Perturbări ale proceselor LTI

Fiecare invariante timp liniar sistem dinamic (LTI) este o aproximare a unui sistem real dinamic generic. Pentru a minimiza efectul aproximării, studiem sistemul perturbat, adică o familie de sisteme dinamice similare: dacă proprietățile de stabilitate sunt valabile pentru sistemul perturbat, atunci ele vor fi valabile și pentru cel real.

Nominal $P_{0}(s)$ ${\ displaystyle P_ {0} (s)}$ ${\ displaystyle P_ {0} (s)}$ și deranjat $P(s)$ ${\ displaystyle P (s)}$ ${\ displaystyle P (s)}$

Prin sistem nominal $P_{0}(s)$ ${\ displaystyle P_ {0} (s)}$ ${\ displaystyle P_ {0} (s)}$ ne referim la modelul teoretic al sistemului care este utilizat pentru proiectarea controlerului. În general, acest model este definit într-o vecinătate a condițiilor de operare ale sistemului real. În general, aceste modele sunt curățate de orice neliniaritate, întârzieri și poli stabili foarte îndepărtați de axa imaginară (modurile naturale legate de acești poli se sting rapid).

Pentru sistem perturbat $P(s)$ ${\ displaystyle P (s)}$ ${\ displaystyle P (s)}$ ne referim la modelul realist al sistemului care este utilizat pentru a verifica îndeplinirea specificațiilor de către controler rezumate în special „limitele de robustețe”. Acest model are în vedere o serie de variații parametrice care sunt în general mai mari decât cele posibile, adică este mai conservator.

Între sistemul nominal și sistemul perturbat există relația: $P(s)=P_{0}(s)$ ${\ displaystyle P (s) = P_ {0} (s)}$ ${\ displaystyle P (s) = P_ {0} (s)}$ + ∂ $P_{0}(s)$ ${\ displaystyle P_ {0} (s)}$ ${\ displaystyle P_ {0} (s)}$ unde ∂ $P_{0}(s)$ ${\ displaystyle P_ {0} (s)}$ ${\ displaystyle P_ {0} (s)}$ este perturbarea care conține dinamica nedescrisă de $P_{0}(s)$ ${\ displaystyle P_ {0} (s)}$ ${\ displaystyle P_ {0} (s)}$ în sinteză, această perturbare poate fi descrisă, de-a lungul timpului, de zgomotul alb gaussian cu medie zero, varianța acestui zgomot depinde de acuratețea $P_{0}(s)$ ${\ displaystyle P_ {0} (s)}$ ${\ displaystyle P_ {0} (s)}$ .

Perturbări nestructurate

Perturbările introduse în procesul nominal sunt folosite pentru a studia limitele de robustețe ale sistemului de control atunci când parametrii sunt parțial necunoscuți sau când sunt pur și simplu variabili din cauza unor evenimente extraordinare. După o analiză exactă a sistemului este posibil să se definească un ∂ $P_{0}(s)$ ${\ displaystyle P_ {0} (s)}$ ${\ displaystyle P_ {0} (s)}$ descriind tipul perturbării posibile. Acest lucru este dificil de rezumat: preferăm să studiem sistemul supus unor variații parametrice necunoscute care produc perturbații nestructurate (adică a căror natură este necunoscută), reprezentată de:

aditiv : perturbare nestructurată care se adaugă procesului nominal

\partial _{p}(s)=P(s)-P_{0}(s)

{\ displaystyle \ partial _ {p} (s) = P (s) -P_ {0} (s)}

{\ displaystyle \ partial _ {p} (s) = P (s) -P_ {0} (s)}

multiplicativ raportat la ieșire : perturbare nestructurată care este premultiplicată procesului

\partial ^{p}(s)=\partial _{p}(s)P_{0}^{-1}(s)

{\ displaystyle \ partial ^ {p} (s) = \ partial _ {p} (s) P_ {0} ^ {- 1} (s)}

{\ displaystyle \ partial ^ {p} (s) = \ partial _ {p} (s) P_ {0} ^ {- 1} (s)}

multiplicativ raportat în intrare : perturbare nestructurată care este post-multiplicată la proces

\partial ^{p}(s)=P_{0}^{-1}(s)\partial _{p}(s)

{\ displaystyle \ partial ^ {p} (s) = P_ {0} ^ {- 1} (s) \ partial _ {p} (s)}

{\ displaystyle \ partial ^ {p} (s) = P_ {0} ^ {- 1} (s) \ partial _ {p} (s)}

Caracterizarea perturbării

Pentru fiecare dintre perturbațiile de mai sus este impusă o limită superioară, adică o funcție de transfer stabilă, cu poli invarianți și zerouri toate în $\mathbb {C} _{b}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} _ {b}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} _ {b}}$ (vezi secțiunea „clarificări)” al cărui modul este mai mare decât valoarea singulară maximă a fiecărei perturbări nestructurate introduse. Această caracterizare va permite, alături de funcțiile de performanță de sensibilitate , să asigure $\mathbb {C} _{b}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} _ {b}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} _ {b}}$ stabilitate pentru sistemele perturbate de aceste perturbații.

aditivi :

\partial _{p}(s)<l_{a}(w)\quad \quad \forall w\in [0,\infty )

{\ displaystyle \ partial _ {p} (s) <l_ {a} (w) \ quad \ quad \ forall w \ in [0, \ infty)}

{\ displaystyle \ partial _ {p} (s) <l_ {a} (w) \ quad \ quad \ forall w \ in [0, \ infty)}

multiplicative raportate la ieșire :

\partial ^{p}(s)<l_{m}(w)\quad \quad \forall w\in [0,\infty )

{\ displaystyle \ partial ^ {p} (s) <l_ {m} (w) \ quad \ quad \ forall w \ in [0, \ infty)}

{\ displaystyle \ partial ^ {p} (s) <l_ {m} (w) \ quad \ quad \ forall w \ in [0, \ infty)}

multiplicative raportate în intrare :

\partial ^{p}(s)<l_{m}(w)\quad \quad \forall w\in [0,\infty )

{\ displaystyle \ partial ^ {p} (s) <l_ {m} (w) \ quad \ quad \ forall w \ in [0, \ infty)}

{\ displaystyle \ partial ^ {p} (s) <l_ {m} (w) \ quad \ quad \ forall w \ in [0, \ infty)}

Clarificări

$\mathbb {C} _{b}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} _ {b}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} _ {b}}$ indică o limită pe care este evaluată diagrama Nyquist pentru a studia stabilitatea unui sistem nu numai asimptotic, ci cu un pol mai lent cu modulul părții reale mai mic decât limita $\mathbb {C} _{b}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} _ {b}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} _ {b}}$ : cu alte cuvinte, permite studierea unui sistem a cărui dinamică este impusă în termeni de stabilitate asimptotică și viteză de convergență.

Bibliografie

Colaneri P., Locatelli A., Robust control in RH2 / RH , Pitagora, Bologna , 1993.
K. Zhou, JC Doyle, K. Glover, Control robust și optim , Prentice Hall, 1996.

Elemente conexe

Portal de inginerie : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de inginerie