Problema regiomontano

În matematică , problema de maximizare a unghiului Regiomontano este o celebră problemă de optimizare ^[1] propusă în secolul al XV-lea de matematicianul german Johannes Müller ^[2] (cunoscut sub numele de Regiomontano ). Problema este următoarea:

Cele două puncte de pe linia de vedere sunt posibile poziții ale ochiului observatorului.

Un tablou atârnă de un perete. Având în vedere înălțimea părții superioare și inferioare a picturii în raport cu planul de vedere, cât de mult trebuie să fie distanța observatorului de perete pentru a avea unghiul maxim subtins de pictură și al cărui vârf este ochiul Observatorul?

Dacă observatorul este prea departe sau prea aproape, unghiul este mic; trebuie să existe un punct între care unghiul să fie cât mai mare posibil.

Aceeași abordare se aplică și în rugby, în găsirea locului optim din care să lovească mingea. ^[3] În realitate, alinierea imaginii nu trebuie să fie în unghi drept: puteți privi de la o fereastră din Turnul înclinat din Pisa sau puteți fi un agent imobiliar care să arate beneficiile unui luminator într-un acoperiș înclinat.

Soluție prin geometrie elementară

Punctul de tangență al cercului cu linia de vedere este soluția la problema Regiomontano.

Există un singur cerc care trece prin partea superioară și inferioară a picturii și, de asemenea, tangent la planul de vedere. Folosind geometria elementară, dacă poziția observatorului se deplasa de-a lungul cercului, unghiul subtins de pictură ar rămâne constant, deoarece unghiul față de circumferință insistă pe același acord. Toate pozițiile pe linia observatorului, cu excepția punctului de tangență, se află în afara cercului și, prin urmare, pentru acele puncte unghiul subtins de imagine este mai mic.

Din elementele III.36 (sau alternativ puterea teoremei punctului), distanța dintre perete și punctul de tangență este media geometrică a înălțimii laturii superioare și inferioare a picturii. La rândul său, acest lucru înseamnă că, dacă reflectați partea de jos a picturii pe linia de vedere și trageți cercul cu diametrul segmentului dintre punctul de sus al picturii și punctul reflectat, cercul intersectează linia de vedere în poziția necesară (din Elementele II.14).

Soluție prin calcul infinitesimal

În prezent, această problemă este cunoscută pe scară largă, deoarece apare ca un exercițiu în multe manuale de analiză din primul an (de exemplu, Stewart ^[4] ).

Este

la

{\ displaystyle a}

la

= înălțimea părții inferioare a tabloului de distribuție în raport cu linia de vedere;

b

{\ displaystyle b}

b

= înălțimea părții superioare a tabloului de distribuție în raport cu planul de vizionare;

X

{\ displaystyle x}

X

= distanța observatorului de perete;

\alpha

{\ displaystyle \ alpha}

\ alfa

= unghiul de înălțime al părții inferioare a picturii, văzut din poziția observatorului;

\beta

{\ displaystyle \ beta}

\ beta

= unghiul de înălțime al părții superioare a picturii, văzut din poziția observatorului.

Unghiul care trebuie maximizat este $\beta -\alpha$ ${\ displaystyle \ beta - \ alpha}$ ${\ displaystyle \ beta - \ alpha}$ . Tangenta (matematică) a unghiului este o funcție în creștere în $(0,\pi /2)$ ${\ displaystyle (0, \ pi / 2)}$ ${\ displaystyle (0, \ pi / 2)}$ , deci este suficient să maximizați

\tan(\beta -\alpha )={\frac {\tan \beta -\tan \alpha }{1+\tan \beta \tan \alpha }}={\frac {{\frac {b}{x}}-{\frac {a}{x}}}{1+{\frac {b}{x}}\cdot {\frac {a}{x}}}}=(b-a){\frac {x}{x^{2}+ab}}.

{\ displaystyle \ tan (\ beta - \ alpha) = {\ frac {\ tan \ beta - \ tan \ alpha} {1+ \ tan \ beta \ tan \ alpha}} = {\ frac {{\ frac {b } {x}} - {\ frac {a} {x}}} {1 + {\ frac {b} {x}} \ cdot {\ frac {a} {x}}}} = (ba) {\ frac {x} {x ^ {2} + ab}}.}

{\ displaystyle \ tan (\ beta - \ alpha) = {\ frac {\ tan \ beta - \ tan \ alpha} {1+ \ tan \ beta \ tan \ alpha}} = {\ frac {{\ frac {b } {x}} - {\ frac {a} {x}}} {1 + {\ frac {b} {x}} \ cdot {\ frac {a} {x}}}} = (ba) {\ frac {x} {x ^ {2} + ab}}.}

De cand $b-a$ ${\ displaystyle ba}$ $b-a$ este o constantă pozitivă, doar fracția trebuie maximizată. Prin derivare, se obține

{d \over dx}\left({\frac {x}{x^{2}+ab}}\right)={\frac {ab-x^{2}}{(x^{2}+ab)^{2}}}\qquad {\begin{cases}{}>0&{\text{if }}0\leq x<{\sqrt {ab\,{}}},\\{}=0&{\text{if }}x={\sqrt {ab\,{}}},\\{}<0&{\text{if }}x>{\sqrt {ab\,{}}}.\end{cases}}

{\ displaystyle {d \ over dx} \ left ({\ frac {x} {x ^ {2} + ab}} \ right) = {\ frac {ab-x ^ {2}} {(x ^ {2 } + ab) ^ {2}}} \ qquad {\ begin {cases} {}> 0 & {\ text {if}} 0 \ leq x <{\ sqrt {ab \, {}}}, \\ { } = 0 & {\ text {if}} x = {\ sqrt {ab \, {}}}, \\ {} <0 & {\ text {if}} x> {\ sqrt {ab \, {} }}. \ end {cases}}}

{\ displaystyle {d \ over dx} \ left ({\ frac {x} {x ^ {2} + ab}} \ right) = {\ frac {ab-x ^ {2}} {(x ^ {2 } + ab) ^ {2}}} \ qquad {\ begin {cases} {}> 0 & {\ text {if}} 0 \ leq x <{\ sqrt {ab \, {}}}, \\ { } = 0 & {\ text {if}} x = {\ sqrt {ab \, {}}}, \\ {} <0 & {\ text {if}} x> {\ sqrt {ab \, {} }}. \ end {cases}}}

Prin urmare unghiul subtendent crește în $[0,{\sqrt {ab}}]$ ${\ displaystyle [0, {\ sqrt {ab}}]}$ ${\ displaystyle [0, {\ sqrt {ab}}]}$ și coborând pentru $x>{\sqrt {ab}}$ ${\ displaystyle x> {\ sqrt {ab}}}$ ${\ displaystyle x> {\ sqrt {ab}}}$ . Unghiul maxim este atins atunci când $x={\sqrt {ab}}$ ${\ displaystyle x = {\ sqrt {ab}}}$ ${\ displaystyle x = {\ sqrt {ab}}}$ , media geometrică a $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ .

Soluție prin algebră

Am văzut că este suficient să maximizăm

{\frac {x}{x^{2}+ab}}.

{\ displaystyle {\ frac {x} {x ^ {2} + ab}}.}

{\ displaystyle {\ frac {x} {x ^ {2} + ab}}.}

Acest lucru este echivalent cu minimizarea reciprocă:

{\frac {x^{2}+ab}{x}}=x+{\frac {ab}{x}}.

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} + ab} {x}} = x + {\ frac {ab} {x}}.}

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} + ab} {x}} = x + {\ frac {ab} {x}}.}

Folosind completarea pătratului, observăm că ultima cantitate este egală cu

\left({\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {ab}{x}}}\,\right)^{2}+2{\sqrt {ab\,{}}}.

{\ displaystyle \ left ({\ sqrt {x}} - {\ sqrt {\ frac {ab} {x}}} \, \ right) ^ {2} +2 {\ sqrt {ab \, {}}} .}

{\ displaystyle \ left ({\ sqrt {x}} - {\ sqrt {\ frac {ab} {x}}} \, \ right) ^ {2} +2 {\ sqrt {ab \, {}}} .}

Această expresie este minimă atunci când pătratul este și se întâmplă când $x={\sqrt {ab}}$ ${\ displaystyle x = {\ sqrt {ab}}}$ ${\ displaystyle x = {\ sqrt {ab}}}$ . Alternativ, ar putea fi utilizată inegalitatea dintre media aritmetică și media geometrică .

Notă

^ Heinrich Dörrie, 100 de mari probleme ale matematicii elementare: istoria și soluția lor , Dover, 1965, pp. 369-370
^ Eli Maor, Trigonometric Delights , Princeton University Press , 2002, paginile 46–48
^ Troy Jones și Steven Jackson, Rugby și matematică: o legătură surprinzătoare între geometrie, conică și calcul ( PDF ), în profesor de matematică , vol. 94, nr. 8, 2001, pp. 649-654. .
^ James Stewart, Calcul: Early Transcendentals , ediția a cincea, Brooks / Cole, 2003, pagina 340, exercițiul 58

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Heinrich Dörrie, 100 de mari probleme ale matematicii elementare: istoria și soluția lor , Dover, 1965, pp. 369-370

[2] Eli Maor, Trigonometric Delights , Princeton University Press , 2002, paginile 46–48

[3] Troy Jones și Steven Jackson, Rugby și matematică: o legătură surprinzătoare între geometrie, conică și calcul ( PDF ), în profesor de matematică , vol. 94, nr. 8, 2001, pp. 649-654. .

[4] James Stewart, Calcul: Early Transcendentals , ediția a cincea, Brooks / Cole, 2003, pagina 340, exercițiul 58

[1]

[2]

[3]

[4]