Problema Brocard
În teoria numerelor , problema lui Brocard cere să găsim pentru care numere întregi n , expresia n ! + 1 este un pătrat perfect ; se presupune că acest lucru se întâmplă numai pentru n egal cu 4, 5 sau 7. Cu alte cuvinte, nu se știe dacă există alte soluții ( n , m ) ale ecuației diofantine
- n ! + 1 = m 2
în afară de perechile (4, 5), (5, 11) și (7, 71). Aceste perechi se numesc numere maro .
Problema a fost ridicată pentru prima dată de Henri Brocard în 1876 și independent, în 1913 , de Srinivasa Ramanujan . În 1906 A. Gérardin a demonstrat că, dacă există soluții pentru m > 71, atunci m are cel puțin 20 de cifre. În 1935, H. Gupta a declarat că nu existau alte soluții pentru n ≤ 63, altele decât cele deja cunoscute.
În 1993, M. Overholt a demonstrat că, dacă forma slabă a conjecturii Szpiro este adevărată, atunci există doar un număr finit de soluții la ecuație.
În 1986 Wells a verificat că nu există soluții pentru n ≤ 10 7 , iar în 2000 Bruce Berndt și William Galway au extins acest rezultat la n ≤ 10 9 .
Generalizare
Este firesc să generalizăm problema și, având în vedere un număr întreg pozitiv k , să întrebăm câte și care sunt soluțiile ecuației
- n ! + k = m 2
A. Dabrowski a demonstrat că soluțiile sunt finite dacă k nu este un pătrat perfect. Mai mult, luând forma slabă a conjecturii lui Szpiro, el a demonstrat că soluțiile sunt finite chiar dacă k este un pătrat perfect.
Elemente conexe
linkuri externe
- (EN) Eric W. Weisstein, problema lui Brocard , în MathWorld Wolfram Research.
- Bruce B. Berndt și William F. Galway, „Pe ecuația diofantină Brocard-Ramanujan.”, Unde există rezultatele verificării până la n ≤ 10 9 și despre generalizarea problemei, descărcabile de pe http: // www .math .uiuc.edu / ~ galway / Submissions / Ramanujan469.ps șihttp://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/galway.pdf .
