Regula de 72

În finanțe , regula 72, regula de 70 ^[1] și regula 69.3 sunt metode de estimare a timpului de dublare a unei investiții . Numărul menționat la regula este împărțită la rata dobânzii pe parcursul perioadei (de obicei de ani), pentru a obține o aproximare a numărului de perioade necesare pentru dublarea. Deși calculatoare științifice moderne și foi de calcul au funcții pentru a găsi dublarea timpului , mai precis, aceste reguli sunt încă utile atunci când trebuie să faci un calcul mintal rapid sau când aveți un calculator simplu la dispozitie. ^[2]

Aceste reguli se aplică în cazurile de creștere exponențială și , prin urmare , sunt utilizate pentru calculele referitoare la „ interes compus (sau interes compus ), spre deosebire de“ interes simplu , sau un declin exponențial, iar în acest caz , folosit pentru a calcula timpul de înjumătățire. Alegerea numărul care trebuie utilizat depinde de diferite ocazii: 69 este mai precis în cazul dobânzii compuse continue, în timp ce 72 funcționează mai bine cu cele mai frecvente situații de interes și este mai ușor divizibil. Există, de asemenea, mai multe variante ale acestor norme care urmăresc creșterea preciziei acestora.

In cazul de interes periodic, termenul „exact“ dublarea t o r rata dobânzii pe parcursul perioadei este soluția ecuației ${(1+r/100)}^{t}=2$ ${\ Displaystyle {(1 + r / 100)} ^ {t} = 2}$ ${\ Displaystyle {(1 + r / 100)} ^ {t} = 2}$ ^[3] , adică:

t=\log _{1+r/100}(2)={\frac {1}{\ln _{2}(1+r/100)}}\approx {\frac {72}{r}}

{\ Displaystyle t = \ log _ {1 + r / 100} (2) = {\ frac {1} {\ ln _ {2} (1 + r / 100)}} \ approx {\ frac {72} { r}}}

{\ Displaystyle t = \ log _ {1 + r / 100} (2) = {\ frac {1} {\ ln _ {2} (1 + r / 100)}} \ approx {\ frac {72} { r}}}

unde t este numărul de perioade necesare. Această formulă poate fi utilizată și în alte scopuri; de exemplu, dacă ai vrut să știi timpul triplare, ar fi suficient pentru a înlocui pur și simplu 2 cu 3, în timp ce dacă ai vrut să știi timpul necesar pentru valoarea inițială să crească cu 50%, ar fi de ajuns pentru a înlocui 2 cu 1,5.

Folosind regula pentru a estima perioadele necesare

Pentru a obține o estimare a perioadelor necesare pentru dublarea capitalului inițial investit, împarte „regula cantitatea“ de rata de creștere de așteptat, exprimat în procente.

De exemplu, considerând o investiție inițială de 100 € cu o rată compusă de 9% pe an, în conformitate cu 72 regulă durează 72/9 = 8 ani pentru suma investită pentru a ajunge la 200 €. Prin comparație, exact un calcul se întoarce: ln (2) / ln (1 + 0,09) = 8.0432 ani.
În mod similar, pentru a determina timpul necesar pentru a reduce la jumătate o anumită sumă dată o anumită rată, împărțiți „numărul regula“ de rata.

Pentru a determina timpul necesar pentru puterea de cumpărare a banilor să reducă la jumătate, pur și simplu împărțiți „numărul regula“ de rata inflației . Deci, având în vedere o rată a inflației de 3,5% și, folosind „regula 70“, vom obține o perioadă de 70 / 3,5 = 20 ani pentru puterea de cumpărare să reducă la jumătate. ^[1]

Pentru a estima impactul taxelor suplimentare asupra politicilor financiare, instrumente adică extrem de flexibile și conținute financiar de asigurări de investiții, ( de exemplu , acțiuni ale fondurilor mutuale și taxe, taxe sau comisioane de schimb pe variabile universale portofolii de investiții de asigurare de viață, etc ...), pentru 72 imparte Comisia.

Alegerea regulii

Numărul 72 este o alegere bună ca un numarator , deoarece ea are multe mici divizori : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 și 12. Prin urmare, oferă o bună aproximare pentru interesul compus anual și ratele tipice ale dobânzii compus (din 6% la 10%), o aproximare care devine mai puțin precisă ca rata crește.

În cazul dobânzii compuse continue, rezultatul cu cea mai mare precizie este cea obținută folosind 69. Aceasta derivă din faptul că logaritmul natural al 2 este egal cu aproximativ 0,693 (respectiv 69,3%). Deoarece un interes compus zilnic este suficient comparabil cu un interes continuu compus, în cazul cotidianului, folosind 69, 69,3 sau 70 returnează un rezultat mai precis decât 72. În mod similar, folosind 69, 3 este de preferat celei de 72 cazul ratelor anuale ale dobânzii mai mici decât cele menționate mai sus. ^[4] ^[5]

Graficul prezinta o comparație a dublare și Înjumătățirea timpii de creștere (linii îngroșate) și scăderea (linii ușoare) și aproximările lor obținute cu 70 / t și 72 / t.

Bursuc	ani reale	Rata de * ani reale	Regula de 72	Articolul 70	Regula de 69,3	72 îmbunătățit	Regula de EM
0,25%	277.605	69.401	288.000	280.000	277200	277.667	277.547
0,5%	138.976	69.488	144.000	140.000	138600	139.000	138.947
1%	69.661	69.661	72.000	70.000	69.300	69.667	69.648
2%	35.003	70.006	36.000	35.000	34.650	35.000	35.000
3%	23.450	70.349	24.000	23.333	23.100	23.444	23.452
4%	17.673	70.692	18.000	17.500	17,325	17.667	17.679
5%	14.207	71.033	14.400	14.000	13.860	14.200	14.215
6%	11.896	71.374	12.000	11.667	11.550	11.889	11.907
7%	10.245	71.713	10.286	10.000	9900	10.238	10.259
8%	9.006	72.052	9.000	8.750	8.663	9.000	9.023
9%	8.043	72.389	8.000	7.778	7.700	8.037	8.062
10%	7.273	72.725	7.200	7.000	6,930	7.267	7,295
11%	6.642	73.061	6.545	6,364	6.300	6.636	6,667
12%	6.116	73.395	6.000	5.833	5.775	6.111	6.144
15%	4.959	74.392	4.800	4.667	4.620	4.956	4.995
18%	4.188	75.381	4.000	3.889	3.850	4.185	4.231
20%	3.802	76.036	3.600	3.500	3.465	3.800	3.850
25%	3.106	77.657	2.880	2.800	2.772	3.107	3.168
30%	2.642	79.258	2.400	2.333	2.310	2.644	2.718
40%	2.060	82.402	1.800	1.750	1.733	2.067	2.166
50%	1.710	85.476	1.440	1.400	1.386	1.720	1.848
60%	1.475	88.486	1.200	1.167	1.155	1.489	1.650
70%	1.306	91.439	1,029	1.000	0,990	1.324	1,523

Istorie

Una dintre primele referiri la regula se găsește în Luca Pacioli lui Summa de Aritmetica, geometria, proportioni et proportionalita (Venice, 1494. Fol. 181, n. 44) (1445-1514). Aici autorul prezintă într-o disertație regula privind estimarea timpului de dublare a unei investiții, dar el nu derive sau explică această regulă, sugerând astfel că originea sa este de câțiva ani mai devreme decât scrierile lui Pacioli. ^[6]

„Dacă vrei să știi fiecare cantitate pe 100 pe an, în câți ani va fi dublat între profit și de capital, să păstreze în minte 72 de regulă, pe care îl va lăsa întotdeauna pentru interesul și ce vine din ea, în mulți ani va fi dublat. Exemplu: În cazul în care dobânda este de 6 la 100 pe an, vă spun începe 72 la 6; 12 vor veni, iar în 12 de ani, capitalul va fi dublat. "

( Luca Pacioli , Summa de Aritmetica, geometria, proportioni et proportionalita)

Deducerea și modificări pentru o mai bună precizie

Regula 72 este justificată de seria Taylor a logaritmului și invers, scurtat la al doilea termen:

\ln {(1+x)}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+...

{\ Displaystyle \ ln {(1 + x)} = x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + ...}

{\ Displaystyle \ ln {(1 + x)} = x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + ...}

{\frac {1}{1+x}}=1-x+...

{\ Displaystyle {\ frac {1} {1 + x}} = 1-x + ...}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {1 + x}} = 1-x + ...}

de la care:

1/\ln(1+x)\approx {\frac {1}{x}}{\frac {1}{1-x/2}}\approx {\frac {1+x/2}{x}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2}}

{\ Displaystyle 1 / \ ln (1 + x) \ approx {\ frac {1} {x}} {\ frac {1} {1-x / 2}} \ approx {\ frac {1 + x / 2} {x}} = {\ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {2}}}

{\ Displaystyle 1 / \ ln (1 + x) \ approx {\ frac {1} {x}} {\ frac {1} {1-x / 2}} \ approx {\ frac {1 + x / 2} {x}} = {\ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {2}}}

t={\frac {\ln {2}}{\ln {(1+r/100)}}}\approx {\frac {100\ln 2}{r}}+{\frac {\ln 2}{2}}\approx {\frac {69,3}{r}}+0,34

{\ Displaystyle t = {\ frac {\ ln {2}} {\ ln {(1 + r / 100)}}} \ approx {\ frac {100 \ ln 2} {r}} + {\ frac {\ ln 2} {2}} \ approx {\ frac {69,3} {r}} +} 0,34

{\ Displaystyle t = {\ frac {\ ln {2}} {\ ln {(1 + r / 100)}}} \ approx {\ frac {100 \ ln 2} {r}} + {\ frac {\ ln 2} {2}} \ approx {\ frac {69,3} {r}} +} 0,34

Această formulă poate fi scrisă ${\frac {69,3}{r}}\times {\frac {200+r}{200}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {69,3} {r}} \ ori {\ frac {200 + r} {200}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {69,3} {r}} \ ori {\ frac {200 + r} {200}}}$ sau ${\frac {69,3+0,34r}{r}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {69,3 + 0,34r} {r}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {69,3 + 0,34r} {r}}}$ . Numărul 72 este deci o aproximare excelentă a numărătorului pentru ratele dobânzii egală cu 8%, și rămâne suficient de exacte pentru r între 6 și 10. Pentru alte rate ale dobânzii, o variație a unei unități la fiecare trei puncte pot fi considerate procente; regula 70, de exemplu, este cel mai precis pentru o rată de 2%.

Regula de EM

Al doilea ordin Eckart - regula McHale (mai simplu numit „EM regula“), se obține în același mod, se aplică numai seria Taylor a logaritmului:

1/\ln(1+x)\approx {\frac {1}{x}}{\frac {1}{1-x/2}}={\frac {2}{x(2-x)}}

{\ Displaystyle 1 / \ ln (1 + x) \ approx {\ frac {1} {x}} {\ frac {1} {1-x / 2}} = {\ frac {2} {x (2- X)}}}

{\ Displaystyle 1 / \ ln (1 + x) \ approx {\ frac {1} {x}} {\ frac {1} {1-x / 2}} = {\ frac {2} {x (2- X)}}}

t={\frac {\ln {2}}{\ln {(1+r/100)}}}\approx {\frac {100\ln 2}{r}}{\frac {1}{1-r/200}}\approx {\frac {69,3}{r}}\times {\frac {200}{200-r}}

{\ Displaystyle t = {\ frac {\ ln {2}} {\ ln {(1 + r / 100)}}} \ approx {\ frac {100 \ ln 2} {r}} {\ frac {1} {1-r / 200}} \ approx {\ frac {69,3} {r}} \ ori {\ frac {200} {200-r}}}

{\ Displaystyle t = {\ frac {\ ln {2}} {\ ln {(1 + r / 100)}}} \ approx {\ frac {100 \ ln 2} {r}} {\ frac {1} {1-r / 200}} \ approx {\ frac {69,3} {r}} \ ori {\ frac {200} {200-r}}}

De exemplu, având în vedere o rată a dobânzii de 18%, la 69,3 regulă returnează un t de 3,85 ani. Aplicând regula EM, rezultatul se înmulțește cu 200 / (200-18), cu un timp de dublare rezultată de 4,23 ani, o bună aproximare a rezultatului exact, egal cu 4.186 de ani, chiar mai bine decât cea obținută cu regula 72 .

Cu toate acestea, regula EM este mai precisă decât simplă formulă $t\approx 69,3/r+0,34$ ${\ Displaystyle t \ cca 69,3 / r + 0,34}$ ${\ Displaystyle t \ cca 69,3 / r + 0,34}$ derivate în paragraful anterior, care dă 4,19 ca rezultat. Acest lucru se datorează faptului că erorile introduse de cele două serii Taylor a logaritmului și invers tind să se anuleze reciproc, și, prin urmare, $1/x+1/2$ ${\ Displaystyle 1 / x + 1/2}$ ${\ Displaystyle 1 / x + 1/2}$ aproximate $1/\ln(1+x)$ ${\ Displaystyle 1 / \ ln (1 + x)}$ ${\ Displaystyle 1 / \ ln (1 + x)}$ mai bun decât $2/x(2-x)$ ${\ Displaystyle 2 / x (2 x)}$ ${\ Displaystyle 2 / x (2 x)}$ . Pentru a obține o precizie mai bună este necesar să se utilizeze approximant Pade al treilea ordin, $(6+4x)/(x^{2}+6x)$ ${\ Displaystyle (6 + 4x) / (x ^ {2} + 6x)}$ ${\ Displaystyle (6 + 4x) / (x ^ {2} + 6x)}$ , Din care se obține următoarea formulă, mai complexă, dar extrem de precise:

t\approx {\frac {69,3}{r}}\times {\frac {600+4r}{600+r}}

{\ Displaystyle t \ approx {\ frac {69,3} {r}} \ ori {\ frac {600 + 4r} {600 + r}}}

{\ Displaystyle t \ approx {\ frac {69,3} {r}} \ ori {\ frac {600 + 4r} {600 + r}}}

Interes continuu compus

Precizia crește aproximare în ceea ce privește cazul dobânzii compuse discret, în cazul în care dobânda compusă devine continuu. În acest caz, derivarea regula este mai simplă și conduce, așa cum sa menționat, într-o regulă mai precisă. În cazul unui discret interes mixt , în poziție verticală (FV) este dată de: ^[3]

FV=PV\cdot (e^{r})^{t}

{\ Displaystyle FV = PV \ cdot (e ^ {r}) ^ {t}}

{\ Displaystyle FV = PV \ cdot (e ^ {r}) ^ {t}}

Suma este dubla valoarea prezentă atunci când este îndeplinită următoarea condiție:

{\begin{array}{ccc}(e^{r})^{t}&=&2\\e^{rt}&=&2\\\ln e^{rt}&=&\ln 2\\rt&=&\ln 2\\t&=&{\frac {\ln 2}{r}}\\&&\\t&\approx &{\frac {0,693147}{r}}\end{array}}

{\ Displaystyle {\ begin {array} {ccc} (e ^ {r}) ^ {t} & = & 2 \\ e ^ {rt} & = & 2 \\\ ln e ^ {rt} & = & \ ln 2 \\ rt = & \ ln 2 \\ t & = & {\ frac {\ ln 2} {r}} \\ && \\ t & \ approx & {\ frac {0,693147} {r }} \ end {array}}}

{\ Displaystyle {\ begin {array} {ccc} (e ^ {r}) ^ {t} & = & 2 \\ e ^ {rt} & = & 2 \\\ ln e ^ {rt} & = & \ ln 2 \\ rt = & \ ln 2 \\ t & = & {\ frac {\ ln 2} {r}} \\ && \\ t & \ approx & {\ frac {0,693147} {r }} \ end {array}}}

Notă

^ ^A ^b Donella Meadows, gândire în sisteme: un primer, Chelsea Green Publishing , 2008.
^ Steve Slavin, toate Math veți avea nevoie vreodată , John Wiley & Sons , 1989, pp. 153 -154, ISBN 0-471-50636-2 .
^ ^A ^b Annalisa Fabretti, Present Value și valoarea viitoare - criterii VAN si TIR, Universitatea din Roma "Tor Vergata", 2018.
^ Kalid Azad, Demistificarea logaritmul natural (ln) , betterexplained.com, BetterExplained. Adus de 30 ianuarie 2019.
^ David A. Coutts, Regula de 70 și statul de 72 Comparativ , la members.optusnet.com.au, David A. Coutts, 4 ianuarie 2010. Adus de 30 ianuarie 2018.
^ Paolo Cenci, un oraș mic, două genii mari. Fra „Luca Pacioli și dublarea capitalului (PDF), în Mario Martelli (editat de), Pacioli între artă și geometrie, Centro Studio "Mario Pancrazi", 2010, p. 43. Adus de 30 ianuarie 2019.

Portalul Economiei

Portalul de matematică

[Meadows-1] A ^b Donella Meadows, gândire în sisteme: un primer, Chelsea Green Publishing , 2008.

[2] Steve Slavin, toate Math veți avea nevoie vreodată , John Wiley & Sons , 1989, pp. 153 -154, ISBN 0-471-50636-2 .

[anna-3] A ^b Annalisa Fabretti, Present Value și valoarea viitoare - criterii VAN si TIR, Universitatea din Roma "Tor Vergata", 2018.

[4] Kalid Azad, Demistificarea logaritmul natural (ln) , betterexplained.com, BetterExplained. Adus de 30 ianuarie 2019.

[5] David A. Coutts, Regula de 70 și statul de 72 Comparativ , la members.optusnet.com.au, David A. Coutts, 4 ianuarie 2010. Adus de 30 ianuarie 2018.

[6] Paolo Cenci, un oraș mic, două genii mari. Fra „Luca Pacioli și dublarea capitalului (PDF), în Mario Martelli (editat de), Pacioli între artă și geometrie, Centro Studio "Mario Pancrazi", 2010, p. 43. Adus de 30 ianuarie 2019.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]