Spectrul puterii

În electronică și teoria semnalului, un semnal poate fi reprezentat ca un vector într-un spațiu complex cu dimensiuni infinite, în special un spațiu Hilbert .

Odată ce am introdus aparatul matematic vectorial al semnalelor în spațiul lui Hilbert, putem defini energia unui semnal ca:

E_{s}=\|\mathbf {s} \|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }s^{2}(t)\,dt

{\ displaystyle E_ {s} = \ | \ mathbf {s} \ | ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s ^ {2} (t) \, dt}

{\ displaystyle E_ {s} = \ | \ mathbf {s} \ | ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s ^ {2} (t) \, dt}

unde este $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ este semnalul. Trebuie remarcat faptul că energiile nu sunt aditive în spațiul Hilbert al semnalelor, de fapt:

\|\mathbf {s} _{1}+\mathbf {s} _{2}\|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\mathbf {s} _{1}+\mathbf {s} _{2}\right]^{2}\,dt=E_{s_{1}}+E_{s_{2}}+2\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}\,dt

{\ displaystyle \ | \ mathbf {s} _ {1} + \ mathbf {s} _ {2} \ | ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left [\ mathbf { s} _ {1} + \ mathbf {s} _ {2} \ right] ^ {2} \, dt = E_ {s_ {1}} + E_ {s_ {2}} + 2 \ cdot \ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} \ mathbf {s} _ {1} \ cdot \ mathbf {s} _ {2} \, dt}

{\ displaystyle \ | \ mathbf {s} _ {1} + \ mathbf {s} _ {2} \ | ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left [\ mathbf { s} _ {1} + \ mathbf {s} _ {2} \ right] ^ {2} \, dt = E_ {s_ {1}} + E_ {s_ {2}} + 2 \ cdot \ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} \ mathbf {s} _ {1} \ cdot \ mathbf {s} _ {2} \, dt}

unde termenul $2\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}\,dt$ ${\ displaystyle 2 \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathbf {s} _ {1} \ cdot \ mathbf {s} _ {2} \, dt}$ $2 \ cdot \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathbf {s} _ {1} \ cdot \ mathbf {s} _ {2} \, dt$ se numește termenul de energie încrucișată . Dacă semnalul este o tensiune, atunci unitatea de energie este $[V^{2}\cdot s/\Omega ]$ ${\ displaystyle [V ^ {2} \ cdot s / \ Omega]}$ $[V ^ 2 \ cdot s / \ Omega]$ , dacă în schimb este un curent electric atunci $[A^{2}\cdot s/\Omega ]$ ${\ displaystyle [A ^ {2} \ cdot s / \ Omega]}$ $[A ^ 2 \ cdot s / \ Omega]$ .

Spectrul puterii

Același subiect în detaliu: Reprezentarea spectrală a semnalelor .

Produsul a două semnale în teoria vectorială a semnalelor este definit ca un produs scalar în spațiul Hilbert:

u(t)\cdot v(t)=\int _{-\infty }^{\infty }u(t)v(t)\,dt

{\ displaystyle u (t) \ cdot v (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u (t) v (t) \, dt}

u (t) \ cdot v (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u (t) v (t) \, dt

În contextul teoriei spectrale a semnalelor prin transformata Fourier , produsul celor două semnale este exprimat ca:

u(t)\cdot v(t)=\int _{-\infty }^{\infty }u(t)v(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }u(t)\,dt\int _{-\infty }^{\infty }V(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega

{\ displaystyle u (t) \ cdot v (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u (t) v (t) \, dt = {\ frac {1} {2 \ pi} } \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u (t) \, dt \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} V (\ omega) e ^ {i \ omega t} \, d \ omega}

u (t) \ cdot v (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u (t) v (t) \, dt = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} u (t) \, dt \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} V (\ omega) e ^ {i \ omega t} \, d \ omega

unde este $V(\omega ),U(\omega )$ ${\ displaystyle V (\ omega), U (\ omega)}$ $V (\ omega), U (\ omega)$ sunt spectrele semnalelor $v(t),u(t)$ ${\ displaystyle v (t), u (t)}$ $v (t), u (t)$ respectiv. Să schimbăm ordinea de integrare:

u(t)\cdot v(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }V(\omega )\,d\omega \int _{-\infty }^{\infty }u(t)e^{i\omega t}\,dt

{\ displaystyle u (t) \ cdot v (t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} V (\ omega) \, d \ omega \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u (t) e ^ {i \ omega t} \, dt}

u (t) \ cdot v (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} V (\ omega) \, d \ omega \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u (t) e ^ {i \ omega t} \, dt

atunci spectrele semnalelor sunt funcții complexe ale $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ , asa de:

u(t)\cdot v(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }V(\omega )U^{*}(\omega )\,d\omega

{\ displaystyle u (t) \ cdot v (t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} V (\ omega) U ^ {*} ( \ omega) \, d \ omega}

u (t) \ cdot v (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} V (\ omega) U ^ {*} (\ omega) \, d \ omega

care este formula generalizată Rayleigh : produsul scalar al două semnale este proporțional cu produsul scalar al spectrelor lor.

În cazul unui semnal, spectrul de putere este dat de:

|u(t)|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }u^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|U(\omega )|^{2}\,d\omega

{\ displaystyle | u (t) | ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u ^ {2} \, dt = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | U (\ omega) | ^ {2} \, d \ omega}

| u (t) | ^ 2 = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} u ^ 2 \, dt = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | U (\ omega) | ^ {2} \, d \ omega

interpretabil ca suma contribuțiilor infinite ale semnalului la diferite frecvențe.

Spectrul de putere al unui sistem liniar

Același subiect în detaliu: Sistem dinamic liniar .

Într-un sistem liniar dinamic, energia unui semnal este dată de:

E=|u_{out}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }S_{out}(\omega )S_{out}^{*}(\omega )\,d\omega

{\ displaystyle E = | u_ {out} | ^ {2} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} S_ {out} (\ omega) S_ {out} ^ {*} (\ omega) \, d \ omega}

E = | u_ {out} | ^ 2 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} S_ {out} (\ omega) S_ {out} ^ {*} (\ omega) \, d \ omega

Dacă ne amintim că:

S_{out}(\omega )=k(i\omega )S_{in}(\omega )

{\ displaystyle S_ {out} (\ omega) = k (i \ omega) S_ {in} (\ omega)}

S_ {out} (\ omega) = k (i \ omega) S_ {in} (\ omega)

unde este $k(i\omega )$ ${\ displaystyle k (i \ omega)}$ $k (i \ omega)$ este funcția de transfer a sistemului. Deci, energia semnalului:

E={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|k(i\omega )|^{2}S_{in}(\omega )S_{in}^{*}(\omega )\,d\omega

{\ displaystyle E = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | k (i \ omega) | ^ {2} S_ {in} (\ omega) S_ {în} ^ {*} (\ omega) \, d \ omega}

E = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | k (i \ omega) | ^ 2 S_ {in} (\ omega) S_ {in} ^ {* } (\ omega) \, d \ omega

adică energia semnalului poate fi exprimată în termeni de spectru a semnalului.

Cantitatea:

k_{p}(\omega )=|k(i\omega )|^{2}={\frac {W_{out}(\omega )}{W_{in}(\omega )}}

{\ displaystyle k_ {p} (\ omega) = | k (i \ omega) | ^ {2} = {\ frac {W_ {out} (\ omega)} {W_ {in} (\ omega)}}}

k_p (\ omega) = | k (i \ omega) | ^ 2 = \ frac {W_ {out} (\ omega)} {W_ {in} (\ omega)}

este răspunsul sistemului la energia transferată. Măreția $W(\omega )=S(\omega )S^{*}(\omega )$ ${\ displaystyle W (\ omega) = S (\ omega) S ^ {*} (\ omega)}$ $W (\ omega) = S (\ omega) S ^ * (\ omega)$ .

Elemente conexe