Spațiul G al lui Busemann

În matematică , un spațiu G Busemann este un tip de spațiu metric descris pentru prima dată de Herbert Busemann în 1942.

De sine $(X,d)$ ${\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ este un spațiu metric astfel încât

pentru fiecare două distincte $x,y\in X$ ${\ displaystyle x, y \ în X}$ $x, y \ în X$ există $z\in X-\{x,y\}$ ${\ displaystyle z \ în X - \ {x, y \}}$ ${\ displaystyle z \ în X - \ {x, y \}}$ astfel încât $d(x,z)+d(y,z)=d(x,z)$ ${\ displaystyle d (x, z) + d (y, z) = d (x, z)}$ ${\ displaystyle d (x, z) + d (y, z) = d (x, z)}$ (Convexitatea lui Menger)
fiecare set $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ -limitat de cardinalitate infinită posedă puncte de acumulare
pentru fiecare $w\in X$ ${\ displaystyle w \ in X}$ ${\ displaystyle w \ in X}$ există $\rho _{w}$ ${\ displaystyle \ rho _ {w}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {w}}$ astfel încât pentru toate punctele distincte $x,y\in B(w,\rho _{w})$ ${\ displaystyle x, y \ în B (w, \ rho _ {w})}$ ${\ displaystyle x, y \ în B (w, \ rho _ {w})}$ există $z\in (b(w,\rho _{w})-\{x,y\})^{\circ }$ ${\ displaystyle z \ in (b (w, \ rho _ {w}) - \ {x, y \}) ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle z \ in (b (w, \ rho _ {w}) - \ {x, y \}) ^ {\ circ}}$ astfel încât $d(x,z)+d(y,z)=d(x,z)$ ${\ displaystyle d (x, z) + d (y, z) = d (x, z)}$ ${\ displaystyle d (x, z) + d (y, z) = d (x, z)}$ ( geodezice sunt extensibile local)
pentru toate punctele distincte $x,y\in X$ ${\ displaystyle x, y \ în X}$ $x, y \ în X$ , de sine $u,v\in X$ ${\ displaystyle u, v \ in X}$ ${\ displaystyle u, v \ in X}$ astfel încât $d(x,u)+d(y,u)=d(x,u)$ ${\ displaystyle d (x, u) + d (y, u) = d (x, u)}$ ${\ displaystyle d (x, u) + d (y, u) = d (x, u)}$ , $d(x,v)+d(y,v)=d(x,v)$ ${\ displaystyle d (x, v) + d (y, v) = d (x, v)}$ ${\ displaystyle d (x, v) + d (y, v) = d (x, v)}$ Și $d(y,u)=d(y,v)$ ${\ displaystyle d (y, u) = d (y, v)}$ ${\ displaystyle d (y, u) = d (y, v)}$ (extensiile geodezice sunt unice).

atunci se spune că X este un spațiu Busemann G. Fiecare spațiu Busemann G este un spațiu omogen .

Conjectura lui Busemann afirmă că fiecare spațiu Busemann G este o varietate topologică . Este un caz special al conjecturii Bing-Borsuk . Se presupune că conjectura lui Busemann este adevărată pentru dimensiunile de la 1 la 4. ^[1] ^[2]

Notă

^ (EN) Halverson, Denise M. și Repovš Dušan, The Bing-Borsuk and the Busemann Conjectures in Mathematical Communications, Vol. 13, n. 2, 23 decembrie 2008, ISSN 1331-0623 ( WC ACNP ) .
^ (EN) Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature , European Mathematical Society, 2005, p. 77, ISBN 9783037190104 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Halverson, Denise M. și Repovš Dušan, The Bing-Borsuk and the Busemann Conjectures in Mathematical Communications, Vol. 13, n. 2, 23 decembrie 2008, ISSN 1331-0623 ( WC ACNP ) .

[2] (EN) Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature , European Mathematical Society, 2005, p. 77, ISBN 9783037190104 .

[1]

[2]