Numărul prim al lui Wieferich

În matematică , un prim Wieferich este un număr prim p astfel încât p ² 2 ^p divide ^{- 1} - 1; comparați acest lucru cu mica teoremă a lui Fermat , conform căreia fiecare p prim împarte 2 ^{p - 1} - 1. Primii lui Wieferich au fost descriși pentru prima dată în 1909 de Arthur Wieferich , în lucrări referitoare la ultima teoremă a lui Fermat .

Căutarea primilor de către Wieferich

Singurele prime Wieferich cunoscute sunt 1093 și 3511 ^[1] , găsite de W. Meissner în 1913 și respectiv NGWH Beeger în 1922 ; dacă există altele, trebuie să fie> 1,25 × 10 ^{15 [2]} . S-a presupus că există doar o multitudine finită de primii Wieferich; conjectura este încă nedovedită, deși JH Silverman în 1988 a putut dovedi că dacă abc conjectura deține, atunci pentru fiecare pozitiv întreg a> 1, există o multitudine infinită de amorse p astfel încât p ² nu divide o ^{p - 1} - 1.

Proprietatea primilor Wieferich

• Primii Wieferich și numerele Mersenne .

Un număr Mersenne este definit ca M _q = 2 ^q −1 (unde q este prim) și prin mica teoremă a lui Fermat se știe că M _{p −1} (= 2 ^{p −1} −1) este întotdeauna divizibil cu un p prim.

Mai mult, se poate întâmpla că, cu q fiind un factor prim al lui p −1, M _q < M _{p −1} este, de asemenea, divizibil cu p .

Din definiția lui Wieferich a primului w avem că 2 ^{w - 1} −1 este divizibil cu w ² și nu numai cu w .

Acum q poate fi un factor de w −1, iar M _q este încă divizibil cu w ; deci întrebarea care se pune este dacă există un număr Mersenne M _q , care este, de asemenea, divizibil cu w ² sau dacă poate fi el însuși un prim Wieferich.

De asemenea, poate arăta că

dacă w ² împarte 2 ^{w - 1} −1 și w împarte M _q (= 2 ^q −1), unde q este divizorul prim al lui w −1

atunci w ² trebuie să împartă și M _q ; deci M _q ar conține un pătrat (și nu ar putea fi prim).

Cele două prime Wieferich cunoscute w = 1093 și w = 3511, nu îndeplinesc condiția împărțirii unui număr Mersenne M _q cu exponentul principal q ; asa de

niciun prim Wieferich nu este un factor al unui număr Mersenne.

Dar faptul că acest lucru este în general imposibil nu se știe în prezent; o versiune mai generală a acestei întrebări este: Numerele Mersenne sunt toate întregi fără pătrate ?

Deoarece orice _q M care conține un prim Wieferich w trebuie să conțină , de asemenea , w ^2, rezultă imediat că nu va fi prim. Prin urmare

un prim Mersenne nu poate fi un prim Wieferich.

• Generalizarea ciclotomică

Pentru o generalizare ciclotomică a proprietății Wieferich ( n ^p −1) / ( n −1) divizibil cu w ² există soluții precum

(3 ⁵ - 1) / (3-1) = 11 ²

și, de asemenea, exponenți mai mari de 2 ca în

(19 ⁶ - 1) / (19 - 1) divizibil cu 7 ³

• Mai mult, dacă w este un prim Wieferich, atunci 2 ^{w 2} = 2 (mod w ² ).

Primii lui Wieferich și ultima teoremă a lui Fermat

Următoarea teoremă care leagă primii lui Wieferich și ultima teoremă a lui Fermat a fost dovedită de Wieferich în 1909 :

Fie p un număr prim și fie x , y , z numere întregi astfel încât x ^p + y ^p + z ^p = 0. Să presupunem, de asemenea, că p nu împarte produsul xyz . Atunci p este un prim Wieferich.

În 1910 , Mirimanoff a fost capabil să se extindă pe teorema arătând că , dacă condițiile prealabile ale teoremei sunt adevărate pentru unele prim p, atunci p ² trebuie să împartă , de asemenea , 3 ^{p - 1.} Numerele prime de acest tip au fost uneori numite prime Mirimanoff , dar numele nu a intrat în terminologia matematică în general utilizată.

Notă

Bibliografie

• A. Wieferich, " Zum letzten Fermat'schen Theorem ", Journal für Reine Angewandte Math., 136 (1909) 293-302
• NGWH Beeger, „ Despre un nou caz al congruenței 2 ^{p - 1} = 1 (p ² ) , Messenger of Math, 51 (1922), 149-150
• W. Meissner, " Über die Teilbarkeit von 2p ^p - 2 durch das Quadrat der Primzahl p = 1093 , Sitzungsber. Akad. D. Wiss. Berlin (1913), 663-667
• JH Silverman, „ Criteriul lui Wieferich și conjectura abc ”, Journal of Number Theory, 30: 2 (1988) 226-237

Elemente conexe

• În primul rând al lui Wilson
• Primul din Zid-Soare-Soare
• În primul rând Wolstenholme

linkuri externe

• Glosarul primului: primul de Wieferich , pe primes.utm.edu .
• (EN) Eric W. Weisstein, primul număr Wieferich în MathWorld Wolfram Research.
• Stare de cercetare pentru primul din Wieferich , pe loria.fr .
• Wieferich @ Home , pe elmath.org . Adus la 27 aprilie 2019 (arhivat din original la 1 aprilie 2009) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică