Numărul lui Wilson

Un prim Wilson , numit după matematicianul englez John Wilson , este un număr prim p astfel încât p ^{2 să se} împartă ( p - 1)! + 1, unde simbolul! indică funcția factorială ; comparați acest rezultat cu afirmațiile teoremei lui Wilson , care afirmă că fiecare p prim se divide ( p - 1)! + 1.

Singurele prime Wilson cunoscute sunt 5 , 13 și 563 ^[1] ; dacă există altele, acestea trebuie să fie mai mari decât $2\cdot 10^{13}$ ${\ displaystyle 2 \ cdot 10 ^ {13}}$ ${\ displaystyle 2 \ cdot 10 ^ {13}}$ . ^[2] S-a presupus că există infinit multe prime Wilson și că numărul lor într-un interval dat [x, y] este aproximativ egal cu $\log \left({\frac {\log x}{\log y}}\right)$ ${\ displaystyle \ log \ left ({\ frac {\ log x} {\ log y}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ log \ left ({\ frac {\ log x} {\ log y}} \ right)}$ . ^[3]

În speranța de a găsi noi prime Wilson, au fost efectuate diverse căutări pe computer. ^[4] ^[5] ^[6] Proiectul de calcul distribuit Ibercivis include o căutare a primilor lui Wilson. ^[7] O altă cercetare este efectuată la mersenneforum. ^[8]

Generalizări

Primii de ordine ai lui Wilson nr

Teorema lui Wilson poate fi exprimată în general ca. ${\displaystyle (n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}}$ ${\ displaystyle {\ displaystyle (n-1)! (pn)! \ equiv (-1) ^ {n} \ {\ bmod {p}}}}$ ${\ displaystyle {\ displaystyle (n-1)! (p-n)! \ equiv (-1) ^ {n} \ {\ bmod {p}}}}$ pentru fiecare număr întreg $n\geq 1$ ${\ displaystyle n \ geq 1}$ ${\ displaystyle n \ geq 1}$ și mai întâi $p\geq n$ ${\ displaystyle p \ geq n}$ ${\ displaystyle p \ geq n}$ . Primii ordinii Wilson generalizați $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ sunt primii $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ astfel încât $p^{2}$ ${\ displaystyle p ^ {2}}$ $p ^ 2$ acțiune $(n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}$ ${\ displaystyle (n-1)! (pn)! - (- 1) ^ {n}}$ ${\ displaystyle (n-1)! (p-n)! - (- 1) ^ {n}}$ .

S-a presupus că pentru orice număr natural $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ există infinit multe prime ale ordinii Wilson $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

$n$ ${\ displaystyle n}$ $n$	primele cursuri $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ astfel încât $p^{2}$ ${\ displaystyle p ^ {2}}$ $p ^ 2$ acțiune $(n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}$ ${\ displaystyle (n-1)! (pn)! - (- 1) ^ {n}}$ ${\ displaystyle (n-1)! (p-n)! - (- 1) ^ {n}}$ (până la 10000)
1	5, 13, 563, ...
2	2, 3, 11, 107, 4931, ...
3	7, ...
4	10429, ...
5	5, 7, 47, ...
6	11, ...
7	17, ...
8	...
9	541, ...
10	11, 1109, ...
11	17, 2713, ...
12	...
13	13, ...
14	...
15	349, ...
16	31, ...
17	61, 251, 479, ...
18	13151527, ...
19	71, ...
20	59, 499, ...
21	217369, ...
22	...
23	...
24	47, 3163, ...
25	...
26	97579, ...
27	53, ...
28	347, ...
29	...
30	137, 1109, 5179, ...

Numere Wilson

Un număr Wilson este un număr natural $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ astfel încât $W(n)\equiv 0{\bmod {n}}^{2}$ ${\ displaystyle W (n) \ equiv 0 {\ bmod {n}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle W (n) \ equiv 0 {\ bmod {n}} ^ {2}}$ unde este ${\displaystyle W(n)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}{k}+e}$ ${\ displaystyle {\ displaystyle W (n) = \ prod _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, n) = 1}} {k} + e}}$ ${\ displaystyle {\ displaystyle W (n) = \ prod _ {\ stackrel {1 \ leq k \ leq n} {\ gcd (k, n) = 1}} {k} + e}}$ , si unde $e=1$ ${\ displaystyle e = 1}$ ${\ displaystyle e = 1}$ de sine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ altfel are o rădăcină primitivă $e=-1$ ${\ displaystyle e = -1}$ ${\ displaystyle e = -1}$ . ^[9] Pentru fiecare număr natural $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , $W(n)$ ${\ displaystyle W (n)}$ ${\ displaystyle W (n)}$ este divizibil cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Numerele lui Wilson sunt

1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158, ...

Dacă un număr Wilson $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este prim, atunci este considerat un prim Wilson. Există până la 13 numere Wilson $5\cdot 10^{8}$ ${\ displaystyle 5 \ cdot 10 ^ {8}}$ ${\ displaystyle 5 \ cdot 10 ^ {8}}$ .

Notă

^ (EN) secvența A007540 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ A Search for Wilson primes Adus pe 2 noiembrie 2012.
^ The Prime Glossary: Wilson prime
^ R. McIntosh , STATUSUL WILSON (februarie 1999) . E-mail către Paul Zimmermann , 9 martie 2004. Accesat la 6 iunie 2011 .
^ O căutare a primilor lui Wieferich și Wilson , p 443
^ ( DE ) P. Ribenboim și W. Keller, Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde , Berlin Heidelberg New York, Springer, 2006, p. 241, ISBN 3-540-34283-4 .
^ Site Ibercivis , pe ibercivis.net . Adus la 13 septembrie 2018 (Arhivat din original la 20 iunie 2012) .
^ Căutare distribuită pentru primii Wilson (la mersenneforum.org)
^ vezi generalizarea lui Gauss a teoremei lui Wilson

Elemente conexe

linkuri externe

( RO ) Glossary Prime: Wilson prime , pe primes.utm.edu .
(RO) MathWorld: Wilson mai întâi , pe mathworld.wolfram.com.
( EN ) Starea căutării primelor Wilson , pe loria.fr .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) secvența A007540 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[Search-2] A Search for Wilson primes Adus pe 2 noiembrie 2012.

[3] The Prime Glossary: Wilson prime

[4] R. McIntosh , STATUSUL WILSON (februarie 1999) . E-mail către Paul Zimmermann , 9 martie 2004. Accesat la 6 iunie 2011 .

[5] O căutare a primilor lui Wieferich și Wilson , p 443

[6] ( DE ) P. Ribenboim și W. Keller, Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde , Berlin Heidelberg New York, Springer, 2006, p. 241, ISBN 3-540-34283-4 .

[7] Site Ibercivis , pe ibercivis.net . Adus la 13 septembrie 2018 (Arhivat din original la 20 iunie 2012) .

[8] Căutare distribuită pentru primii Wilson (la mersenneforum.org)

[9] vezi generalizarea lui Gauss a teoremei lui Wilson

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]