Modulația de frecvență

Modulația de frecvență
purtător = frecvență purtător
signal = signal modulating
ieșire = purtător modulat

Modulația de frecvență , acronimul FM (de la termenul analogic modulare de frecvență în limba engleză ) sau mai rar MF ^[1] , în telecomunicații , este una dintre tehnicile de transmisie utilizate pentru a transmite informații utilizând variația de frecvență a undei purtătoare . El aparține modulațiilor de undă continuă, adică cele care modulează un purtător sinusoidal și, în special, aparține celor care efectuează modulație unghiulară (neliniară), deoarece insistă asupra fazei purtătorului. În FM există o legătură liniară între abaterea de frecvență și mesaj.

Caracteristici

Un semnal transmis prin tehnica AM și FM.

FM constă în modularea frecvenței semnalului radio care trebuie utilizat pentru transmisie (numit purtător ) într-o manieră proporțională cu amplitudinea semnalului de transmis.

Comparativ cu modulația amplitudinii , are avantajul că este mult mai puțin sensibilă la perturbări și permite o transmisie de calitate mai bună. De asemenea, are o eficiență energetică mult mai mare, deoarece puterea semnalului modulat FM este exclusiv cea a purtătorului: adică semnalul informațional nu necesită o putere suplimentară pentru a fi transmisă.

Principalul dezavantaj este necesitatea unor circuite mult mai complexe, atât pentru generarea semnalului care urmează să fie transmis, cât și pentru recepția acestuia, precum și cererea mai mare de lățime de bandă de transmisie (cerere rambursată printr-o robustețe mai mare la zgomot). Tehnologia actuală a făcut posibilă depășirea cu ușurință a acestor probleme, cu rezultatul că transmisiile de modulație de frecvență sunt din ce în ce mai utilizate în detrimentul celor de modulare a amplitudinii, în special în domeniul difuzării comerciale.

Teorie

Frecvența instantanee a unui semnal cu frecvență modulată poate fi scrisă ca $f_{i}(t)=f_{c}+k_{f}m(t)$ ${\ displaystyle f_ {i} (t) = f_ {c} + k_ {f} m (t)}$ $f_ {i} (t) = f_ {c} + k_ {f} m (t)$ , unde este:

$k_{f}$ ${\ displaystyle k_ {f}}$ $ce faci}$ este o constantă care se numește factorul de sensibilitate a frecvenței modulatorului
$m(t)$ ${\ displaystyle m (t)}$ $m (t)$ este semnalul modulator
$f_{c}$ ${\ displaystyle f_ {c}}$ $f_ {c}$ este frecvența purtătorului nemodulat

Faza instantanee a semnalului modulat poate fi scrisă ca:

${\begin{aligned}\theta _{i}(t)&=2\pi \int _{0}^{t}f_{i}\left(\tau \right)d\tau \\&=2\pi f_{c}t+2\pi k_{f}\int _{0}^{t}m\left(\tau \right)d\tau \end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ theta _ {i} (t) & = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {t} f_ {i} \ left (\ tau \ right) d \ tau \\ & = 2 \ pi f_ {c} t + 2 \ pi k_ {f} \ int _ {0} ^ {t} m \ left (\ tau \ right) d \ tau \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ theta _ {i} (t) & = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {t} f_ {i} \ left (\ tau \ right) d \ tau \\ & = 2 \ pi f_ {c} t + 2 \ pi k_ {f} \ int _ {0} ^ {t} m \ left (\ tau \ right) d \ tau \ end {align}}}$

În cele din urmă, semnalul modulat va avea forma $s(t)=A_{c}\cos \left(2\pi f_{c}t+2\pi k_{f}\int _{0}^{t}m(\tau )d\tau \right)$ ${\ displaystyle s (t) = A_ {c} \ cos \ left (2 \ pi f_ {c} t + 2 \ pi k_ {f} \ int _ {0} ^ {t} m (\ tau) d \ tau \ right)}$ $s (t) = A_ {c} \ cos \ left (2 \ pi f_ {c} t + 2 \ pi k_ {f} \ int _ {{0}} ^ {{t}} m (\ tau) d \ tau \ right)$

Analiza spectrală

Un semnal modulat cu această tehnică este o funcție neliniară a semnalului modulant și acest lucru face foarte dificilă efectuarea analizei spectrale a unui semnal generat de frecvență modulat. În acest scop, sunt introduse câteva simplificări: un semnal sinusoidal cu un singur ton este considerat un semnal modulant și cazul în care produce un semnal FM în bandă largă se distinge de cel în care produce un semnal FM în bandă îngustă. Rețineți că semnalul modulator în cauză nu este ales la întâmplare, ci joacă un rol fundamental în teoria semnalelor în virtutea teoremei lui Fourier .

Modulație de frecvență în bandă îngustă

Unul dintre aspectele prioritare ale oricărei modulații este de a înțelege care este potențialul său în ceea ce privește ocuparea lățimii de bandă. Prin urmare, utilizarea unui semnal sinusoidal izofrecvențial ca semnal modulant permite înțelegerea analitică a caracteristicilor spectrale ale unei modulații. Prin intermediul unui semnal modulator izofrecvențial, de fapt, este posibil să se prezică că, pentru teoria transformatelor Fourier, banda va fi compusă din componente impulsive, deci cu o zonă teoretic nulă, chiar dacă din punct de vedere fizic vor au o suprafață foarte mică. Din acest motiv, generând o bandă totală reprezentativă foarte îngustă, vorbim de modulație „bandă îngustă”. Pentru cele spuse, semnalul modulator poate fi scris ca un semnal de o singură frecvență de tipul:

$m(t)=A_{m}\cos \left(2\pi f_{m}t\right)$ ${\ displaystyle m (t) = A_ {m} \ cos \ left (2 \ pi f_ {m} t \ right)}$ ${\ displaystyle m (t) = A_ {m} \ cos \ left (2 \ pi f_ {m} t \ right)}$

Frecvența instantanee a undei rezultate este

${\begin{aligned}f_{i}(t)&=f_{c}+k_{f}A_{m}\cos(2\pi f_{m}t)\\&=f_{c}+\Delta f\cos(2\pi f_{m}t)\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} f_ {i} (t) & = f_ {c} + k_ {f} A_ {m} \ cos (2 \ pi f_ {m} t) \\ & = f_ {c } + \ Delta f \ cos (2 \ pi f_ {m} t) \ end {align}}}$ ${\ begin {align} f_ {i} (t) & = f_ {c} + k_ {f} A_ {m} \ cos (2 \ pi f_ {m} t) \\ & = f_ {c} + \ Delta f \ cos (2 \ pi f_ {m} t) \ end {align}}$

$\Delta f=A_{m}k_{f}$ ${\ displaystyle \ Delta f = A_ {m} k_ {f}}$ ${\ displaystyle \ Delta f = A_ {m} k_ {f}}$ se numește abatere de frecvență și reprezintă abaterea maximă între frecvența instantanee a purtătorului și cea a semnalului FM.

Faza instantanee, așa cum s-a menționat mai sus, va fi egală cu:

${\begin{aligned}\theta _{i}(t)&=2\pi f_{c}t+{\frac {\Delta f}{f_{m}}}\sin(2\pi f_{m}t)\\&=2\pi f_{c}t+\beta \sin(2\pi f_{m}t)\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ theta _ {i} (t) & = 2 \ pi f_ {c} t + {\ frac {\ Delta f} {f_ {m}}} \ sin (2 \ pi f_ {m} t) \\ & = 2 \ pi f_ {c} t + \ beta \ sin (2 \ pi f_ {m} t) \ end {align}}}$ ${\ begin {align} \ theta _ {i} (t) & = 2 \ pi f_ {c} t + {\ frac {\ Delta f} {f_ {m}}} \ sin (2 \ pi f_ {m } t) \\ & = 2 \ pi f_ {c} t + \ beta \ sin (2 \ pi f_ {m} t) \ end {align}}$

unde este $\beta ={\frac {\Delta f}{f_{m}}}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {\ Delta f} {f_ {m}}}}$ $\ beta = {\ frac {\ Delta f} {f_ {m}}}$ este denumit în mod obișnuit indicele de modulație .

Pentru ca unda modulată să fie bandă îngustă, trebuie să fie $\beta \ll 1$ ${\ displaystyle \ beta \ ll 1}$ $\ beta \ ll 1$ iar prin formulele de adăugare a cosinusului este posibil să scriem

$s(t)=A_{c}\cos \left(2\pi f_{c}t\right)\cos[\beta \sin \left(2\pi f_{m}t\right)]-A_{c}\sin \left(2\pi f_{c}t\right)\sin[\beta \sin \left(2\pi f_{m}t\right)]$ ${\ displaystyle s (t) = A_ {c} \ cos \ left (2 \ pi f_ {c} t \ right) \ cos [\ beta \ sin \ left (2 \ pi f_ {m} t \ right)] -A_ {c} \ sin \ left (2 \ pi f_ {c} t \ right) \ sin [\ beta \ sin \ left (2 \ pi f_ {m} t \ right)]}$ ${\ displaystyle s (t) = A_ {c} \ cos \ left (2 \ pi f_ {c} t \ right) \ cos [\ beta \ sin \ left (2 \ pi f_ {m} t \ right)] -A_ {c} \ sin \ left (2 \ pi f_ {c} t \ right) \ sin [\ beta \ sin \ left (2 \ pi f_ {m} t \ right)]}$

Prin urmare, considerând ca o primă aproximare expansiunile Taylor ale funcțiilor sinus și cosinus oprite la primul termen, în virtutea ipotezei făcute asupra indicelui de modulație este posibil să se scrie semnalul modulat ca

${\begin{aligned}s(t)&\approx A_{c}\cos(2\pi f_{c}t)-\beta A_{c}\sin(2\pi f_{c}t)\sin(2\pi f_{m}t)\\&\approx A_{c}\cos \left(2\pi f_{c}t\right)+{\frac {1}{2}}\beta A_{c}\left\{\cos[2\pi \left(f_{c}+f_{m}\right)t]-\cos[2\pi \left(f_{c}-f_{m}\right)t]\right\}\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} s (t) & \ approx A_ {c} \ cos (2 \ pi f_ {c} t) - \ beta A_ {c} \ sin (2 \ pi f_ {c} t ) \ sin (2 \ pi f_ {m} t) \\ & \ approx A_ {c} \ cos \ left (2 \ pi f_ {c} t \ right) + {\ frac {1} {2}} \ beta A_ {c} \ left \ {\ cos [2 \ pi \ left (f_ {c} + f_ {m} \ right) t] - \ cos [2 \ pi \ left (f_ {c} -f_ {m } \ right) t] \ right \} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} s (t) & \ approx A_ {c} \ cos (2 \ pi f_ {c} t) - \ beta A_ {c} \ sin (2 \ pi f_ {c} t ) \ sin (2 \ pi f_ {m} t) \\ & \ approx A_ {c} \ cos \ left (2 \ pi f_ {c} t \ right) + {\ frac {1} {2}} \ beta A_ {c} \ left \ {\ cos [2 \ pi \ left (f_ {c} + f_ {m} \ right) t] - \ cos [2 \ pi \ left (f_ {c} -f_ {m } \ right) t] \ right \} \ end {align}}}$

unde în ultimul pasaj s- a folosit a treia formulă a lui Werner . Semnalul modulat are în cele din urmă 3 componente principale și, în mod similar modulației amplitudinii , banda necesară transmisiei este de aproximativ $2f_{m}$ ${\ displaystyle 2f_ {m}}$ $2f_ {m}$ .

Modulație de frecvență în bandă largă

În modulația de frecvență în bandă largă, ipoteza făcută mai devreme cu privire la indicele de modulație cade. Prin urmare, este posibil să rescrieți semnalul modulat FM sub forma:

$s(t)={\mbox{Re }}\left[A_{c}e^{j2\pi f_{c}t+j\beta \sin(2\pi f_{m}t)}\right]$ ${\ displaystyle s (t) = {\ mbox {Re}} \ left [A_ {c} e ^ {j2 \ pi f_ {c} t + j \ beta \ sin (2 \ pi f_ {m} t)} \ dreapta]}$ $s (t) = {\ mbox {Re}} \ left [A_ {c} e ^ {{j2 \ pi f_ {c} t + j \ beta \ sin (2 \ pi f_ {m} t)}} \ dreapta]$

Având în vedere plicul complex $g(t)=A_{c}e^{j\beta \sin(2\pi f_{m}t)}$ ${\ displaystyle g (t) = A_ {c} e ^ {j \ beta \ sin (2 \ pi f_ {m} t)}}$ $g (t) = A_ {c} e ^ {{j \ beta \ sin (2 \ pi f_ {m} t)}}$ este ușor de verificat că este un semnal periodic cu o frecvență fundamentală $f_{m}$ ${\ displaystyle f_ {m}}$ $f_ {m}$ și, prin urmare, este exprimabilă în seria Fourier cu coeficienți

${\begin{aligned}c_{n}&=f_{m}\int _{-1/2f_{m}}^{1/2f_{m}}g(t)e^{-j2\pi nf_{m}t}dt\\&=f_{m}A_{c}\int _{-1/2f_{m}}^{1/2f_{m}}e^{j\beta \sin(2\pi f_{m}t)-j2\pi nf_{m}t}dt\\&=A_{c}J_{n}(\beta )\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} c_ {n} & = f_ {m} \ int _ {- 1 / 2f_ {m}} ^ {1 / 2f_ {m}} g (t) e ^ {- j2 \ pi nf_ {m} t} dt \\ & = f_ {m} A_ {c} \ int _ {- 1 / 2f_ {m}} ^ {1 / 2f_ {m}} e ^ {j \ beta \ sin ( 2 \ pi f_ {m} t) -j2 \ pi nf_ {m} t} dt \\ & = A_ {c} J_ {n} (\ beta) \ end {align}}}$ ${\ begin {align} c_ {n} & = f_ {m} \ int _ {{- 1 / 2f_ {m}}} ^ {{1 / 2f_ {m}}} g (t) e ^ {{- j2 \ pi nf_ {m} t}} dt \\ & = f_ {m} A_ {c} \ int _ {{- 1 / 2f_ {m}}} ^ {{1 / 2f_ {m}}} e ^ {{j \ beta \ sin (2 \ pi f_ {m} t) -j2 \ pi nf_ {m} t}} dt \\ & = A_ {c} J_ {n} (\ beta) \ end {align} }$

unde este $J_{n}(\beta )$ ${\ displaystyle J_ {n} (\ beta)}$ $J_ {n} (\ beta)$ reprezintă funcția Bessel de primul fel, de ordinul n.

Revenind la ecuația de pornire este posibil să scrieți:

${\begin{aligned}s(t)&={\mbox{Re}}\left[A_{c}\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(\beta )e^{j2\pi (f_{c}+nf_{m})t}\right]\\&=A_{c}\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(\beta )\cos[2\pi (f_{c}+nf_{m})t]\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} s (t) & = {\ mbox {Re}} \ left [A_ {c} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} J_ {n} (\ beta) e ^ {j2 \ pi (f_ {c} + nf_ {m}) t} \ right] \\ & = A_ {c} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} J_ {n } (\ beta) \ cos [2 \ pi (f_ {c} + nf_ {m}) t] \ end {align}}}$ ${\ begin {align} s (t) & = {\ mbox {Re}} \ left [A_ {c} \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} J_ {n} ( \ beta) și ^ {{j2 \ pi (f_ {c} + nf_ {m}) t}} \ right] \\ & = A_ {c} \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{ \ infty}} J_ {n} (\ beta) \ cos [2 \ pi (f_ {c} + nf_ {m}) t] \ end {align}}$

Trecând la domeniul frecvenței putem scrie:

$S(f)={\frac {A_{c}}{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(\beta )[\delta (f-f_{c}-nf_{m})+\delta (f+f_{c}+nf_{m})]$ ${\ displaystyle S (f) = {\ frac {A_ {c}} {2}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} J_ {n} (\ beta) [\ delta (f- f_ {c} -nf_ {m}) + \ delta (f + f_ {c} + nf_ {m})]}$ $S (f) = {\ frac {A_ {c}} {2}} \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} J_ {n} (\ beta) [\ delta (f -f_ {c} -nf_ {m}) + \ delta (f + f_ {c} + nf_ {m})]$

Regula lui Carson

În teorie, o purtătoare modulată în frecvență necesită transmiterea unei benzi infinite. În practică, se observă că este posibil să se neglijeze frecvențele care depășesc un anumit prag, garantând un anumit nivel de distorsiune. În acest sens, este utilă o regulă generală, cunoscută sub numele de regula Carson , care leagă indicele de modulație de banda cerută de semnal:

$B_{T}\approx 2\Delta f+2f_{m}=2\Delta f\left(1+{\frac {1}{\beta }}\right)$ ${\ displaystyle B_ {T} \ approx 2 \ Delta f + 2f_ {m} = 2 \ Delta f \ left (1 + {\ frac {1} {\ beta}} \ right)}$ $B_ {T} \ approx 2 \ Delta f + 2f_ {m} = 2 \ Delta f \ left (1 + {\ frac {1} {\ beta}} \ right)$

Stereofonie

Cea mai mare lățime de bandă disponibilă este, de asemenea, utilizată pentru a transmite semnale stereo datorită unei proceduri de multiplexare care vă permite să manipulați semnalele referitoare la cele două canale stereo și să le transmiteți sub forma unui semnal sumar (stânga + dreapta) și a unui semnal diferențial (stânga) dreapta). Semnalul de diferență este tradus cu o anumită procedură deasupra benzii sonore. În acest fel, există compatibilitate cu receptoarele monofonice care reproduc doar semnalul sumă, în timp ce receptoarele stereofonice sunt capabile să regenereze semnalele stereo originale.

Notă

^ MF , în Treccani.it - Enciclopedii on-line , Institutul Enciclopediei Italiene.

Bibliografie

Invitație la modularea frecvenței (broșură din anii 1950 privind tranziția de la AM la FM în difuzarea radio), Rai (?).
Alessandro Falaschi, Teoria semnalelor , 1.7ª ed., 2019, ISBN 9788831629799 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre modularea frecvenței

linkuri externe

( EN ) Modulația de frecvență , în Enciclopedia Britanică , Enciclopedia Britanică, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 55901 · LCCN (EN) sh85110474 · BNF (FR) cb11950829t (data)

Portal de publicare : accesați intrările Wikipedia referitoare la publicare

[1] MF , în Treccani.it - Enciclopedii on-line , Institutul Enciclopediei Italiene.

[1]

V · D · M Modulații ale lățimii de bandă
Modulații analogice	AM · SSB · QAM · FM · PM
Modulații digitale	FSK · MFSK · ASK · OOK · PSK · QAM · MSK · CPM · PPM · TCM · SC-FDE
Extinderea spectrului	CSS · DSSS · FHSS · THSS
Elemente conexe	PAM , PWM , PCM , modem , codare linie