Teorema lui Pick

Poligon construit pe o rețea de puncte. Aplicând teorema lui Pick avem: i = 39, p = 14, deci A = 39 + 14/2 - 1 = 39 + 7 - 1 = 45.

Teorema lui Pick este o teoremă a geometriei care vă permite să calculați aria unui poligon simplu ale cărui vârfuri au coordonate întregi.

Tratament formal

Într-un poligon simplu ale cărui vârfuri au coordonate întregi , sunt:

$the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ numărul de puncte cu coordonate întregi în interiorul poligonului;
$p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ numărul de puncte la coordonatele întregi de pe perimetrul poligonului (inclusiv vârfurile).

Zona $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ poligonului poate fi calculat folosind formula:

A=i+{\frac {p}{2}}-1.

{\ displaystyle A = i + {\ frac {p} {2}} - 1.}

{\ displaystyle A = i + {\ frac {p} {2}} - 1.}

Demonstrație

În primul rând, observăm că fiecare poligon este descompozibil în triunghiuri. Dovada teoremei lui Pick este, prin urmare, echivalentă cu demonstrarea următoarelor teze:

Formula lui Pick este aditivă ;
Teorema lui Pick este valabilă pentru un triunghi generic.

Să luăm în considerare un poligon $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ rezultată din unirea a două poligoane $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , ale căror părți le împărtășesc $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ punctele de contact la coordonatele întregi. Vrem să arătăm asta $F(P)=F(A)+F(B)$ ${\ displaystyle F (P) = F (A) + F (B)}$ ${\ displaystyle F (P) = F (A) + F (B)}$ , unde este $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este formula lui Pick. Pentru poligon $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ da ai

${\begin{aligned}F(P)&=i_{P}+{\frac {p_{P}}{2}}-1\\&=(i_{A}+i_{B}+c-2)+{\frac {(p_{A}-c)+(p_{B}-c)+2}{2}}-1\\&=\left({\frac {p_{A}}{2}}+i_{A}-1\right)+\left({\frac {p_{B}}{2}}+i_{B}-1\right)\\&=F(A)+F(B)\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} F (P) & = i_ {P} + {\ frac {p_ {P}} {2}} - 1 \\ & = (i_ {A} + i_ {B} + c-2) + {\ frac {(p_ {A} -c) + (p_ {B} -c) +2} {2}} - 1 \\ & = \ left ({\ frac {p_ {A} } {2}} + i_ {A} -1 \ right) + \ left ({\ frac {p_ {B}} {2}} + i_ {B} -1 \ right) \\ & = F (A) + F (B) \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} F (P) & = i_ {P} + {\ frac {p_ {P}} {2}} - 1 \\ & = (i_ {A} + i_ {B} + c-2) + {\ frac {(p_ {A} -c) + (p_ {B} -c) +2} {2}} - 1 \\ & = \ left ({\ frac {p_ {A} } {2}} + i_ {A} -1 \ right) + \ left ({\ frac {p_ {B}} {2}} + i_ {B} -1 \ right) \\ & = F (A) + F (B) \ end {align}}}$

Primul punct a fost dovedit. Pentru a demonstra al doilea punct, procedăm pas cu pas, demonstrând mai întâi teorema pentru dreptunghiuri, apoi pentru triunghiuri drepte particulare și, în final, considerând triunghiurile mai generice ca sume sau diferențe ale acestor figuri elementare. Acest lucru este legitim tocmai pentru că s-a demonstrat aditivitatea.

Aplicarea teoremei unui dreptunghi cu laturile $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ respectiv paralel cu cele două axe, avem:

$A=i+{\tfrac {p}{2}}-1=ab-a-b+1+a+b-1=ab$ ${\ displaystyle A = i + {\ tfrac {p} {2}} - 1 = ab-a-b + 1 + a + b-1 = ab}$ ${\ displaystyle A = i + {\ tfrac {p} {2}} - 1 = ab-a-b + 1 + a + b-1 = ab}$

care este corect. Pentru un triunghi unghiular de picioare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ și a căror hipotenuză nu are puncte la coordonatele întregi (cu excepția extremelor), avem:

${\begin{aligned}F(P)&=i_{P}+{\frac {p_{P}}{2}}-1\\&={\frac {(a-1)(b-1)}{2}}+{\frac {a+b+1}{2}}-1\\&={\frac {ab}{2}}\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} F (P) & = i_ {P} + {\ frac {p_ {P}} {2}} - 1 \\ & = {\ frac {(a-1) (b -1)} {2}} + {\ frac {a + b + 1} {2}} - 1 \\ & = {\ frac {ab} {2}} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} F (P) & = i_ {P} + {\ frac {p_ {P}} {2}} - 1 \\ & = {\ frac {(a-1) (b -1)} {2}} + {\ frac {a + b + 1} {2}} - 1 \\ & = {\ frac {ab} {2}} \ end {align}}}$

care este corect. Triunghiurile dreptunghiulare cu puncte pe hipotenuză pot fi împărțite descompuse în triunghiuri dreptunghiulare și triunghiuri dreptunghiulare fără puncte pe hipotenuză, astfel încât teorema este valabilă pentru toate triunghiurile dreptunghiulare. În cele din urmă, pentru triunghiurile care nu sunt drepte, rețineți că pot fi obținute prin sume și diferențe de cifre pentru care sa demonstrat deja că formula este valabilă.

Al doilea punct a fost dovedit, deci teza inițială este valabilă.

Bibliografie

HSM Coxeter , Introducere în Geometrie , ediția a II-a, Wiley, 1989.

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe teorema lui Pick

linkuri externe

Teorema lui Pick - Note despre matematica recreativă de Gianfranco Bo
O simplă dovadă a teoremei Pick a lui Domenico Lenzi

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică