Paradoxul lui Ellsberg

Paradoxul lui Ellsberg este un paradox evidențiat de economia experimentală , în care alegerile indivizilor încalcă ipoteza care stă la baza teoriei utilității așteptate . ^[1] Este în general considerată drept dovadă în favoarea aversiunii față de ambiguitate . Paradoxul a fost renumit de Daniel Ellsberg , dar o versiune a acestuia a fost observată cu mult timp în urmă de John Maynard Keynes . ^[2]

Ellsberg a ridicat două probleme: cu una și două urne . Cea mai cunoscută cu o singură urnă este descrisă mai jos.

Paradoxul cu o urnă

Să presupunem că aveți o urnă care conține 30 de bile roșii și alte 60 de bile negre și galbene. Nu se știe câte negri și câte galbeni există, ci doar că numărul lor total este de 60. Marmurile sunt bine amestecate, astfel încât probabilitatea de a fi trase este aceeași pentru fiecare dintre ele. Sunt permise două tipuri de pariuri:

Pariați A	Pariu B
Dacă apare o minge roșie, câștigi 100 EUR	Dacă lovește o minge neagră, câștigi 100 EUR

În timp ce pe o altă urnă cu exact aceleași proprietăți este permis să plasați următoarele două pariuri:

Pariați C	Pariu D
Dacă apare o minge roșie sau galbenă, câștigi 100 EUR	Dacă apare o minge neagră sau galbenă, câștigi 100 EUR

Această configurație îl supune pe individ la o situație de incertitudine (în sensul dat de Frank Knight ) - în ceea ce privește posibilitatea, pe care nu există niciun indiciu, că marmurile care nu sunt roșii sunt galbene sau negre - și probabilitatea - în ceea ce privește în schimb posibilitatea că o marmură dată este roșie (⅓ din cazuri) sau nu roșie (⅔).

Interpretare în teoria utilității

Abordarea teoriei utilității a problemei presupune că atunci când aleg între cele două pariuri, indivizii atribuie o probabilitate ca marmurile care nu sunt roșii să fie galbene și nu negre și că, pe baza acestei probabilități, ele calculează apoi valoarea așteptată a fiecărui pariu.

În acest context, întrucât câștigurile puse în joc sunt exact aceleași, rezultă că pariul A va fi preferat lui B dacă și numai dacă se atribuie o probabilitate mai mare extracției unei marmuri roșii decât extracției unei marmuri negre. Dacă cele două posibilități au aceeași probabilitate, nu va exista o preferință specială.

În mod similar, pariul C peste D este preferat dacă și numai dacă se crede că este mai probabil să atragă o minge roșie sau galbenă decât o minge neagră sau galbenă. Dacă desenarea unei marmuri roșii este mai probabilă decât desenarea unei marmuri negre, desenarea unei marmuri roșii sau galbene este mai probabilă decât desenarea unei marmuri negre sau galbene . În consecință, dacă preferați pariul A față de B , ar trebui să urmeze că preferați C față de D și invers, dacă preferați D față de C , ar trebui să preferați B față de A.

Cu toate acestea, în testele experimentale se observă că majoritatea indivizilor preferă pariul A la B și D la C. Aceasta înseamnă că unele dintre ipotezele de bază ale teoriei utilității sunt încălcate.

Demonstrație formală

Din punct de vedere matematic, putem denota cu $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ probabilitățile presupuse că o marmură roșie, galbenă sau neagră va ieși, respectiv. Dacă pariul A este preferat lui B , acest lucru se reflectă într-o relație între utilitățile așteptate respective:

$R\cdot U(100$ ${\ displaystyle R \ cdot U (100}$ ${\ displaystyle R \ cdot U (100}$ € $)+(1-R)\cdot U(0$ ${\ displaystyle) + (1-R) \ cdot U (0}$ ${\ displaystyle) + (1-R) \ cdot U (0}$ € $)>N\cdot U(100$ ${\ displaystyle)> N \ cdot U (100}$ ${\ displaystyle)> N \ cdot U (100}$ € $)+(1-N)U(0$ ${\ displaystyle) + (1-N) U (0}$ ${\ displaystyle) + (1-N) U (0}$ € $)$ ${\ displaystyle)}$ ${\ displaystyle)}$

unde este $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este propria sa funcție de utilitate . Asumand $U(100$ ${\ displaystyle U (100}$ ${\ displaystyle U (100}$ € $)>U(0$ ${\ displaystyle)> U (0}$ ${\ displaystyle)> U (0}$ € $)$ ${\ displaystyle)}$ ${\ displaystyle)}$ (că preferați 100 EUR decât nimic), putem rescrie relația ca:

$R[U(100$ ${\ displaystyle R [U (100}$ ${\ displaystyle R [U (100}$ € $)-U(0$ ${\ displaystyle) -U (0}$ ${\ displaystyle) -U (0}$ € $)]>N[U(100$ ${\ displaystyle)]> N [U (100}$ ${\ displaystyle)]> N [U (100}$ € $)-U(0$ ${\ displaystyle) -U (0}$ ${\ displaystyle) -U (0}$ € $)]\Leftrightarrow R>N$ ${\ displaystyle)] \ Leftrightarrow R> N}$ ${\ displaystyle)] \ Leftrightarrow R> N}$

În mod similar, dacă preferați pariul D față de C , obțineți inegalitatea:

$N\cdot U(100$ ${\ displaystyle N \ cdot U (100}$ ${\ displaystyle N \ cdot U (100}$ € $)+G\cdot U(100$ ${\ displaystyle) + G \ cdot U (100}$ ${\ displaystyle) + G \ cdot U (100}$ € $)+R\cdot U(0$ ${\ displaystyle) + R \ cdot U (0}$ ${\ displaystyle) + R \ cdot U (0}$ € $)>R\cdot U(100$ ${\ displaystyle)> R \ cdot U (100}$ ${\ displaystyle)> R \ cdot U (100}$ € $)+G\cdot U(100$ ${\ displaystyle) + G \ cdot U (100}$ ${\ displaystyle) + G \ cdot U (100}$ € $)+B\cdot U(0$ ${\ displaystyle) + B \ cdot U (0}$ ${\ displaystyle) + B \ cdot U (0}$ € $)$ ${\ displaystyle)}$ ${\ displaystyle)}$

care este simplificat la:

$N[U(100$ ${\ displaystyle N [U (100}$ ${\ displaystyle N [U (100}$ € $)-U(0$ ${\ displaystyle) -U (0}$ ${\ displaystyle) -U (0}$ € $)]>R[U(100$ ${\ displaystyle)]> R [U (100}$ ${\ displaystyle)]> R [U (100}$ € $)-U(0$ ${\ displaystyle) -U (0}$ ${\ displaystyle) -U (0}$ € $)]\Leftrightarrow N>R$ ${\ displaystyle)] \ Leftrightarrow N> R}$ ${\ displaystyle)] \ Leftrightarrow N> R}$

Contradicția implică faptul că astfel de preferințe sunt incompatibile cu ipoteza de utilitate așteptată.

Generalități ale paradoxului

Rețineți că forma funcției de utilitate, precum și dimensiunea câștigului posibil, sunt factori destul de irelevanți: oricare dintre pariurile pe care le alegeți, premiul pentru câștig și pierdere (0) este același, astfel încât, în cele din urmă, există doar două posibile rezultate: câștigi o anumită sumă sau nu primești nimic. Prin urmare, este suficient să presupunem că cineva preferă să primească mai degrabă suma fixă de bani decât nimic (într-adevăr, nici această presupunere nu este necesară, deoarece contradicția poate fi obținută din dovada anterioară chiar și cu $U(100$ ${\ displaystyle U (100}$ ${\ displaystyle U (100}$ € $)<U(0$ ${\ displaystyle) <U (0}$ ${\ displaystyle) <U (0}$ € $)$ ${\ displaystyle)}$ ${\ displaystyle)}$ sau $U(100$ ${\ displaystyle U (100}$ ${\ displaystyle U (100}$ € $)=U(0$ ${\ displaystyle) = U (0}$ ${\ displaystyle) = U (0}$ € $)$ ${\ displaystyle)}$ ${\ displaystyle)}$ ).

În plus, rezultatul este valabil indiferent de aversiunea la risc . Orice pariu implică un risc. Alegând D , există o șansă 1 din 3 de a nu primi nimic și o șansă 2 din 3 dacă alegeți A. Dacă pariul A ar fi mai puțin riscant decât B , ar rezulta că C ar fi mai puțin riscant decât D (și invers), deci nu aversiunea față de risc motivează alegerea participanților la experimente.

Cu toate acestea, deoarece șansele exacte de câștig sunt cunoscute pentru pariurile A și D , dar nu și pentru pariurile B și C , pare să apară un exemplu de aversiune la ambiguitate , care nu este luat în considerare de ipoteza utilității așteptate. S-a arătat că fenomenul apare doar atunci când setul de alegeri permite o comparație între propoziția „ambiguă” și una mai puțin vagă (și nu atunci când propunerile ambigue sunt prezentate individual).

Posibile interpretări

S-au făcut diverse încercări pentru a explica observațiile lui Ellsberg din punctul de vedere al teoriei deciziei. Deoarece informațiile individuale cu privire la diferitele probabilități sunt incomplete, aceste încercări se concentrează uneori pe cuantificarea ambiguității non-probabiliste cu care se confruntă subiectul - vezi conceptul de incertitudine . Cu alte cuvinte, aceste abordări presupun că individul concepe o probabilitate subiectivă (nu neapărat în sens bayesian ) asupra posibilelor rezultate.

O astfel de încercare se bazează pe teoria deciziei necunoscute a informației . Subiectului i se dau probabilitățile exacte ale unor evenimente, deși semnificația practică a valorilor probabilității nu este pe deplin clară. De exemplu, în ceea ce privește pariurile descrise, probabilitatea unei marmuri de o anumită culoare este de 30/90, care este un număr foarte specific; cu toate acestea, individul nu poate distinge intuitiv între acest număr și 30/91. Nu sunt disponibile informații cu privire la probabilitatea altor rezultate, astfel încât individul are o evaluare subiectivă neclară a acestor probabilități.

Datorită ambiguității probabilităților diferitelor rezultate, el nu este în măsură să evalueze cu exactitate valoarea așteptată a pariurilor. În consecință, nici măcar nu este capabil să maximizeze această valoare așteptată. Abordarea informație necunoscută presupune că individul formulează implicit modele necunoscute informațional pe probabilități necunoscute și, prin urmare, încearcă să satisfacă utilitatea așteptată și să-și maximizeze robustețea împotriva riscului asociat cu probabilități inexacte. Această abordare poate fi dezvoltată în mod explicit pentru a demonstra că alegerile individului evidențiază exact contradicția aparentă a preferințelor observată de Ellsberg. ^[3]

O altă posibilă explicație este că acest tip de situație stimulează un mecanism de aversiune pentru dezamăgire . Multe ființe umane presupun că, în situații de viață, dacă nu li se dezvăluie o probabilitate, este pentru a le înșela. Dacă oamenii fac alegeri într-un experiment *** similar cu cele pe care le-ar face în viața de zi cu zi, experimentatorul își asumă figura cuiva care vrea să înșele subiectul și care acționează împotriva intereselor sale. Când se confruntă cu alegerea dintre o marmură roșie și o marmură neagră, probabilitatea 30/90 este comparată cu partea inferioară a intervalului [0/90, 60/90] (probabilitatea de a desena o marmură neagră). Persoana medie se așteaptă să existe mai puține bile negre decât galbene, deoarece se așteaptă ca experimentatorul să aibă comoditatea de a pune mai mult negru decât galben în a face un astfel de pariu. În același timp, când alegerea este între marmură roșie / galbenă și neagră / galbenă, tindem să presupunem că vor exista mai puțin de 30 de marmuri galbene, ceea ce este mai puțin decât ne-am putea aștepta. Atunci când fac o alegere, este posibil ca indivizii să uite pur și simplu că experimentatorul nu are capacitatea de a schimba conținutul urnei dintre cele două extrageri. În situațiile din viața de zi cu zi, chiar dacă urna nu este schimbată, oamenilor le-ar fi frică să nu se amăgească și pe acest front.

O modificare a teoriei utilității care încorporează incertitudinea ca concept distinct de risc este cea bazată pe integrala Choquet , care oferă și o soluție la acest paradox.

Paradoxul cu două urne ^[4]

Să presupunem că aveți două urne, respectiv R și H, fiecare conținând 100 de marmură alb-negru asortate. Urna R conține 49 de marmuri albe și 51 de negre, în timp ce compoziția urnei H nu este specificată. Acum, să presupunem că desenăm aleator o marmură din fiecare urnă și nu cunoaștem culoarea marmurilor extrase. În acest moment va trebui să decideți care dintre cele două marmuri să alegeți (dacă cea extrasă din urna R sau cea din urna H), după care va fi posibil să cunoașteți culoarea marmurilor extrase. Când alegeți marmura, vă confruntați cu această oportunitate de alegere:

Pariați A	Pariu B
Dacă lovește o minge neagră, câștigi 1000 EUR	Dacă lovește o minge albă, câștigi 1000 EUR

Interpretare în teoria utilității

Cu informațiile disponibile, majoritatea oamenilor aleg mingea extrasă din urna R în pariul A, aceasta implică faptul că utilizarea PROBABILITĂȚILOR SUBIECTIVE probabilitatea ca bila extrasă din urna H să fie albă este mai mare de 0,49. În consecință, în fața pariului B, ar trebui să aleagă urna H: această alegere ar fi consecventă în teoria utilității. Cu toate acestea, acest lucru nu se întâmplă. În fața pariului B, indivizii continuă să aleagă urna R: alegerea de a avea o anumită și bine înțeleasă probabilitate de 0,49 este preferată în comparație cu alegerea în condiții de incertitudine pentru urna H.

Deducem că în teoria probabilităților subiective toată incertitudinea cu privire la risc este redusă prin comportamentul indivizilor exprimabil ca probabilități. În acest sens, vorbim despre AMBIGUITATE, în sensul că alegerile nu mai sunt ghidate de axiomele microeconomice canonice matematic consistente, ci sunt orientate ambiguu către soluții subiectiv preferabile.

Notă

^ Daniel Ellsberg , Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms , în Quarterly Journal of Economics , voi. 75, nr. 4, 1961, pp. 643–669, DOI : 10.2307 / 1884324 .
^ Keynes 1921, pp. 75-76, paragraful 315, nota de subsol 2)
^ Yakov Ben-Haim, Teoria deciziei Info-gap: Decizii sub incertitudine severă , 2nd, Academic Press, 2006, secțiunea 11.1, ISBN 0-12-373552-1 .
^ Mas-Colel, Whinston and Green, Microeconomic Theory, Oxford University Press, 1995 (Cap. 6)

Elemente conexe

[Ellsberg1961-1] Daniel Ellsberg , Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms , în Quarterly Journal of Economics , voi. 75, nr. 4, 1961, pp. 643–669, DOI : 10.2307 / 1884324 .

[2] Keynes 1921, pp. 75-76, paragraful 315, nota de subsol 2)

[3] Yakov Ben-Haim, Teoria deciziei Info-gap: Decizii sub incertitudine severă , 2nd, Academic Press, 2006, secțiunea 11.1, ISBN 0-12-373552-1 .

[4] Mas-Colel, Whinston and Green, Microeconomic Theory, Oxford University Press, 1995 (Cap. 6)

[1]

[2]

[3]

[4]

Paradoxul lui Ellsberg

Paradoxul cu o urnă

Interpretare în teoria utilității

Demonstrație formală

Generalități ale paradoxului

Posibile interpretări

Paradoxul cu două urne [4]

Interpretare în teoria utilității

Notă

Elemente conexe

Paradoxul cu două urne ^[4]