Simetrie axială în planul complex

Studiul simetriei axiale în planul complex este propus prin unele cazuri particulare.

Cazuri speciale

Simetrie în raport cu axa absciselor $SAU X$ ${\ displaystyle Ox}$ ${\ displaystyle Ox}$

Simetria față de axa absciselor $SAU X$ ${\ displaystyle Ox}$ ${\ displaystyle Ox}$ este transformarea:

{\begin{matrix}S_{x}:&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} &\\&z&\longmapsto &z'&={\overline {z}}\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} S_ {x}: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = {\ overline {z}} \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} S_ {x}: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = {\ overline {z}} \ end {matrix}}}

care se asociază cu fiecare număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ complexul său conjugat $z'={\overline {z}}$ ${\ displaystyle z '= {\ overline {z}}}$ ${\ displaystyle z '= {\ overline {z}}}$ .

De fapt, după ce am scris numărul complex în formă trigonometrică, $z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )$ ${\ displaystyle z = \ rho (\ cos \ vartheta + i \ sin \ vartheta)}$ ${\ displaystyle z = \ rho (\ cos \ vartheta + i \ sin \ vartheta)}$ , obținem asta

z'={\overline {z}}=\rho (\cos(-\vartheta )+i\sin(-\vartheta ))=\rho e^{-i\vartheta }

{\ displaystyle z '= {\ overline {z}} = \ rho (\ cos (- \ vartheta) + i \ sin (- \ vartheta)) = \ rho e ^ {- i \ vartheta}}

{\ displaystyle z '= {\ overline {z}} = \ rho (\ cos (- \ vartheta) + i \ sin (- \ vartheta)) = \ rho e ^ {- i \ vartheta}}

care, reprezentat în plan cartezian , coincide tocmai cu simetricul lui $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ în raport cu axa absciselor $SAU X$ ${\ displaystyle Ox}$ ${\ displaystyle Ox}$ .

Prin urmare:

trece de la un număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ soțului său ${\overline {z}}$ ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$ înseamnă a aplica la obiect $P(z)$ ${\ displaystyle P (z)}$ $P (z)$ simetria față de axa absciselor $SAU X$ ${\ displaystyle Ox}$ ${\ displaystyle Ox}$ .

Simetrie în raport cu axa ordonatelor $SAU y$ ${\ displaystyle Oy}$ ${\ displaystyle Oy}$

Simetria față de axa ordonată $SAU y$ ${\ displaystyle Oy}$ ${\ displaystyle Oy}$ este transformarea:

{\begin{matrix}S_{y}:&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} &\\&z&\longmapsto &z'&=-{\overline {z}}\end{matrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {matrix} S_ {y}: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = - {\ overline {z}} \ end {matrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} S_ {y}: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = - {\ overline {z}} \ end {matrix}}.}

care se asociază cu fiecare număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ opusul conjugatului său $z'=-{\overline {z}}$ ${\ displaystyle z '= - {\ overline {z}}}$ ${\ displaystyle z '= - {\ overline {z}}}$ .

De fapt dacă $z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )$ ${\ displaystyle z = \ rho (\ cos \ vartheta + i \ sin \ vartheta)}$ ${\ displaystyle z = \ rho (\ cos \ vartheta + i \ sin \ vartheta)}$ ,

z'=-{\overline {z}}=e^{i\pi }{\overline {z}}=\rho (\cos(-\vartheta +\pi )+i\sin(-\vartheta +\pi ))=\rho e^{i(-\vartheta +\pi )}

{\ displaystyle z '= - {\ overline {z}} = e ^ {i \ pi} {\ overline {z}} = \ rho (\ cos (- \ vartheta + \ pi) + i \ sin (- \ vartheta + \ pi)) = \ rho e ^ {i (- \ vartheta + \ pi)}}

{\ displaystyle z '= - {\ overline {z}} = e ^ {i \ pi} {\ overline {z}} = \ rho (\ cos (- \ vartheta + \ pi) + i \ sin (- \ vartheta + \ pi)) = \ rho e ^ {i (- \ vartheta + \ pi)}}

care, reprezentat în plan cartezian , coincide tocmai cu simetricul lui $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ cu privire la axa ordonatelor $SAU y$ ${\ displaystyle Oy}$ ${\ displaystyle Oy}$

Prin urmare:

trece de la un număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ spre deosebire de conjugatul său $-{\overline {z}}$ ${\ displaystyle - {\ overline {z}}}$ ${\ displaystyle - {\ overline {z}}}$ înseamnă a aplica la obiect $P(z)$ ${\ displaystyle P (z)}$ $P (z)$ simetrie față de axa ordonată $SAU y$ ${\ displaystyle Oy}$ ${\ displaystyle Oy}$ .

Simetrie în raport cu bisectoarea $y=x$ ${\ displaystyle y = x}$ $y = x$

Transformarea

{\begin{matrix}S_{y=x}:&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} &\\&z&\longmapsto &z'&=i{\overline {z}}\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} S_ {y = x}: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = i {\ overline {z }} \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} S_ {y = x}: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = i {\ overline {z }} \ end {matrix}}}

care se asociază cu fiecare număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ produsul $i{\overline {z}}$ ${\ displaystyle i {\ overline {z}}}$ ${\ displaystyle i {\ overline {z}}}$ reprezintă simetria față de bisectoarea primului și celui de-al treilea cadran $y=x$ ${\ displaystyle y = x}$ ${\ displaystyle y = x}$ .

De fapt dacă $z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )$ ${\ displaystyle z = \ rho (\ cos \ vartheta + i \ sin \ vartheta)}$ ${\ displaystyle z = \ rho (\ cos \ vartheta + i \ sin \ vartheta)}$ , reprezentarea în plan cartezian a lui

z'=i{\overline {z}}=e^{i{\pi  \over 2}}{\overline {z}}=\rho \left(\cos \left(-\vartheta +{\pi  \over 2}\right)+i\sin \left(-\vartheta +{\pi  \over 2}\right)\right)=\rho e^{i(-\vartheta +{\pi  \over 2})}

{\ displaystyle z '= i {\ overline {z}} = e ^ {i {\ pi \ over 2}} {\ overline {z}} = \ rho \ left (\ cos \ left (- \ vartheta + { \ pi \ over 2} \ right) + i \ sin \ left (- \ vartheta + {\ pi \ over 2} \ right) \ right) = \ rho e ^ {i (- \ vartheta + {\ pi \ over 2})}}

{\ displaystyle z '= i {\ overline {z}} = e ^ {i {\ pi \ over 2}} {\ overline {z}} = \ rho \ left (\ cos \ left (- \ vartheta + { \ pi \ over 2} \ right) + i \ sin \ left (- \ vartheta + {\ pi \ over 2} \ right) \ right) = \ rho e ^ {i (- \ vartheta + {\ pi \ over 2})}}

coincide cu simetricul de $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ cu privire la bisectoare $y=x$ ${\ displaystyle y = x}$ $y = x$ .

Prin urmare:

trece de la un număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ la produs $i{\overline {z}}$ ${\ displaystyle i {\ overline {z}}}$ ${\ displaystyle i {\ overline {z}}}$ înseamnă a aplica la obiect $P(z)$ ${\ displaystyle P (z)}$ $P (z)$ simetrie în raport cu linia $y=x$ ${\ displaystyle y = x}$ $y = x$ , bisectoarea primului și celui de-al treilea cadran .

Simetrie în raport cu bisectoarea $y=-x$ ${\ displaystyle y = -x}$ $y = -x$

Transformarea

{\begin{matrix}S_{y=-x}:&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} &\\&z&\longmapsto &z'&=-i{\overline {z}}\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} S_ {y = -x}: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = - i {\ overline {z}} \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} S_ {y = -x}: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = - i {\ overline {z}} \ end {matrix}}}

care se asociază cu fiecare număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ produsul $-i{\overline {z}}$ ${\ displaystyle -i {\ overline {z}}}$ ${\ displaystyle -i {\ overline {z}}}$ reprezintă simetria față de bisectoarea al doilea și al patrulea cadran $y=-x$ ${\ displaystyle y = -x}$ ${\ displaystyle y = -x}$ .

De fapt dacă $z=\rho (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )$ ${\ displaystyle z = \ rho (\ cos \ vartheta + i \ sin \ vartheta)}$ ${\ displaystyle z = \ rho (\ cos \ vartheta + i \ sin \ vartheta)}$ , reprezentarea în plan cartezian a lui

z'=-i{\overline {z}}=e^{i{3 \over 2}\pi }{\overline {z}}=\rho \left(\cos \left(-\vartheta +{3 \over 2}\pi \right)+i\sin \left(-\vartheta +{3 \over 2}\pi \right)\right)=\rho e^{i(-\vartheta +{3 \over 2}\pi )}

{\ displaystyle z '= - i {\ overline {z}} = e ^ {i {3 \ over 2} \ pi} {\ overline {z}} = \ rho \ left (\ cos \ left (- \ vartheta + {3 \ over 2} \ pi \ right) + i \ sin \ left (- \ vartheta + {3 \ over 2} \ pi \ right) \ right) = \ rho e ^ {i (- \ vartheta + { 3 \ peste 2} \ pi)}}

{\ displaystyle z '= - i {\ overline {z}} = e ^ {i {3 \ over 2} \ pi} {\ overline {z}} = \ rho \ left (\ cos \ left (- \ vartheta + {3 \ over 2} \ pi \ right) + i \ sin \ left (- \ vartheta + {3 \ over 2} \ pi \ right) \ right) = \ rho e ^ {i (- \ vartheta + { 3 \ peste 2} \ pi)}}

coincide cu simetricul de $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ cu privire la bisectoare $y=-x$ ${\ displaystyle y = -x}$ $y = -x$ .

Prin urmare:

trece de la un număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ la produs $-i{\overline {z}}$ ${\ displaystyle -i {\ overline {z}}}$ ${\ displaystyle -i {\ overline {z}}}$ înseamnă a aplica la obiect $P(z)$ ${\ displaystyle P (z)}$ $P (z)$ simetrie în raport cu linia $y=-x$ ${\ displaystyle y = -x}$ $y = -x$ , bisectoarea al doilea și al patrulea cadran .

Simetrie în raport cu linia $y=y_{0}$ ${\ displaystyle y = y_ {0}}$ ${\ displaystyle y = y_ {0}}$

Dat $\,\omega _{0}=2y_{0}i$ ${\ displaystyle \, \ omega _ {0} = 2y_ {0} i}$ ${\ displaystyle \, \ omega _ {0} = 2y_ {0} i}$ , transformarea

{\begin{matrix}S_{y=y_{0}}:&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} &\\&z&\longmapsto &z'&={\overline {z}}+\omega _{0}={\overline {z}}+2y_{0}i\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} S_ {y = y_ {0}}: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = {\ overline {z}} + \ omega _ {0} = {\ overline {z}} + 2y_ {0} i \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} S_ {y = y_ {0}}: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = {\ overline {z}} + \ omega _ {0} = {\ overline {z}} + 2y_ {0} i \ end {matrix}}}

care se asociază cu fiecare număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ numărul complex ${\overline {z}}+2y_{0}i$ ${\ displaystyle {\ overline {z}} + 2y_ {0} i}$ ${\ displaystyle {\ overline {z}} + 2y_ {0} i}$ reprezintă simetria față de linie $y=y_{0}$ ${\ displaystyle y = y_ {0}}$ ${\ displaystyle y = y_ {0}}$ .

De fapt, în transformarea în cauză este imediată recunoașterea operației conjugate , care realizează simetria față de axa lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , și suma numerelor complexe, care realizează traducerea.

De sine $z=x+iy$ ${\ displaystyle z = x + iy}$ ${\ displaystyle z = x + iy}$ , asa de

{\overline {z}}=x-iy

{\ displaystyle {\ overline {z}} = x-iy}

{\ displaystyle {\ overline {z}} = x-iy}

Și

{\overline {z}}+2y_{0}i=x-iy+2y_{0}i=x+i(2y_{0}-y)

{\ displaystyle {\ overline {z}} + 2y_ {0} i = x-iy + 2y_ {0} i = x + i (2y_ {0} -y)}

{\ displaystyle {\ overline {z}} + 2y_ {0} i = x-iy + 2y_ {0} i = x + i (2y_ {0} -y)}

care echivalează cu

\left\{{\begin{matrix}&x'&=&x&\\&y'&=&2y_{0}&-y\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x '& = & x & \\ & y' & = & 2y_ {0} & - y \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x '& = & x & \\ & y' & = & 2y_ {0} & - y \ end {matrix}} \ right.}

ecuații de simetrie axială față de linia dreaptă $y=y_{0}$ ${\ displaystyle y = y_ {0}}$ ${\ displaystyle y = y_ {0}}$ .

Prin urmare:

trece de la un număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ la numărul complex $z'={\overline {z}}+2y_{0}i$ ${\ displaystyle z '= {\ overline {z}} + 2y_ {0} i}$ ${\ displaystyle z '= {\ overline {z}} + 2y_ {0} i}$ înseamnă a aplica la obiect $P(z)$ ${\ displaystyle P (z)}$ $P (z)$ simetria față de linia de ecuație $y=y_{0}$ ${\ displaystyle y = y_ {0}}$ ${\ displaystyle y = y_ {0}}$ .

Simetrie în raport cu linia $x=x_{0}$ ${\ displaystyle x = x_ {0}}$ $x = x_ {0}$

Dat $t=2x_{0}i$ ${\ displaystyle t = 2x_ {0} i}$ ${\ displaystyle t = 2x_ {0} i}$ , transformarea

{\begin{matrix}S_{x=x_{0}}:&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} &\\&z&\longmapsto &z'&=-{\overline {z}}+t=-{\overline {z}}+2x_{0}\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} S_ {x = x_ {0}}: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = - {\ overline {z}} + t = - {\ overline {z}} + 2x_ {0} \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} S_ {x = x_ {0}}: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = - {\ overline {z}} + t = - {\ overline {z}} + 2x_ {0} \ end {matrix}}}

care se asociază cu fiecare număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ numărul complex $-{\overline {z}}+2x_{0}i$ ${\ displaystyle - {\ overline {z}} + 2x_ {0} i}$ ${\ displaystyle - {\ overline {z}} + 2x_ {0} i}$ reprezintă simetria față de linie $x=x_{0}$ ${\ displaystyle x = x_ {0}}$ $x = x_ {0}$ .

De fapt, în transformarea în cauză este imediat să recunoaștem operația opusului conjugat, care realizează simetria față de axa lui $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , și suma numerelor complexe, care realizează traducerea.

De sine $z=x+iy$ ${\ displaystyle z = x + iy}$ ${\ displaystyle z = x + iy}$ , asa de

{\overline {z}}=x-iy

{\ displaystyle {\ overline {z}} = x-iy}

{\ displaystyle {\ overline {z}} = x-iy}

Și

-{\overline {z}}+2x_{0}i=-x+iy+2x_{0}i=(2x_{0}-x)+iy

{\ displaystyle - {\ overline {z}} + 2x_ {0} i = -x + iy + 2x_ {0} i = (2x_ {0} -x) + iy}

{\ displaystyle - {\ overline {z}} + 2x_ {0} i = -x + iy + 2x_ {0} i = (2x_ {0} -x) + iy}

care echivalează cu

\left\{{\begin{matrix}&x'&=&2x_{0}&-x\\&y'&=&y&\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x '& = & 2x_ {0} & - x \\ & y' & = & y & \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} & x '& = & 2x_ {0} & - x \\ & y' & = & y & \ end {matrix}} \ right.}

ecuații de simetrie axială față de linia dreaptă $\,x=x_{0}$ ${\ displaystyle \, x = x_ {0}}$ ${\ displaystyle \, x = x_ {0}}$ .

Prin urmare:

trece de la un număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ la numărul complex $z'=-{\overline {z}}+2x_{0}$ ${\ displaystyle z '= - {\ overline {z}} + 2x_ {0}}$ ${\ displaystyle z '= - {\ overline {z}} + 2x_ {0}}$ înseamnă a aplica la obiect $P(z)$ ${\ displaystyle P (z)}$ $P (z)$ simetria față de linia de ecuație $\,x=x_{0}$ ${\ displaystyle \, x = x_ {0}}$ ${\ displaystyle \, x = x_ {0}}$ .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

Simetrie axială în planul complex

Cazuri speciale

Simetrie în raport cu axa absciselor SAU X {\ displaystyle Ox}

Simetrie în raport cu axa ordonatelor SAU y {\ displaystyle Oy}

Simetrie în raport cu bisectoarea y = X {\ displaystyle y = x}

Simetrie în raport cu bisectoarea y = - X {\ displaystyle y = -x}

Simetrie în raport cu linia y = y 0 {\ displaystyle y = y_ {0}}

Simetrie în raport cu linia X = X 0 {\ displaystyle x = x_ {0}}

Elemente conexe

Simetrie în raport cu axa absciselor $SAU X$ ${\ displaystyle Ox}$ ${\ displaystyle Ox}$

Simetrie în raport cu axa ordonatelor $SAU y$ ${\ displaystyle Oy}$ ${\ displaystyle Oy}$

Simetrie în raport cu bisectoarea $y=x$ ${\ displaystyle y = x}$ $y = x$

Simetrie în raport cu bisectoarea $y=-x$ ${\ displaystyle y = -x}$ $y = -x$

Simetrie în raport cu linia $y=y_{0}$ ${\ displaystyle y = y_ {0}}$ ${\ displaystyle y = y_ {0}}$

Simetrie în raport cu linia $x=x_{0}$ ${\ displaystyle x = x_ {0}}$ $x = x_ {0}$