2}-|{\vec {k}}|^{2}=-\omega ^{2}\mu \varepsilon \\2{\vec {a}}\cdot {\vec {k}}=\omega \mu \gamma \\\end{array}}\right.$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} | {\ vec {a}} | ^ {2} - | {\ vec {k}} | ^ {2} = - \ omega ^ {2 } \ mu \ varepsilon \\ 2 {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {k}} = \ omega \ mu \ gamma \\\ end {array}} \ right.}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} | {\ vec {a}} | ^ {2} - | {\ vec {k}} | ^ {2} = - \ omega ^ {2 } \ mu \ varepsilon \\ 2 {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {k}} = \ omega \ mu \ gamma \\\ end {array}} \ right.}$

Într-o undă evanescentă ${\vec {a}}\cdot {\vec {k}}=0$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {k}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {k}} = 0}$ , dar această relație poate fi respectată numai într-un mediu în care conductivitatea $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ Nu-i nimic.

Undele evanescente din conductori

Pentru simplitate, să luăm în considerare cazul unidimensional al unui conductor supus unui câmp electric oscilant $\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{-iwt}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} = \ mathbf {E} _ {0} e ^ {- iwt}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} = \ mathbf {E} _ {0} e ^ {- iwt}}$ . Să ne punem și în aproximarea câmpurilor slabe , pentru a putea neglija efectele magnetice din conductor.
În aceste ipoteze, ecuația mișcării electronilor ia forma:

m({\ddot {x}}+\gamma {\dot {x}}+w_{0}^{2}x)=-e\mathbf {E} _{0}e^{-iwt}

{\ displaystyle m ({\ ddot {x}} + \ gamma {\ dot {x}} + w_ {0} ^ {2} x) = - e \ mathbf {E} _ {0} e ^ {- iwt }}

{\ displaystyle m ({\ ddot {x}} + \ gamma {\ dot {x}} + w_ {0} ^ {2} x) = - e \ mathbf {E} _ {0} e ^ {- iwt }}

dar într-un conductor, electronii sunt liberi și, prin urmare, termenul armonic dispare ( $w_{0}=0$ ${\ displaystyle w_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle w_ {0} = 0}$ ). Se reduce la ecuație:

m({\ddot {x}}+\gamma {\dot {x}})=-eE_{0}e^{-iwt}

{\ displaystyle m ({\ ddot {x}} + \ gamma {\ dot {x}}) = - eE_ {0} e ^ {- iwt}}

{\ displaystyle m ({\ ddot {x}} + \ gamma {\ dot {x}}) = - eE_ {0} e ^ {- iwt}}

care are ca soluție pentru viteză:

$\mathbf {v} (t)=-{\frac {e}{m(-i\omega +\gamma )}}\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} (t) = - {\ frac {e} {m (-i \ omega + \ gamma)}} \ mathbf {E}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} (t) = - {\ frac {e} {m (-i \ omega + \ gamma)}} \ mathbf {E}}$

și amintind că prin definiție este valabil $\mathbf {J} =-Ne\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} = -Ne \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} = -Ne \ mathbf {v}}$ unde N indică numărul de electroni pe unitate de volum, obținem:

$\mathbf {J} ={\frac {Ne^{2}}{m(i\omega +\gamma )}}\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} = {\ frac {Ne ^ {2}} {m (i \ omega + \ gamma)}} \ mathbf {E}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} = {\ frac {Ne ^ {2}} {m (i \ omega + \ gamma)}} \ mathbf {E}}$

și definind frecvența plasmei ca:

$\omega _{pl}^{2}={\frac {Ne^{2}}{m\varepsilon _{0}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {pl} ^ {2} = {\ frac {Ne ^ {2}} {m \ varepsilon _ {0}}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {pl} ^ {2} = {\ frac {Ne ^ {2}} {m \ varepsilon _ {0}}}}$

este posibil să se exprime densitatea curentului $\mathbf {J}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ ca:

$\mathbf {J} ={\frac {\omega _{pl}^{2}}{(-i\omega +\gamma )}}\varepsilon _{0}\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} = {\ frac {\ omega _ {pl} ^ {2}} {(- i \ omega + \ gamma)}} \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} = {\ frac {\ omega _ {pl} ^ {2}} {(- i \ omega + \ gamma)}} \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E}}$

și amintirea relației $\mathbf {J} =\mathbf {\sigma } \mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {\ sigma} \ mathbf {E}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {\ sigma} \ mathbf {E}}$ este posibilă introducerea conductivității generalizate :

$\mathbf {\sigma } ={\frac {\omega _{pl}^{2}}{(-i\omega +\gamma )}}\varepsilon _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} = {\ frac {\ omega _ {pl} ^ {2}} {(- i \ omega + \ gamma)}} \ varepsilon _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} = {\ frac {\ omega _ {pl} ^ {2}} {(- i \ omega + \ gamma)}} \ varepsilon _ {0}}$

care, după cum se poate observa, este în general o cantitate complexă.
În cazul frecvențelor joase $\omega <<\gamma$ ${\ displaystyle \ omega << \ gamma}$ ${\ displaystyle \ omega << \ gamma}$ este pur real și ne întoarcem la cazul ohmic, în care conductivitatea nu depinde de frecvență. Să luăm în considerare frecvențele înalte $\omega >>\gamma$ ${\ displaystyle \ omega >> \ gamma}$ ${\ displaystyle \ omega >> \ gamma}$ , pentru care există un comportament:

$\mathbf {\sigma } =i{\frac {\omega _{pl}^{2}}{\omega }}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} = i {\ frac {\ omega _ {pl} ^ {2}} {\ omega}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} = i {\ frac {\ omega _ {pl} ^ {2}} {\ omega}}}$

și, prin urmare, se poate vedea că curentul este defazat de ${\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ cu privire la teren $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ .
A sosit timpul să luăm în considerare ecuația de propagare a câmpului electric, care, așa cum se știe, este:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {E} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {E}} {\ partial t ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0} c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ mathbf {J}} {\ partial t}}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {E} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {E}} {\ partial t ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0} c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ mathbf {J}} {\ partial t}}}$

având o soluție precum:

$\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{ikx-i\omega t}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} = \ mathbf {E} _ {0} e ^ {ikx-i \ omega t}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} = \ mathbf {E} _ {0} e ^ {ikx-i \ omega t}}$

înlocuindu-l, împreună cu expresia obținută pentru $\mathbf {J}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ , în ecuația undei, obținem relația de dispersie :

$\omega ^{2}=k^{2}c^{2}+{\frac {i\omega }{i\omega -\gamma }}\omega _{pl}^{2}$ ${\ displaystyle \ omega ^ {2} = k ^ {2} c ^ {2} + {\ frac {i \ omega} {i \ omega - \ gamma}} \ omega _ {pl} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ omega ^ {2} = k ^ {2} c ^ {2} + {\ frac {i \ omega} {i \ omega - \ gamma}} \ omega _ {pl} ^ {2}}$

decât în limita de frecvență înaltă $\omega >>\gamma$ ${\ displaystyle \ omega >> \ gamma}$ ${\ displaystyle \ omega >> \ gamma}$ conduce la:

$\omega ^{2}=k^{2}c^{2}+\omega _{pl}^{2}$ ${\ displaystyle \ omega ^ {2} = k ^ {2} c ^ {2} + \ omega _ {pl} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ omega ^ {2} = k ^ {2} c ^ {2} + \ omega _ {pl} ^ {2}}$

adică

$k^{2}={\frac {\omega ^{2}-\omega _{pl}^{2}}{c^{2}}}$ ${\ displaystyle k ^ {2} = {\ frac {\ omega ^ {2} - \ omega _ {pl} ^ {2}} {c ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle k ^ {2} = {\ frac {\ omega ^ {2} - \ omega _ {pl} ^ {2}} {c ^ {2}}}}$

și, pentru orice eventualitate $\omega ^{2}<\omega _{pl}^{2}$ ${\ displaystyle \ omega ^ {2} <\ omega _ {pl} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ omega ^ {2} <\ omega _ {pl} ^ {2}}$ numărul de undă k este pur imaginar, câmpul electric din conductor este de forma:

$\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{\frac {-x}{l_{p}}}e^{-i\omega t}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} = \ mathbf {E} _ {0} e ^ {\ frac {-x} {l_ {p}}} e ^ {- i \ omega t}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} = \ mathbf {E} _ {0} e ^ {\ frac {-x} {l_ {p}}} e ^ {- i \ omega t}}$

adică câmpul electric nu se propagă în interiorul conductorului, ci pătrunde doar până la o distanță numită lungimea pielii inerțiale :

$l_{p}={\sqrt {\frac {c^{2}}{\omega _{pl}^{2}-\omega ^{2}}}}$ ${\ displaystyle l_ {p} = {\ sqrt {\ frac {c ^ {2}} {\ omega _ {pl} ^ {2} - \ omega ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle l_ {p} = {\ sqrt {\ frac {c ^ {2}} {\ omega _ {pl} ^ {2} - \ omega ^ {2}}}}}$

În virtutea acestei caracteristici, acest tip de unde sunt definite ca evanescente .

Undele evanescente la interfață

Imaginați-vă o interfață plană, plasată în avion $z=0$ ${\ displaystyle z = 0}$ $z = 0$ , între două materiale cu indice de refracție $n_{1}$ ${\ displaystyle n_ {1}}$ $n_ {1}$ și $n_{2}$ ${\ displaystyle n_ {2}}$ $n_ {2}$ diferite între ele. Acum presupunem că o undă electromagnetică plană și monocromatică se propagă în mediu cu indice de refracție $n_{1}$ ${\ displaystyle n_ {1}}$ $n_ {1}$ și gravați interfața într-un unghi $\theta _{i}$ ${\ displaystyle \ theta _ {i}}$ $\ theta _ {i}$ , măsurat în raport cu normalul. Coltul $\theta _{t}$ ${\ displaystyle \ theta _ {t}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {t}}$ cu care se transmite valul este dat de legea lui Snell :

$n_{1}\sin \left(\theta _{i}\right)=n_{2}\sin \left(\theta _{t}\right),$ ${\ displaystyle n_ {1} \ sin \ left (\ theta _ {i} \ right) = n_ {2} \ sin \ left (\ theta _ {t} \ right),}$ ${\ displaystyle n_ {1} \ sin \ left (\ theta _ {i} \ right) = n_ {2} \ sin \ left (\ theta _ {t} \ right),}$ de la care: $\sin \left(\theta _{t}\right)={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \left(\theta _{i}\right).$ ${\ displaystyle \ sin \ left (\ theta _ {t} \ right) = {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ sin \ left (\ theta _ {i} \ right).}$ ${\ displaystyle \ sin \ left (\ theta _ {t} \ right) = {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ sin \ left (\ theta _ {i} \ right).}$

De sine $n_{1}>n_{2}$ ${\ displaystyle n_ {1}> n_ {2}}$ $n_ {1}> n_ {2}$ apoi, dincolo de un anumit unghi de atac $\theta _{i}>\theta _{c}$ ${\ displaystyle \ theta _ {i}> \ theta _ {c}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {i}> \ theta _ {c}}$ , numit unghi critic , nu mai este posibil să se găsească o valoare reală a $\theta _{t}$ ${\ displaystyle \ theta _ {t}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {t}}$ care satisface relația lui Snell. Functia $\sin \left(\theta \right)$ ${\ displaystyle \ sin \ left (\ theta \ right)}$ ${\ displaystyle \ sin \ left (\ theta \ right)}$ de fapt, ia numai valori din interval $[-1,1]$ ${\ displaystyle [-1,1]}$ $[-1,1]$ . Cu toate acestea, o soluție la legea lui Snell poate fi găsită în domeniul numerelor complexe. Prin definiție, atunci când unghiul de incidență corespunde unghiului critic, avem $\theta _{t}={\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {t} = {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {t} = {\ frac {\ pi} {2}}}$ . Când unghiul de incidență este mai mare decât unghiul critic, ne putem gândi să adăugăm artificial o componentă imaginară la unghiul de transmisie. Scriind deci $\theta _{t}={\frac {\pi }{2}}+i\alpha _{t}$ ${\ displaystyle \ theta _ {t} = {\ frac {\ pi} {2}} + i \ alpha _ {t}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {t} = {\ frac {\ pi} {2}} + i \ alpha _ {t}}$ , cu $\alpha _{t}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {t}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {t}}$ numărul real, legea lui Snell devine:

$\cos \left(i\alpha _{t}\right)={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \left(\theta _{i}\right)$ ${\ displaystyle \ cos \ left (i \ alpha _ {t} \ right) = {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ sin \ left (\ theta _ {i} \ right)}$ ${\ displaystyle \ cos \ left (i \ alpha _ {t} \ right) = {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ sin \ left (\ theta _ {i} \ right)}$ de la care:

$\cosh \left(\alpha _{t}\right)={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \left(\theta _{i}\right),$ ${\ displaystyle \ cosh \ left (\ alpha _ {t} \ right) = {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ sin \ left (\ theta _ {i} \ right),}$ ${\ displaystyle \ cosh \ left (\ alpha _ {t} \ right) = {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ sin \ left (\ theta _ {i} \ right),}$

unde a fost utilizată relația $\cos \left(i\alpha \right)=\cosh \left(\alpha \right)$ ${\ displaystyle \ cos \ left (i \ alpha \ right) = \ cosh \ left (\ alpha \ right)}$ ${\ displaystyle \ cos \ left (i \ alpha \ right) = \ cosh \ left (\ alpha \ right)}$ (cu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ număr real) care leagă cosinusul unui număr imaginar pur de cosinusul hiperbolic. Vectorul de undă al radiației transmise ${\textbf {k}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ textbf {k}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {k}} _ {t}}$ de aceea poate fi scris (presupunând fără pierderea generalității că vectorul de undă nu are componente în direcția spațială $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , care este echivalent cu un front de undă paralel cu axa $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ):

${\textbf {k}}_{t}=k\left[\sin \left(\theta _{t}\right),0,\cos \left(\theta _{t}\right)\right]=k\left[\sin \left({\frac {\pi }{2}}+i\alpha _{t}\right),0,\cos \left({\frac {\pi }{2}}+i\alpha _{t}\right)\right]=k\left[\cosh \left(\alpha _{t}\right),0,-i\sinh \left(\alpha _{t}\right)\right],$ ${\ displaystyle {\ textbf {k}} _ {t} = k \ left [\ sin \ left (\ theta _ {t} \ right), 0, \ cos \ left (\ theta _ {t} \ right) \ right] = k \ left [\ sin \ left ({\ frac {\ pi} {2}} + i \ alpha _ {t} \ right), 0, \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {2}} + i \ alpha _ {t} \ right) \ right] = k \ left [\ cosh \ left (\ alpha _ {t} \ right), 0, -i \ sinh \ left (\ alpha _ {t} \ right) \ right],}$ ${\ displaystyle {\ textbf {k}} _ {t} = k \ left [\ sin \ left (\ theta _ {t} \ right), 0, \ cos \ left (\ theta _ {t} \ right) \ right] = k \ left [\ sin \ left ({\ frac {\ pi} {2}} + i \ alpha _ {t} \ right), 0, \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {2}} + i \ alpha _ {t} \ right) \ right] = k \ left [\ cosh \ left (\ alpha _ {t} \ right), 0, -i \ sinh \ left (\ alpha _ {t} \ right) \ right],}$

unde s-a folosit din nou relația dintre funcțiile trigonometrice circulare și hiperbolice, $\sin \left(i\alpha \right)=i\sinh \left(\alpha \right)$ ${\ displaystyle \ sin \ left (i \ alpha \ right) = i \ sinh \ left (\ alpha \ right)}$ ${\ displaystyle \ sin \ left (i \ alpha \ right) = i \ sinh \ left (\ alpha \ right)}$ , și unde este plasat $k=\left|{\textbf {k}}_{t}\right|$ ${\ displaystyle k = \ left | {\ textbf {k}} _ {t} \ right |}$ ${\ displaystyle k = \ left | {\ textbf {k}} _ {t} \ right |}$ . Unda transmisă poate fi scrisă, în acest formalism (excluzând din motive de concizie partea dependentă de timp), ca:

${\textbf {E}}({\textbf {x}})={\textbf {E}}_{0}e^{-i{\textbf {k}}_{t}\cdot {\textbf {x}}},$ ${\ displaystyle {\ textbf {E}} ({\ textbf {x}}) = {\ textbf {E}} _ {0} e ^ {- i {\ textbf {k}} _ {t} \ cdot { \ textbf {x}}},}$ ${\ displaystyle {\ textbf {E}} ({\ textbf {x}}) = {\ textbf {E}} _ {0} e ^ {- i {\ textbf {k}} _ {t} \ cdot { \ textbf {x}}},}$

unde cu simbolul ${\textbf {x}}=(x,y,z)$ ${\ displaystyle {\ textbf {x}} = (x, y, z)}$ ${\ displaystyle {\ textbf {x}} = (x, y, z)}$ vrem să indicăm vectorul de poziție identificat de coordonate $X, y$ ${\ displaystyle x, y}$ $X y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ .

Înlocuind în formula câmpului electric ${\textbf {E}}({\textbf {x}})$ ${\ displaystyle {\ textbf {E}} ({\ textbf {x}})}$ ${\ displaystyle {\ textbf {E}} ({\ textbf {x}})}$ forma obtinuta anterior pentru ${\textbf {k}}_{t}$ ${\ displaystyle {\ textbf {k}} _ {t}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {k}} _ {t}}$ în cazul unghiurilor de incidență mai mari decât unghiul de contact, obținem:

${\textbf {E}}({\textbf {x}})={\textbf {E}}_{0}exp\left\{-ik\left[x\cosh \left(\alpha _{t}\right)-iz\sinh \left(\alpha _{t}\right)\right]\right\}={\textbf {E}}_{0}e^{-ikx\cosh \left(\alpha _{t}\right)}e^{-kz\sinh \left(\alpha _{t}\right)}.$ ${\ displaystyle {\ textbf {E}} ({\ textbf {x}}) = {\ textbf {E}} _ {0} exp \ left \ {- ik \ left [x \ cosh \ left (\ alpha _ {t} \ right) -iz \ sinh \ left (\ alpha _ {t} \ right) \ right] \ right \} = {\ textbf {E}} _ {0} e ^ {- ikx \ cosh \ left (\ alpha _ {t} \ right)} și ^ {- kz \ sinh \ left (\ alpha _ {t} \ right)}.}$ ${\ displaystyle {\ textbf {E}} ({\ textbf {x}}) = {\ textbf {E}} _ {0} exp \ left \ {- ik \ left [x \ cosh \ left (\ alpha _ {t} \ right) -iz \ sinh \ left (\ alpha _ {t} \ right) \ right] \ right \} = {\ textbf {E}} _ {0} e ^ {- ikx \ cosh \ left (\ alpha _ {t} \ right)} și ^ {- kz \ sinh \ left (\ alpha _ {t} \ right)}.}$

Câmpul electric, când unghiul de incidență este mai mare decât unghiul critic, nu dă naștere unei unde în interiorul mediului 2: amplitudinea scade exponențial de-a lungul axei $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Nu există transport de energie și radiația este reflectată complet. Prezența unei unde evanescente la interfața dintre două materiale cu indice de refracție diferit poate fi legată de un unghi de transmisie definit în câmpul numerelor complexe.

Lungimea de penetrare a unei unde evanescente poate fi apoi calculată: lungimea de penetrare $d_{p}$ ${\ displaystyle d_ {p}}$ ${\ displaystyle d_ {p}}$ oferă informații despre cât de adânc este prezent câmpul electric în interiorul materialului în care îl afectează. După ce ați definit interfața perpendiculară pe axă $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , această axă coincide cu direcția de penetrare. Putem calcula câmpul electric din interiorul mediului $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ alegând în mod convenabil un punct adecvat care să permită simplificarea discuției: în ecuația anterioară alegem cu precizie $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ . De asemenea, neglijăm polarizarea și modulul ${\textbf {E}}_{0}$ ${\ displaystyle {\ textbf {E}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {E}} _ {0}}$ luând în considerare doar termenul:

$e^{-kz\sinh \left(\alpha _{t}\right)}.$ ${\ displaystyle e ^ {- kz \ sinh \ left (\ alpha _ {t} \ right)}.}$ ${\ displaystyle e ^ {- kz \ sinh \ left (\ alpha _ {t} \ right)}.}$

Acesta este factorul de atenuare a câmpului electric care, în funcție de adâncime $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ considerat, oferă informații despre scăderea intensității câmpului în sine. Punând împreună relația goniometrică

$\cosh ^{2}\left(\alpha _{t}\right)-\sinh ^{2}\left(\alpha _{t}\right)=1$ ${\ displaystyle \ cosh ^ {2} \ left (\ alpha _ {t} \ right) - \ sinh ^ {2} \ left (\ alpha _ {t} \ right) = 1}$ ${\ displaystyle \ cosh ^ {2} \ left (\ alpha _ {t} \ right) - \ sinh ^ {2} \ left (\ alpha _ {t} \ right) = 1}$

și legea lui Snell (care ne permite să scriem $\cosh \left(\alpha _{t}\right)$ ${\ displaystyle \ cosh \ left (\ alpha _ {t} \ right)}$ ${\ displaystyle \ cosh \ left (\ alpha _ {t} \ right)}$ în funcție de unghiul de incidență și de indicii de refracție ai celor două medii), factorul de atenuare poate fi rescris astfel:

$e^{-{\frac {kz}{n_{2}}}{\sqrt {n_{1}^{2}\sin ^{2}\left(\theta _{i}\right)-n_{2}^{2}}}}.$ ${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {kz} {n_ {2}}} {\ sqrt {n_ {1} ^ {2} \ sin ^ {2} \ left (\ theta _ {i} \ right) -n_ {2} ^ {2}}}}.}$ ${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {kz} {n_ {2}}} {\ sqrt {n_ {1} ^ {2} \ sin ^ {2} \ left (\ theta _ {i} \ right) -n_ {2} ^ {2}}}}.}$

Condiția în care apare că exponentul este egal cu $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ (unde este definit $z=d_{p}$ ${\ displaystyle z = d_ {p}}$ ${\ displaystyle z = d_ {p}}$ ) cere ca:

$d_{p}={\frac {\frac {\lambda }{n_{2}}}{2\pi {\sqrt {n_{1}^{2}\sin ^{2}\left(\theta _{i}\right)-n_{2}^{2}}}}},$ ${\ displaystyle d_ {p} = {\ frac {\ frac {\ lambda} {n_ {2}}} {2 \ pi {\ sqrt {n_ {1} ^ {2} \ sin ^ {2} \ left ( \ theta _ {i} \ right) -n_ {2} ^ {2}}}}},}$ ${\ displaystyle d_ {p} = {\ frac {\ frac {\ lambda} {n_ {2}}} {2 \ pi {\ sqrt {n_ {1} ^ {2} \ sin ^ {2} \ left ( \ theta _ {i} \ right) -n_ {2} ^ {2}}}}},}$

cu $\lambda ={\frac {2\pi }{k}}$ ${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {2 \ pi} {k}}}$ ${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {2 \ pi} {k}}}$ . Prin plasare $z=d_{p}$ ${\ displaystyle z = d_ {p}}$ ${\ displaystyle z = d_ {p}}$ este ușor de verificat că pentru această adâncime câmpul electric a scăzut cu un factor $e^{-1}\simeq 0,37$ ${\ displaystyle e ^ {- 1} \ simeq 0.37}$ ${\ displaystyle e ^ {- 1} \ simeq 0.37}$ . Aceasta înseamnă că într-un strat profund $d_{p}$ ${\ displaystyle d_ {p}}$ ${\ displaystyle d_ {p}}$ câmpul electric pierde aproximativ $63\%$ ${\ displaystyle 63 \%}$ ${\ displaystyle 63 \%}$ a intensității sale. Câmpul electric poate fi considerat aproape dispărut dincolo de o adâncime egală cu $3d_{p}$ ${\ displaystyle 3d_ {p}}$ ${\ displaystyle 3d_ {p}}$ unde scăderea intensității atinge (aproximativ) $95\%$ ${\ displaystyle 95 \%}$ ${\ displaystyle 95 \%}$ .

Proprietate

În studiul reflexiei totale între două medii semi-infinite se poate arăta că, dacă unghiul de incidență al undei este mai mare decât unghiul critic , o undă plană evanescentă este stabilită în mediul 2 cu un vector de fază paralel cu separarea suprafața dintre mijloace și vectorul de atenuare, prin urmare, normală la aceeași.

O altă proprietate importantă a unei unde plane evanescente este că partea reală a vectorului Poynting este paralelă cu direcția ${\vec {k}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}}}$ în timp ce partea sa imaginară este paralelă cu direcția ${\vec {a}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$ ${\ vec {a}}$ .

Bibliografie

P. Marino, S. Scotto, Note de fizică B II . http://osiris.df.unipi.it/~macchi/
Michele Midrio, Câmpuri electromagnetice , SGEditoriali, 2006, ISBN 88-86281-82-X

Elemente conexe

Portalul electromagnetismului : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de electromagnetism