Secvență tarifară

În matematică , secvența Farey $F_{n}$ ${\ displaystyle F_ {n}}$ $F_ {n}$ este o secvență, pentru orice număr natural pozitiv $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , definit ca mulțimea ordonată în ordinea crescătoare a tuturor numerelor raționale ireductibile (adică astfel încât numărătorul și numitorul să fie coprimă ) exprimate ca o fracție cu numărătorul și numitorul între zero și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . De exemplu

F_{1}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{1}}\right\}

{\ displaystyle F_ {1} = \ left \ {{\ frac {0} {1}}; {\ frac {1} {1}} \ right \}}

{\ displaystyle F_ {1} = \ left \ {{\ frac {0} {1}}; {\ frac {1} {1}} \ right \}}

F_{2}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{2}};{\frac {1}{1}}\right\}

{\ displaystyle F_ {2} = \ left \ {{\ frac {0} {1}}; {\ frac {1} {2}}; {\ frac {1} {1}} \ right \}}

{\ displaystyle F_ {2} = \ left \ {{\ frac {0} {1}}; {\ frac {1} {2}}; {\ frac {1} {1}} \ right \}}

F_{3}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{3}};{\frac {1}{2}};{\frac {2}{3}};{\frac {1}{1}}\right\}

{\ displaystyle F_ {3} = \ left \ {{\ frac {0} {1}}; {\ frac {1} {3}}; {\ frac {1} {2}}; {\ frac {2 } {3}}; {\ frac {1} {1}} \ right \}}

{\ displaystyle F_ {3} = \ left \ {{\ frac {0} {1}}; {\ frac {1} {3}}; {\ frac {1} {2}}; {\ frac {2 } {3}}; {\ frac {1} {1}} \ right \}}

F_{4}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{4}};{\frac {1}{3}};{\frac {1}{2}};{\frac {2}{3}};{\frac {3}{4}};{\frac {1}{1}}\right\}

{\ displaystyle F_ {4} = \ left \ {{\ frac {0} {1}}; {\ frac {1} {4}}; {\ frac {1} {3}}; {\ frac {1 } {2}}; {\ frac {2} {3}}; {\ frac {3} {4}}; {\ frac {1} {1}} \ right \}}

{\ displaystyle F_ {4} = \ left \ {{\ frac {0} {1}}; {\ frac {1} {4}}; {\ frac {1} {3}}; {\ frac {1 } {2}}; {\ frac {2} {3}}; {\ frac {3} {4}}; {\ frac {1} {1}} \ right \}}

F_{5}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{5}};{\frac {1}{4}};{\frac {1}{3}};{\frac {2}{5}};{\frac {1}{2}};{\frac {3}{5}};{\frac {2}{3}};{\frac {3}{4}};{\frac {4}{5}};{\frac {1}{1}}\right\}

{\ displaystyle F_ {5} = \ left \ {{\ frac {0} {1}}; {\ frac {1} {5}}; {\ frac {1} {4}}; {\ frac {1 } {3}}; {\ frac {2} {5}}; {\ frac {1} {2}}; {\ frac {3} {5}}; {\ frac {2} {3}}; {\ frac {3} {4}}; {\ frac {4} {5}}; {\ frac {1} {1}} \ right \}}

{\ displaystyle F_ {5} = \ left \ {{\ frac {0} {1}}; {\ frac {1} {5}}; {\ frac {1} {4}}; {\ frac {1 } {3}}; {\ frac {2} {5}}; {\ frac {1} {2}}; {\ frac {3} {5}}; {\ frac {2} {3}}; {\ frac {3} {4}}; {\ frac {4} {5}}; {\ frac {1} {1}} \ right \}}

Pentru numeratori, secvența A006842 a OEIS , secvența A006843 pentru numitori.

Proprietate

Fiecare secvență are un număr impar de termeni, pentru fiecare $n>1$ ${\ displaystyle n> 1}$ ${\ displaystyle n> 1}$ , iar termenul mediu este întotdeauna ${\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ .

Fiecare secvență este „simetrică” în raport cu termenul central ${\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ : pentru fiecare termen ${\frac {n}{d}}$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {d}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {d}}}$ a secvenței există și una egală cu ${\frac {d-n}{d}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dn} {d}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d-n} {d}}}$

Având în vedere doi termeni consecutivi ai unei secvențe ${\frac {p_{i}}{q_{i}}},{\frac {p_{i+1}}{q_{i+1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {p_ {i}} {q_ {i}}}, {\ frac {p_ {i + 1}} {q_ {i + 1}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {p_ {i}} {q_ {i}}}, {\ frac {p_ {i + 1}} {q_ {i + 1}}}}$ avem asta

p_{i+1}\cdot q_{i}-p_{i}\cdot q_{i+1}=1

{\ displaystyle p_ {i + 1} \ cdot q_ {i} -p_ {i} \ cdot q_ {i + 1} = 1}

{\ displaystyle p_ {i + 1} \ cdot q_ {i} -p_ {i} \ cdot q_ {i + 1} = 1}

Având în vedere trei termeni consecutivi ai unei secvențe ${\frac {p_{i-1}}{q_{i-1}}},{\frac {p_{i}}{q_{i}}},{\frac {p_{i+1}}{q_{i+1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {p_ {i-1}} {q_ {i-1}}}, {\ frac {p_ {i}} {q_ {i}}}, {\ frac {p_ {i + 1 }} {q_ {i + 1}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {p_ {i-1}} {q_ {i-1}}}, {\ frac {p_ {i}} {q_ {i}}}, {\ frac {p_ {i + 1 }} {q_ {i + 1}}}}$ avem asta

{\frac {p_{i}}{q_{i}}}={\frac {(p_{i-1}+p_{i+1})}{(q_{i-1}+q_{i+1})}}\,

{\ displaystyle {\ frac {p_ {i}} {q_ {i}}} = {\ frac {(p_ {i-1} + p_ {i + 1})} {(q_ {i-1} + q_ {i + 1})}} \,}

{\ displaystyle {\ frac {p_ {i}} {q_ {i}}} = {\ frac {(p_ {i-1} + p_ {i + 1})} {(q_ {i-1} + q_ {i + 1})}} \,}

În consecință, având în vedere succesiunea

F_{n}

{\ displaystyle F_ {n}}

{\ displaystyle F_ {n}}

, primul termen care apare între două generice

{\frac {a}{c}}

{\ displaystyle {\ frac {a} {c}}}

{\ displaystyle {\ frac {a} {c}}}

Și

{\frac {b}{d}}

{\ displaystyle {\ frac {b} {d}}}

{\ displaystyle {\ frac {b} {d}}}

într-o succesiune

F_{m}

{\ displaystyle F_ {m}}

{\ displaystyle F_ {m}}

, cu

m>n

{\ displaystyle m> n}

m> n

, este fracția mediană

{\frac {a+b}{c+d}}

{\ displaystyle {\ frac {a + b} {c + d}}}

{\ displaystyle {\ frac {a + b} {c + d}}}

Definit ca $N(n)\,$ ${\ displaystyle N (n) \,}$ ${\ displaystyle N (n) \,}$ numărul de termeni din secvența Farey $F_{n}\,$ ${\ displaystyle F_ {n} \,}$ ${\ displaystyle F_ {n} \,}$ , avem asta