Alegerea intertemporală

În teoria consumatorului , alegerea intertemporală este decizia individului cu privire la repartizarea consumului, economiilor și forței de muncă între prezent și viitor (distribuția în timp).

Modelul lui Fisher

Modelul lui Fisher poate fi ilustrat luând două perioade: perioada curentă sau perioada 1 (luna aceasta sau anul acesta) și perioada viitoare sau perioada 2 (luna următoare sau anul viitor). Individul își planifică consumul ținând cont de nevoile și veniturile sale actuale și anticipate. Constrângerea bugetară este:

C_{2}=(Y_{1}-C_{1})(1+r)+Y_{2}

{\ displaystyle C_ {2} = (Y_ {1} -C_ {1}) (1 + r) + Y_ {2}}

{\ displaystyle C_ {2} = (Y_ {1} -C_ {1}) (1 + r) + Y_ {2}}

unde este $C_{1}$ ${\ displaystyle C_ {1}}$ $C_ {1}$ este consumul curent e $C_{2}$ ${\ displaystyle C_ {2}}$ ${\ displaystyle C_ {2}}$ consumul viitor; $Y_{1}$ ${\ displaystyle Y_ {1}}$ $Y_ {1}$ venitul curent e $Y_{2}$ ${\ displaystyle Y_ {2}}$ ${\ displaystyle Y_ {2}}$ venituri viitoare. Suma economisită $Y_{1}-C_{1}$ ${\ displaystyle Y_ {1} -C_ {1}}$ ${\ displaystyle Y_ {1} -C_ {1}}$ (dacă această diferență este pozitivă) sau împrumutat (dacă această diferență este negativă) se investește sau se împrumută la rata dobânzii $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ . Preferințele consumatorilor sunt reprezentate de funcția de utilitate intertemporală $V(C_{1},C_{2})$ ${\ displaystyle V (C_ {1}, C_ {2})}$ ${\ displaystyle V (C_ {1}, C_ {2})}$ . Utilitatea maximă se obține cu metoda Lagrange :

L=V(C_{1},C_{2})+\lambda \left[Y_{1}(1+r)+Y_{2}-C_{1}(1+r)-C_{2}\right]

{\ displaystyle L = V (C_ {1}, C_ {2}) + \ lambda \ left [Y_ {1} (1 + r) + Y_ {2} -C_ {1} (1 + r) -C_ { 2} \ dreapta]}

{\ displaystyle L = V (C_ {1}, C_ {2}) + \ lambda \ left [Y_ {1} (1 + r) + Y_ {2} -C_ {1} (1 + r) -C_ { 2} \ dreapta]}

unde este $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este o variabilă auxiliară. Condițiile pentru prima comandă sunt:

Ilustrarea constrângerii bugetare cu consumul actual pe abscisă și consumul viitor pe ordonată.

Alegerea intertemporală a consumatorului, luând în considerare constrângerea bugetară și preferințele acestuia

Dacă consumatorul economisește, o creștere a ratei dobânzii va avea un rezultat ambiguu asupra consumului actual (de la A la B).

Dacă consumatorul a contractat un împrumut, o creștere a ratei dobânzii duce la o scădere a consumului actual (de la A la B).

{\frac {\partial L}{\partial C_{1}}}={\frac {\partial V}{\partial C_{1}}}-\lambda (1+r)=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial C_ {1}}} = {\ frac {\ partial V} {\ partial C_ {1}}} - \ lambda (1 + r) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial C_ {1}}} = {\ frac {\ partial V} {\ partial C_ {1}}} - \ lambda (1 + r) = 0}

{\frac {\partial L}{\partial C_{2}}}={\frac {\partial V}{\partial C_{2}}}-\lambda =0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial C_ {2}}} = {\ frac {\ partial V} {\ partial C_ {2}}} - \ lambda = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial C_ {2}}} = {\ frac {\ partial V} {\ partial C_ {2}}} - \ lambda = 0}

{\frac {\partial L}{\partial \lambda }}=Y_{1}(1+r)+Y_{2}-C_{1}(1+r)-C_{2}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial \ lambda}} = Y_ {1} (1 + r) + Y_ {2} -C_ {1} (1 + r) -C_ {2} = 0 }

{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial \ lambda}} = Y_ {1} (1 + r) + Y_ {2} -C_ {1} (1 + r) -C_ {2} = 0 }

Rezolvând acest sistem de ecuații obținem funcțiile de consum:

C_{1}=f_{1}(Y_{1},Y_{2},r)\quad ;\quad C_{2}=f_{2}(Y_{1},Y_{2},r)

{\ displaystyle C_ {1} = f_ {1} (Y_ {1}, Y_ {2}, r) \ quad; \ quad C_ {2} = f_ {2} (Y_ {1}, Y_ {2}, r)}

{\ displaystyle C_ {1} = f_ {1} (Y_ {1}, Y_ {2}, r) \ quad; \ quad C_ {2} = f_ {2} (Y_ {1}, Y_ {2}, r)}

Din condițiile primei comenzi putem deduce și următoarea relație:

{\frac {\frac {\partial V}{\partial C_{1}}}{\frac {\partial V}{\partial C_{2}}}}-1=\rho =i

{\ displaystyle {\ frac {\ frac {\ partial V} {\ partial C_ {1}}} {\ frac {\ partial V} {\ partial C_ {2}}}} - 1 = \ rho = i}

{\ displaystyle {\ frac {\ frac {\ partial V} {\ partial C_ {1}}} {\ frac {\ partial V} {\ partial C_ {2}}}} - 1 = \ rho = i}

Termenul din stânga se numește rata de preferință intertemporală. La echilibru trebuie să fie egal cu rata dobânzii ^[1] .

Grafic, soluția se obține atunci când cea mai mare curbă de indiferență este tangentă la linia constrângerii bugetare (punctul A).

Modificarea ratei dobânzii

Dacă rata dobânzii crește, linia constrângerii bugetare suferă o rotație orară cu punct de pivot în care consumul fiecărei perioade este egal cu venitul perioadei (punctul E).

Această variație are un efect de venit ^[2] (consumatorul care a economisit în perioada 1 va avea un venit mai mare în perioada 2) și un efect de substituire ^[3] (economisirea devine mai avantajoasă pe măsură ce dobânda crește) ^[4] . Dacă consumatorul a dorit să împrumute, efectul total este o scădere a consumului în perioada 1. În cazul economiilor, efectul total este ambiguu.

Folosind teoria preferinței dezvăluite , se poate spune, de asemenea, că un consumator care economisește rămâne întotdeauna un economizor atunci când rata dobânzii crește. Dacă rata dobânzii scade, împrumutatul continuă să fie împrumutat în perioada 1 ^[5] .

Toate aceste rezultate sunt valabile numai în cazul a două perioade. Dacă există alte perioade, nu sunteți obligat să rambursați împrumutul în perioada 2.

Regula lui Keynes - Ramsey

Se face adesea ipoteza că funcția de utilitate intertemporală este aditivă în perioadele:

V=u(C_{1})+{\frac {1}{1+\rho }}u(C_{2})

{\ displaystyle V = u (C_ {1}) + {\ frac {1} {1+ \ rho}} u (C_ {2})}

{\ displaystyle V = u (C_ {1}) + {\ frac {1} {1+ \ rho}} u (C_ {2})}

unde este $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este „rata subiectivă a timpului de actualizare” e $u(C_{.})$ ${\ displaystyle u (C_ {.})}$ ${\ displaystyle u (C_ {.})}$ utilitate instantanee. Ideea unei „reduceri subiective” a utilităților viitoare, precum și a valorilor financiare, revine la Böhm-Bawerk . Potrivit acestui autor ^[6] , subestimarea bunurilor viitoare ^[7] se datorează lipsei de imaginație și a slăbiciunii voinței indivizilor.

Prin înlocuire $C_{2}$ ${\ displaystyle C_ {2}}$ $C_ {2}$ luând valoarea dedusă din constrângerea bugetară obținem condiția primară pentru maximizarea funcției de utilitate intertemporală:

u^{\prime }(C_{1})={\frac {1+r}{1+\rho }}u^{\prime }(C_{2})

{\ displaystyle u ^ {\ prime} (C_ {1}) = {\ frac {1 + r} {1+ \ rho}} u ^ {\ prime} (C_ {2})}

{\ displaystyle u ^ {\ prime} (C_ {1}) = {\ frac {1 + r} {1+ \ rho}} u ^ {\ prime} (C_ {2})}

Luând această ecuație intertemporală a lui Euler obținem regula Keynes-Ramsey ^[8] :

{\frac {u^{\prime }(C_{2})}{(1+\rho )u^{\prime }(C_{1})}}={\frac {1}{1+r}}

{\ displaystyle {\ frac {u ^ {\ prime} (C_ {2})} {(1+ \ rho) u ^ {\ prime} (C_ {1})}} = {\ frac {1} {1 + r}}}

{\ displaystyle {\ frac {u ^ {\ prime} (C_ {2})} {(1+ \ rho) u ^ {\ prime} (C_ {1})}} = {\ frac {1} {1 + r}}}

Rata marginală de substituție intertemporală trebuie să fie egală cu prețul relativ al consumului.

Generalizare cu timp continuu

În cazul numeroaselor perioade, se preferă adesea utilizarea timpului continuu. Funcția de utilitate intertemporală devine apoi:

V=\int _{o}^{\infty }e^{-\rho t}u(C_{t})dt

{\ displaystyle V = \ int _ {o} ^ {\ infty} e ^ {- \ rho t} u (C_ {t}) dt}

{\ displaystyle V = \ int _ {o} ^ {\ infty} e ^ {- \ rho t} u (C_ {t}) dt}

Variația consumului depinde de ecuația diferențială :

{\dot {A}}_{t}=r_{t}A_{t}+Y_{t}-C_{t}

{\ displaystyle {\ dot {A}} _ {t} = r_ {t} A_ {t} + Y_ {t} -C_ {t}}

{\ displaystyle {\ dot {A}} _ {t} = r_ {t} A_ {t} + Y_ {t} -C_ {t}}

unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sunt active financiare, $Da$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Y}$ venituri nefinanciare (venituri din muncă de exemplu), $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ consumul și punctul de deasupra variabilei indică derivatul în raport cu timpul. Deoarece valorile financiare viitoare nu pot avea o valoare prezentă negativă, restricția trebuie impusă:

\lim _{t\to \infty }A_{t}e^{-\int _{o}^{t}r_{s}ds}\geq 0

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} A_ {t} e ^ {- \ int _ {o} ^ {t} r_ {s} ds} \ geq 0}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} A_ {t} e ^ {- \ int _ {o} ^ {t} r_ {s} ds} \ geq 0}

(fără schemă Ponzi )

Folosind metoda Pontryagin avem valoarea curentă a hamiltonienului:

{\mathcal {H}}^{c}=u(C_{t})+\lambda \left[rA+Y-C\right]

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {c} = u (C_ {t}) + \ lambda \ left [rA + YC \ right]}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {c} = u (C_ {t}) + \ lambda \ left [rA + Y-C \ right]}

unde este $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este o variabilă auxiliară. După înlocuirea acestei variabile în condițiile de primă comandă ^[9] ^[10] obținem regula Keynes-Ramsey:

{\frac {\dot {C}}{C}}={\frac {1}{\theta (C)}}(r_{t}-\rho )

{\ displaystyle {\ frac {\ dot {C}} {C}} = {\ frac {1} {\ theta (C)}} (r_ {t} - \ rho)}

{\ displaystyle {\ frac {\ dot {C}} {C}} = {\ frac {1} {\ theta (C)}} (r_ {t} - \ rho)}

unde este:

\theta (C)=-{\frac {C_{t}}{u^{\prime }(C)}}u^{\prime \prime }(C)

{\ displaystyle \ theta (C) = - {\ frac {C_ {t}} {u ^ {\ prime} (C)}} u ^ {\ prime \ prime} (C)}

{\ displaystyle \ theta (C) = - {\ frac {C_ {t}} {u ^ {\ prime} (C)}} u ^ {\ prime \ prime} (C)}

Rata optimă de creștere a consumului depinde de elasticitatea intertemporală a substituției $\left[1/\theta (C)\right]$ ${\ displaystyle \ left [1 / \ theta (C) \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [1 / \ theta (C) \ right]}$ și excesul ratei dobânzii față de rata subiectivă de actualizare intertemporală.

Reducere hiperbolică

Experimentele efectuate cu studenții constată că subevaluarea bunurilor viitoare nu respectă o lege exponențială așa cum sa presupus mai sus. De exemplu, Thaler ^{[11] a} observat că, în calitate de mediană, studenții cer, în loc de 15 dolari imediat, 20 dolari dacă o lună mai târziu, 50 dolari dacă un an mai târziu și 100 dolari dacă zece ani mai târziu. Aceste valori implică o reducere de 347% pentru o lună, 120% pentru un an și 19% pentru 10 ani. O scădere a ratei de actualizare în timp poate fi reprezentată de o lege hiperbolică:

V=\int _{o}^{\infty }\phi (t)u(C_{t})dt=\int _{o}^{\infty }(1+\alpha t)^{-\rho /\alpha }u(C_{t})dt

{\ displaystyle V = \ int _ {o} ^ {\ infty} \ phi (t) u (C_ {t}) dt = \ int _ {o} ^ {\ infty} (1+ \ alpha t) ^ { - \ rho / \ alpha} u (C_ {t}) dt}

{\ displaystyle V = \ int _ {o} ^ {\ infty} \ phi (t) u (C_ {t}) dt = \ int _ {o} ^ {\ infty} (1+ \ alpha t) ^ { - \ rho / \ alpha} u (C_ {t}) dt}

Cand $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ tinde spre zero găsim reducerea exponențială: $\lim _{\alpha \to 0}\phi (t)=e^{-\rho t}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ alpha \ to 0} \ phi (t) = e ^ {- \ rho t}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ alpha \ to 0} \ phi (t) = e ^ {- \ rho t}}$ .

Acest tip de reducere, preferat de psihologi ^[12] , duce la o inconsecvență intertemporală ^[13] . Consumatorul nu respectă planul de consum preconizat anterior, chiar dacă nu se schimbă nimic, cu excepția timpului scurs. Pregătirea unui plan de consum este de puțin folos dacă reducerea este hiperbolică.

Modelul ciclului de viață Modigliani

Punctul de plecare al teoriei ciclului de viață este modelul Fisher cu un orizont de timp corespunzător întregii vieți a unui consumator. Să presupunem că venitul anual este constant și egal cu ${\bar {Y}}$ ${\ displaystyle {\ bar {Y}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {Y}}}$ până în anul pensionării $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ și zero după aceea. Dacă consumatorul trăiește $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ ani, consumul uniform va fi de $\left[{\frac {N}{L}}{\bar {Y}}\right]$ ${\ displaystyle \ left [{\ frac {N} {L}} {\ bar {Y}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [{\ frac {N} {L}} {\ bar {Y}} \ right]}$ (presupunând o rată a dobânzii zero). Consumatorul economisește în fiecare an ${\bar {Y}}-{\frac {N}{L}}{\bar {Y}}$ ${\ displaystyle {\ bar {Y}} - {\ frac {N} {L}} {\ bar {Y}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {Y}} - {\ frac {N} {L}} {\ bar {Y}}}$ , până la pensionare și, ulterior, vor folosi economiile acumulate pentru consum în timpul anilor de pensionare.

În cazul mai general ^[14] , fie $W_{t}^{T}$ ${\ displaystyle W_ {t} ^ {T}}$ ${\ displaystyle W_ {t} ^ {T}}$ valoarea actualizată a venitului anticipat t de către individul din T ani:

W_{t}^{T}=A_{t-1}^{T}+Y_{t}^{T}+\sum _{\tau =T+1}^{N}{\frac {Y_{t}^{eT\tau }}{(1+r_{t})^{\tau -T}}}

{\ displaystyle W_ {t} ^ {T} = A_ {t-1} ^ {T} + Y_ {t} ^ {T} + \ sum _ {\ tau = T + 1} ^ {N} {\ frac {Y_ {t} ^ {eT \ tau}} {(1 + r_ {t}) ^ {\ tau -T}}}}

{\ displaystyle W_ {t} ^ {T} = A_ {t-1} ^ {T} + Y_ {t} ^ {T} + \ sum _ {\ tau = T + 1} ^ {N} {\ frac {Y_ {t} ^ {eT \ tau}} {(1 + r_ {t}) ^ {\ tau -T}}}}

unde este $A_{t-1}^{T}$ ${\ displaystyle A_ {t-1} ^ {T}}$ ${\ displaystyle A_ {t-1} ^ {T}}$ este capitalul acumulat, $Y_{t}^{eT\tau }$ ${\ displaystyle Y_ {t} ^ {eT \ tau}}$ ${\ displaystyle Y_ {t} ^ {eT \ tau}}$ venitul preconizat și rata dobânzii.

Dacă funcția de utilitate este omogenă în raport cu consumul, se obține următoarea funcție de consum:

C_{t}^{T}=\Omega _{t}^{T}A_{t-1}^{T}+\Omega _{t}^{T}Y_{t}^{T}+\Omega _{t}^{T}(N-T)Y_{t}^{eT}

{\ displaystyle C_ {t} ^ {T} = \ Omega _ {t} ^ {T} A_ {t-1} ^ {T} + \ Omega _ {t} ^ {T} Y_ {t} ^ {T } + \ Omega _ {t} ^ {T} (NT) Y_ {t} ^ {eT}}

{\ displaystyle C_ {t} ^ {T} = \ Omega _ {t} ^ {T} A_ {t-1} ^ {T} + \ Omega _ {t} ^ {T} Y_ {t} ^ {T } + \ Omega _ {t} ^ {T} (NT) Y_ {t} ^ {eT}}

unde este $Y_{t}^{eT}$ ${\ displaystyle Y_ {t} ^ {eT}}$ ${\ displaystyle Y_ {t} ^ {eT}}$ este venitul mediu preconizat e $\Omega _{t}^{T}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {t} ^ {T}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {t} ^ {T}}$ un factor proporțional care depinde de funcția de utilitate.

Modelul poate fi generalizat prin introducerea de economii de moștenire, securitate socială sau o durată de viață aleatorie.

Teoria lui Modigliani este utilizată pentru a studia sistemele de pensii publice și private și legătura dintre economisire și creștere ^[15] .

Modelul lui Friedman

Potrivit lui Friedman ^[16] , consumul depinde de venitul permanent al individului, adică de venitul mediu pe termen lung:

c_{it}^{P}=\alpha y_{it}^{P}

{\ displaystyle c_ {it} ^ {P} = \ alpha y_ {it} ^ {P}}

{\ displaystyle c_ {it} ^ {P} = \ alpha y_ {it} ^ {P}}

unde este $c_{it}^{P}$ ${\ displaystyle c_ {it} ^ {P}}$ ${\ displaystyle c_ {it} ^ {P}}$ este consum (permanent) e $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este un coeficient care depinde de rata dobânzii, de rata de actualizare subiectivă intertemporală și de relația dintre active și veniturile consumatorului.

Este $c_{it}$ ${\ displaystyle c_ {it}}$ ${\ displaystyle c_ {it}}$ consumul de i individual la momentul t. Avem:

c_{it}=c_{it}^{P}+c_{it}^{T}

{\ displaystyle c_ {it} = c_ {it} ^ {P} + c_ {it} ^ {T}}

{\ displaystyle c_ {it} = c_ {it} ^ {P} + c_ {it} ^ {T}}

unde este $c_{it}^{T}$ ${\ displaystyle c_ {it} ^ {T}}$ ${\ displaystyle c_ {it} ^ {T}}$ este consumul tranzitoriu. În plus:

y_{it}=y_{it}^{P}+y_{it}^{T}

{\ displaystyle y_ {it} = y_ {it} ^ {P} + y_ {it} ^ {T}}

{\ displaystyle y_ {it} = y_ {it} ^ {P} + y_ {it} ^ {T}}

\sum _{i}y_{it}^{T}=\sum _{i}c_{it}^{T}=0

{\ displaystyle \ sum _ {i} y_ {it} ^ {T} = \ sum _ {i} c_ {it} ^ {T} = 0}

{\ displaystyle \ sum _ {i} y_ {it} ^ {T} = \ sum _ {i} c_ {it} ^ {T} = 0}

.

Aceasta înseamnă că venitul tranzitoriu nu are niciun efect asupra consumului global.

Friedman presupune că nu există nicio corelație între unele dintre aceste variabile, în special între venitul tranzitoriu și consumul tranzitoriu:

\rho (C^{P},C^{T})=\rho (Y^{P},Y^{T})=\rho (C^{T},Y^{T})=0

{\ displaystyle \ rho (C ^ {P}, C ^ {T}) = \ rho (Y ^ {P}, Y ^ {T}) = \ rho (C ^ {T}, Y ^ {T}) = 0}

{\ displaystyle \ rho (C ^ {P}, C ^ {T}) = \ rho (Y ^ {P}, Y ^ {T}) = \ rho (C ^ {T}, Y ^ {T}) = 0}

unde este $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este coeficientul de corelație .

Friedman propune estimarea venitului permanent utilizând tehnica de întârziere distribuită:

Y^{P}=\lambda _{o}Y_{t}+\lambda _{1}Y_{t-1}+\lambda _{2}Y_{t-2}+\ldots

{\ displaystyle Y ^ {P} = \ lambda _ {o} Y_ {t} + \ lambda _ {1} Y_ {t-1} + \ lambda _ {2} Y_ {t-2} + \ ldots}

{\ displaystyle Y ^ {P} = \ lambda _ {o} Y_ {t} + \ lambda _ {1} Y_ {t-1} + \ lambda _ {2} Y_ {t-2} + \ ldots}

unde este $\lambda _{.}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {.}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {.}}$ sunt coeficienți.

Estimările obținute cu date agregate obțin o variație a consumului mai mare decât valoarea prezisă de teoria venitului permanent (variație excesivă a consumului) ^[17] .

Estimările cu date individuale dau un rezultat foarte satisfăcător pentru teoria venitului permanent și cea a ciclului de viață ^[18] .

Notă

^ Fisher Irving, Theory of Interest, New York, 1907, p. 291
^ D la B
^ A la D
^ JM Henderson și RE Quandt, Microeconomic Theory, Londra, 1980, p.331
^ Hal R. Varian, Intermediate Microeoconmics, Londra, 2009
^ Eugen von Böhm-Bawerk, Kapital und Kapitalzins, Innsbruck, 1914
^ O vacanță într-un an este mai puțin utilă decât o vacanță astăzi.
^ Frank Ramsey, A Mathematical Theory of Saving, Economic Journal, 1928, pp. 543-559
^ : ${\frac {\partial {\mathcal {H}}^{c}}{\partial C_{t}}}={\frac {\partial u}{\partial C_{t}}}-\lambda =0$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}} ^ {c}} {\ partial C_ {t}}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial C_ {t}}} - \ lambda = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}} ^ {c}} {\ partial C_ {t}}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial C_ {t}}} - \ lambda = 0}$
${\dot {\lambda }}=\rho \lambda -{\frac {\partial {\mathcal {H}}^{c}}{\partial A}}=\lambda \left[\rho -r\right]$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lambda}} = \ rho \ lambda - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}} ^ {c}} {\ partial A}} = \ lambda \ left [\ rho - r \ dreapta]}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lambda}} = \ rho \ lambda - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}} ^ {c}} {\ partial A}} = \ lambda \ left [\ rho - r \ dreapta]}$
^ Condiția de transversalitate trebuie îndeplinită:
$\lim _{t\to \infty }A_{t}\lambda _{t}e^{-\rho t}=0$ ${\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} A_ {t} \ lambda _ {t} e ^ {- \ rho t} = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} A_ {t} \ lambda _ {t} e ^ {- \ rho t} = 0}$
^ Richard Thaler, „Some empirical evidence on dynamic inconsistency”, Economic Letters, 1981, pp. 201-207
^ Shane Frederick și colab., "Reducerea timpului și preferința de timp: o recenzie critică", Journal of economic literature, 2002, pp. 351-401
^ Robert Strotz, "Miopia și incoerența în maximizarea dinamică a utilității", Review of Economic Studies, 1956, pp. 165-180
^ Francesco Franco et. al., The Collected Papers of Franco Modigliani, vol. 6, Boston, 2005, p. 49
^ Angus Deaton, "Franco Modigliani și teoria ciclului de viață al consumului", .BNL Quarterly Review, 2005, pp. 91-107
^ Milton Friedman, O teorie a funcției de consum, Princeton, 1957
^ John Campbell și Gregory Mankiw, „Venit permanent, venit curent și consum”, Journal of Business and Economic Statistics, 1990, pp. 265-279
^ Orazio Attanasio și Martin Browning, "Testarea modelului de consum al ciclului de viață: ce putem învăța din micro și macro date", Investigaciones Economicas, 1994, pp. 433-463

Bibliografie

Olivier Blanchard și Stanley Fischer, Prelegeri despre macroeconomie, Boston, 1989
Gernot Doppelhofer, „Intertemporal Macroeconomics”, în NFG Allington și JSL McCombie, Cambridge Essays in Applied Economics, Cambridge, 2003
Rudiger Dornbusch și Stanley Fischer, Macro-Economics, Londra, 1981
Hal R. Varian, Microeconomie intermediară, Londra, 2009

Elemente conexe

Home Economics : ajuta Wikipedia prin extinderea economiei

[1] Fisher Irving, Theory of Interest, New York, 1907, p. 291

[2] D la B

[3] A la D

[4] JM Henderson și RE Quandt, Microeconomic Theory, Londra, 1980, p.331

[5] Hal R. Varian, Intermediate Microeoconmics, Londra, 2009

[6] Eugen von Böhm-Bawerk, Kapital und Kapitalzins, Innsbruck, 1914

[7] O vacanță într-un an este mai puțin utilă decât o vacanță astăzi.

[8] Frank Ramsey, A Mathematical Theory of Saving, Economic Journal, 1928, pp. 543-559

[9] : ${\frac {\partial {\mathcal {H}}^{c}}{\partial C_{t}}}={\frac {\partial u}{\partial C_{t}}}-\lambda =0$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}} ^ {c}} {\ partial C_ {t}}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial C_ {t}}} - \ lambda = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}} ^ {c}} {\ partial C_ {t}}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial C_ {t}}} - \ lambda = 0}$
${\dot {\lambda }}=\rho \lambda -{\frac {\partial {\mathcal {H}}^{c}}{\partial A}}=\lambda \left[\rho -r\right]$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lambda}} = \ rho \ lambda - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}} ^ {c}} {\ partial A}} = \ lambda \ left [\ rho - r \ dreapta]}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lambda}} = \ rho \ lambda - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}} ^ {c}} {\ partial A}} = \ lambda \ left [\ rho - r \ dreapta]}$

[10] Condiția de transversalitate trebuie îndeplinită:
$\lim _{t\to \infty }A_{t}\lambda _{t}e^{-\rho t}=0$ ${\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} A_ {t} \ lambda _ {t} e ^ {- \ rho t} = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} A_ {t} \ lambda _ {t} e ^ {- \ rho t} = 0}$

[11] Richard Thaler, „Some empirical evidence on dynamic inconsistency”, Economic Letters, 1981, pp. 201-207

[12] Shane Frederick și colab., "Reducerea timpului și preferința de timp: o recenzie critică", Journal of economic literature, 2002, pp. 351-401

[13] Robert Strotz, "Miopia și incoerența în maximizarea dinamică a utilității", Review of Economic Studies, 1956, pp. 165-180

[14] Francesco Franco et. al., The Collected Papers of Franco Modigliani, vol. 6, Boston, 2005, p. 49

[15] Angus Deaton, "Franco Modigliani și teoria ciclului de viață al consumului", .BNL Quarterly Review, 2005, pp. 91-107

[16] Milton Friedman, O teorie a funcției de consum, Princeton, 1957

[17] John Campbell și Gregory Mankiw, „Venit permanent, venit curent și consum”, Journal of Business and Economic Statistics, 1990, pp. 265-279

[18] Orazio Attanasio și Martin Browning, "Testarea modelului de consum al ciclului de viață: ce putem învăța din micro și macro date", Investigaciones Economicas, 1994, pp. 433-463

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11] a

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]