Regula de aur a economiilor

Regula de aur (sau rata de economisire a regulii de aur ) din economie este acea rată specială care maximizează nivelul stării de echilibru a consumului în modelul de creștere al Solow . Precizăm că acesta este un model de creștere care este valabil numai pe termen lung. De fapt, o creștere a ratei de economisire pe termen scurt deprimă consumul, întrucât consumatorul își vede imediat venitul disponibil redus. Nivelul producției pe angajat și capitalul pe angajat va tinde să necesite timp pentru ajustare și, de fapt, cu investiții mai mari (I = S), vom realiza, de asemenea, un consum mai mare pe termen lung.

În modelul Solow, o rată de economisire de 100% implică faptul că toată producția este reinvestită pentru producția viitoare, ducând la un nivel zero al consumului în stare stabilă. În mod similar, cu o rată de 0%, nu se investește nimic, ceea ce duce la deprecierea totală a capitalului existent care nu este înlocuit și revine la un nivel zero al consumului . În intervalul dintre aceste două extreme se află rata de economisire a Regulei de Aur, unde înclinația de a economisi este de așa natură încât consumul pe cap de locuitor este constant și maxim.

Derivare

Funcția de producție a unei națiuni să fie :

Q=F(K,L)

{\ displaystyle Q = F (K, L)}

{\ displaystyle Q = F (K, L)}

unde K este capital, L este muncă și Q este producție. Împărțind la L obținem valori pe cap de locuitor. Presupunând că funcția de producție este omogenă de gradul unu, avem:

{\frac {Q}{L}}=f(k)

{\ displaystyle {\ frac {Q} {L}} = f (k)}

{\ displaystyle {\ frac {Q} {L}} = f (k)}

unde k este raportul capital / muncă. Consumul (C) este producția care nu este investită (I). Poti sa scrii:

{\frac {Q}{L}}={\frac {C}{L}}+{\frac {I}{L}}=c+{\frac {\dot {K}}{L}}

{\ displaystyle {\ frac {Q} {L}} = {\ frac {C} {L}} + {\ frac {I} {L}} = c + {\ frac {\ dot {K}} {L }}}

{\ displaystyle {\ frac {Q} {L}} = {\ frac {C} {L}} + {\ frac {I} {L}} = c + {\ frac {\ dot {K}} {L }}}

unde c este consumul pe cap de locuitor și punctul de deasupra unei variabile indică un derivat în raport cu timpul (investiția crește stocul de capital). De cand:

{\dot {k}}={\frac {\dot {K}}{L}}-{\frac {\dot {L}}{L}}{\frac {K}{L}}

{\ displaystyle {\ dot {k}} = {\ frac {\ dot {K}} {L}} - {\ frac {\ dot {L}} {L}} {\ frac {K} {L}} }

{\ displaystyle {\ dot {k}} = {\ frac {\ dot {K}} {L}} - {\ frac {\ dot {L}} {L}} {\ frac {K} {L}} }

poti sa scrii:

f(k)=c+{\dot {k}}+gk

{\ displaystyle f (k) = c + {\ dot {k}} + gk}

{\ displaystyle f (k) = c + {\ dot {k}} + gk}

unde este $g={\dot {L}}/L$ ${\ displaystyle g = {\ dot {L}} / L}$ ${\ displaystyle g = {\ dot {L}} / L}$ este rata de creștere a populației (L). În echilibru staționar, raportul capital / muncă nu se mai modifică și astfel:

c=f(k^{*})-gk^{*}

{\ displaystyle c = f (k ^ {*}) - gk ^ {*}}

{\ displaystyle c = f (k ^ {*}) - gk ^ {*}}

Valoarea a $k^{*}$ ${\ displaystyle k ^ {*}}$ ${\ displaystyle k ^ {*}}$ care maximizează consumul pe cap de locuitor este:

f^{\prime }(k^{*})=g

{\ displaystyle f ^ {\ prime} (k ^ {*}) = g}

{\ displaystyle f ^ {\ prime} (k ^ {*}) = g}

^[1]

Astfel, obținem regula de aur a acumulării de capital (regula de aur a economisirii): pentru a maximiza consumul pe cap de locuitor, productivitatea marginală a capitalului în echilibru staționar [ $f^{\prime }(k^{*})$ ${\ displaystyle f ^ {\ prime} (k ^ {*})}$ ${\ displaystyle f ^ {\ prime} (k ^ {*})}$ ] trebuie să fie egală cu rata de creștere a populației. Folosind această regulă putem determina dacă economiile (și investițiile) unei națiuni sunt optime. Această regulă este adesea utilizată de FMI în revizuirea periodică a politicilor economice naționale.

Regula de aur modificată

Națiunea dorește să maximizeze utilitatea intertemporală:

\int _{o}^{\infty }e^{-\rho t}u(c_{t})dt

{\ displaystyle \ int _ {o} ^ {\ infty} e ^ {- \ rho t} u (c_ {t}) dt}

{\ displaystyle \ int _ {o} ^ {\ infty} e ^ {- \ rho t} u (c_ {t}) dt}

unde este $u(c_{t})$ ${\ displaystyle u (c_ {t})}$ ${\ displaystyle u (c_ {t})}$ este utilitatea instantanee a consumului e $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este rata de actualizare subiectivă a timpului. Variația consumului depinde de ecuația diferențială :

{\dot {k}}=f(k)-gk-c

{\ displaystyle {\ dot {k}} = f (k) -gk-c}

{\ displaystyle {\ dot {k}} = f (k) -gk-c}

Folosind metoda Pontryagin avem valoarea curentă a hamiltonienului:

{\mathcal {H}}^{c}=u(c_{t})+\lambda \left[f(k)-gk-c\right]

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {c} = u (c_ {t}) + \ lambda \ left [f (k) -gk-c \ right]}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {c} = u (c_ {t}) + \ lambda \ left [f (k) -gk-c \ right]}

unde este $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este o variabilă auxiliară. După înlocuirea acestei variabile în condițiile primei comenzi ^[2] găsim:

\left[c{\frac {u^{\prime \prime }(c)}{u^{\prime }c}}\right]{\frac {\dot {c}}{c}}=\rho +g-f^{\prime }(k)

{\ displaystyle \ left [c {\ frac {u ^ {\ prime \ prime} (c)} {u ^ {\ prime} c}} \ right] {\ frac {\ dot {c}} {c}} = \ rho + gf ^ {\ prime} (k)}

{\ displaystyle \ left [c {\ frac {u ^ {\ prime \ prime} (c)} {u ^ {\ prime} c}} \ right] {\ frac {\ dot {c}} {c}} = \ rho + gf ^ {\ prime} (k)}

În echilibru staționar ${\dot {c}}=0$ ${\ displaystyle {\ dot {c}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ dot {c}} = 0}$ asa de:

f^{\prime }(k^{*})=\rho +g

{\ displaystyle f ^ {\ prime} (k ^ {*}) = \ rho + g}

{\ displaystyle f ^ {\ prime} (k ^ {*}) = \ rho + g}

Cu această regulă de aur modificată, raportul capital / muncă va fi mai mic datorită nerăbdării reprezentate de rata de actualizare a timpului.

Notă

^ Dacă luați investiția brută atunci:
${\dot {K}}=I-\delta K$ ${\ displaystyle {\ dot {K}} = I- \ delta K}$ ${\ displaystyle {\ dot {K}} = I- \ delta K}$
unde este $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ este rata de amortizare. Regula devine:
$f^{\prime }(k^{*})=\delta +g$ ${\ displaystyle f ^ {\ prime} (k ^ {*}) = \ delta + g}$ ${\ displaystyle f ^ {\ prime} (k ^ {*}) = \ delta + g}$
^ : ${\frac {\partial {\mathcal {H}}^{c}}{\partial c_{t}}}={\frac {\partial u}{\partial c_{t}}}-\lambda =0$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}} ^ {c}} {\ partial c_ {t}}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial c_ {t}}} - \ lambda = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}} ^ {c}} {\ partial c_ {t}}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial c_ {t}}} - \ lambda = 0}$
${\dot {\lambda }}=\rho \lambda -{\frac {\partial {\mathcal {H}}^{c}}{\partial k}}=\lambda \left[\rho -f^{\prime }(k)+g\right]$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lambda}} = \ rho \ lambda - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}} ^ {c}} {\ partial k}} = \ lambda \ left [\ rho - f ^ {\ prime} (k) + g \ right]}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lambda}} = \ rho \ lambda - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}} ^ {c}} {\ partial k}} = \ lambda \ left [\ rho - f ^ {\ prime} (k) + g \ right]}$

Elemente conexe

Modelul Solow

Controlul autorității	GND ( DE ) 4212288-0

Portalul Economiei : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de economie

[1] Dacă luați investiția brută atunci:
${\dot {K}}=I-\delta K$ ${\ displaystyle {\ dot {K}} = I- \ delta K}$ ${\ displaystyle {\ dot {K}} = I- \ delta K}$
unde este $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ este rata de amortizare. Regula devine:
$f^{\prime }(k^{*})=\delta +g$ ${\ displaystyle f ^ {\ prime} (k ^ {*}) = \ delta + g}$ ${\ displaystyle f ^ {\ prime} (k ^ {*}) = \ delta + g}$

[2] : ${\frac {\partial {\mathcal {H}}^{c}}{\partial c_{t}}}={\frac {\partial u}{\partial c_{t}}}-\lambda =0$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}} ^ {c}} {\ partial c_ {t}}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial c_ {t}}} - \ lambda = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}} ^ {c}} {\ partial c_ {t}}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial c_ {t}}} - \ lambda = 0}$
${\dot {\lambda }}=\rho \lambda -{\frac {\partial {\mathcal {H}}^{c}}{\partial k}}=\lambda \left[\rho -f^{\prime }(k)+g\right]$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lambda}} = \ rho \ lambda - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}} ^ {c}} {\ partial k}} = \ lambda \ left [\ rho - f ^ {\ prime} (k) + g \ right]}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lambda}} = \ rho \ lambda - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}} ^ {c}} {\ partial k}} = \ lambda \ left [\ rho - f ^ {\ prime} (k) + g \ right]}$

[1]

[2]