Teorema lui Thévenin

Teorema lui Thévenin este o teoremă a ingineriei electrice care afirmă că orice circuit liniar , indiferent de complexitatea sa, văzut de la două terminale, este echivalent cu un generator de tensiune real format dintr-un generator de tensiune ideal în serie cu un rezistor: echivalența pe care o aplică numai la tensiunea și curentul la bornele circuitului. Afirmat pentru prima dată de omul de știință german Hermann von Helmholtz ( 1821 - 1894 ) în 1853 ^[1] , dar redescoperit în 1883 de inginerul francez Léon Charles Thévenin ( 1857 - 1926 ) de la care își ia numele ^[2] ^[3] .

Este dualitatea teoremei lui Norton .

Teorema

Generator de tensiune echivalent

Afirmație

Fie un circuit liniar un circuit în care ieșirea este în relație liniară cu intrarea ^[4] și se spune că două circuite având aceeași relație tensiune-curent la terminale sunt echivalente, apoi prin teorema lui Thévenin un circuit liniar cu două terminale poate fi înlocuit cu un circuit echivalent format dintr-o sursă de tensiune $V_{Th}$ ${\ displaystyle V_ {Th}}$ ${\ displaystyle V_ {Th}}$ în serie cu un rezistor $R_{Th}$ ${\ displaystyle R_ {Th}}$ ${\ displaystyle R_ {Th}}$ in care $V_{Th}$ ${\ displaystyle V_ {Th}}$ ${\ displaystyle V_ {Th}}$ este tensiunea fără sarcină la terminale și $R_{Th}$ ${\ displaystyle R_ {Th}}$ ${\ displaystyle R_ {Th}}$ este rezistența de intrare sau rezistența echivalentă văzută la aceleași terminale când generatoarele independente sunt oprite. ^[5]

Considerații

Dacă cele două borne ale circuitului liniar sunt lăsate deschise, adică există un circuit deschis , atunci curentul de intrare la bornele circuitului este zero $i_{oc}=0$ ${\ displaystyle i_ {oc} = 0}$ ${\ displaystyle i_ {oc} = 0}$ în consecință, conform teoremei lui Thévenin, tensiunea fără sarcină a circuitului este egală cu tensiunea generatorului Thévenin $v_{oc}=V_{Th}$ ${\ displaystyle v_ {oc} = V_ {Th}}$ ${\ displaystyle v_ {oc} = V_ {Th}}$ . ^[5]

În condiții de circuit deschis este posibil să se determine rezistența echivalentă $R_{Th}$ ${\ displaystyle R_ {Th}}$ ${\ displaystyle R_ {Th}}$ văzut de la bornele circuitului când generatoarele independente sunt oprite, adică atunci când circuitul este inert. Dacă rețeaua are generatoare dependente, acestea nu trebuie oprite pentru calcularea rezistenței echivalente, deoarece acestea sunt controlate de variabilele circuitului, de aceea este necesar să se aplice un generator de tensiune de testare $v_{0}$ ${\ displaystyle v_ {0}}$ ${\ displaystyle v_ {0}}$ la bornele circuitului și determinați curentul $i_{0}$ ${\ displaystyle i_ {0}}$ $i_ {0}$ legat de tensiunea de testare prin legea lui Ohm $v_{0}=R_{Th}i_{0}$ ${\ displaystyle v_ {0} = R_ {Th} i_ {0}}$ ${\ displaystyle v_ {0} = R_ {Th} i_ {0}}$ . Un generator de curent de testare poate fi conectat la bornele circuitului în același timp $i_{0}$ ${\ displaystyle i_ {0}}$ $i_ {0}$ pentru a determina tensiunea de testare într-un mod similar $v_{0}$ ${\ displaystyle v_ {0}}$ ${\ displaystyle v_ {0}}$ . ^[5]

Considerat un circuit liniar închis cu o sarcină $R_{L}$ ${\ displaystyle R_ {L}}$ $R_L$ redus ulterior la echivalentul său Thévenin, apoi curentul care intră în sarcină $I_{L}$ ${\ displaystyle I_ {L}}$ ${\ displaystyle I_ {L}}$ este dat de raportul dintre tensiunea Thévenin și seria dintre rezistența echivalentă și rezistența la sarcină; tensiunea pe sarcină este legată de curent prin legea lui Ohm $V_{L}=R_{L}I_{L}$ ${\ displaystyle V_ {L} = R_ {L} I_ {L}}$ ${\ displaystyle V_ {L} = R_ {L} I_ {L}}$ . ^[6]

I_{L}={V_{Th} \over R_{Th}+R_{L}}

{\ displaystyle I_ {L} = {V_ {Th} \ peste R_ {Th} + R_ {L}}}

{\ displaystyle I_ {L} = {V_ {Th} \ peste R_ {Th} + R_ {L}}}

AC

Teorema lui Thévenin este valabilă și în circuitele liniare alimentate cu curent alternativ , în acest caz circuitul liniar poate fi înlocuit cu un circuit echivalent format dintr-un generator de tensiune alternativă ${\bar {V}}_{Th}$ ${\ displaystyle {\ bar {V}} _ {Th}}$ ${\ displaystyle {\ bar {V}} _ {Th}}$ în serie cu o singură impedanță ${\bar {Z}}_{Th}$ ${\ displaystyle {\ bar {Z}} _ {Th}}$ ${\ displaystyle {\ bar {Z}} _ {Th}}$ . Dacă sursele circuitului funcționează la frecvențe diferite, atunci este necesar să se determine un circuit echivalent Thévenin pentru fiecare frecvență. ^[7]

Demonstrație

Pentru a demonstra teorema lui Thévenin, merită să ne referim la următoarele trei figuri care ne vor ajuta să înțelegem pașii logici în care teorema în sine este articulată. Dovada constă în verificarea echivalenței fig. 1 cu fig. 3 în scopul calculării $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și de $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ in care $E_{0}$ ${\ displaystyle E_ {0}}$ $E_ {0}$ presupune valoarea tensiunii fără sarcină prezentă la nodurile AB și $R_{e}$ ${\ displaystyle R_ {e}}$ $Rege}$ cea a rezistenței văzute privind în interiorul cutiei negre întotdeauna de la nodurile AB .

Circuitele din fig. 1 și 2 sunt echivalente având înlocuit cu a

R.

{\ displaystyle R}

R.

generatorul de energie

THE

{\ displaystyle I}

THE

care menține nealterat curentul din această ramură; circuitul din fig.3 este echivalent cu primele două în scopul calculării

V.

{\ displaystyle V}

V.

Și

THE

{\ displaystyle I}

THE

în virtutea teoremei lui Thevenin.

1) Luați în considerare circuitul din fig. 1 care, în aval de nodurile AB, evidențiază rezistența $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ a cărei tensiune doriți să o determinați $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ prezent liderilor săi și actualului $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ alergând prin el. În amonte de AB există un container, o cutie neagră , care cuprinde restul circuitului format din generatoare de tensiune și curent și alte rezistențe.

2) Nimic nu se schimbă în valorile $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și de $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ dacă rezistorul $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este înlocuit de un generator de curent care continuă să impună același curent în aval de nodurile AB $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ . Cu alte cuvinte, în loc să studieze circuitul din fig. 1 este posibil să se studieze circuitul din fig. 2 echivalent cu acesta.

3) Pentru a calcula tensiunea $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ de fig. 2 este posibil să se recurgă la principiul suprapunerii efectelor .

4) În interiorul cutiei negre din fig. 2 , mai întâi numai sursa de tensiune va fi menținută activă $E_{1}$ ${\ displaystyle E_ {1}}$ $E_ {1}$ , înlocuind celelalte generatoare de tensiune cu scurtcircuite și generatoarele de curent prezente acolo cu circuite deschise și generatorul de curent va fi, de asemenea, înlocuit cu un circuit deschis $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ în aval de nodurile AB : în acest fel se va determina tensiunea $V_{E_{1}}$ ${\ displaystyle V_ {E_ {1}}}$ ${\ displaystyle V_ {E_ {1}}}$ la capetele AB datorită tălpii $E_{1}$ ${\ displaystyle E_ {1}}$ $E_ {1}$ . Vom proceda în același mod și pentru celelalte generatoare de tensiune $E_{2}$ ${\ displaystyle E_ {2}}$ $E_ {2}$ , ..., $E_{n}$ ${\ displaystyle E_ {n}}$ $E_ {n}$ , fiecare dintre ele va ajuta $V_{E_{2}}$ ${\ displaystyle V_ {E_ {2}}}$ ${\ displaystyle V_ {E_ {2}}}$ , ..., $V_{E_{n}}$ ${\ displaystyle V_ {E_ {n}}}$ ${\ displaystyle V_ {E_ {n}}}$ la capetele AB , având grijă să continuați să înlocuiți generatorul de curent cu un circuit deschis $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ .

5) În interiorul cutiei negre din fig. 2 , numai generatorul de curent va fi păstrat activ mai întâi $I_{1}$ ${\ displaystyle I_ {1}}$ $I_1$ , înlocuind celelalte generatoare de curent cu circuite deschise și generatoarele de tensiune prezente acolo cu scurtcircuite, iar generatorul de curent va fi, de asemenea, înlocuit cu un circuit deschis $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ în aval de nodurile AB : în acest fel se va determina tensiunea $V_{I_{1}}$ ${\ displaystyle V_ {I_ {1}}}$ ${\ displaystyle V_ {I_ {1}}}$ la capetele AB datorită tălpii $I_{1}$ ${\ displaystyle I_ {1}}$ $I_1$ . Vom proceda în același mod și pentru celelalte generatoare de energie $I_{2}$ ${\ displaystyle I_ {2}}$ $I_2$ , ..., $I_{n}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$ $În}$ , fiecare dintre ele va ajuta $V_{I_{2}}$ ${\ displaystyle V_ {I_ {2}}}$ ${\ displaystyle V_ {I_ {2}}}$ , ..., $V_{I_{n}}$ ${\ displaystyle V_ {I_ {n}}}$ ${\ displaystyle V_ {I_ {n}}}$ la capetele AB , având grijă să continuați să înlocuiți generatorul de curent cu un circuit deschis $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ .

6) Deoarece la punctele 4) și 5) generatorul de curent a fost întotdeauna înlocuit cu un circuit deschis $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , suma $V_{E_{1}}$ ${\ displaystyle V_ {E_ {1}}}$ ${\ displaystyle V_ {E_ {1}}}$ + ... + $V_{E_{n}}$ ${\ displaystyle V_ {E_ {n}}}$ ${\ displaystyle V_ {E_ {n}}}$ + $V_{I_{1}}$ ${\ displaystyle V_ {I_ {1}}}$ ${\ displaystyle V_ {I_ {1}}}$ + ... + $V_{I_{n}}$ ${\ displaystyle V_ {I_ {n}}}$ ${\ displaystyle V_ {I_ {n}}}$ reprezintă tensiune $E_{0}$ ${\ displaystyle E_ {0}}$ $E_ {0}$ care se manifestă degeaba la capetele AB .

7) În cele din urmă, pentru a finaliza aplicarea principiului suprapunerii, trebuie luat în considerare generatorul de curent $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ . În acest scop, în interiorul cutiei negre din fig. 2 va înlocui toate generatoarele de tensiune cu scurtcircuite și toate generatoarele de curent cu circuite deschise și de această dată numai generatorul de curent I va fi lăsat activ . Tensiunea peste AB care este determinată datorită prezenței acestuia din urmă va fi dată de $-R_{e}I$ ${\ displaystyle -R_ {e} I}$ ${\ displaystyle -R_ {e} I}$ . Termenul $R_{e}$ ${\ displaystyle R_ {e}}$ $Rege}$ reprezintă rezistența echivalentă văzută de generatorul de curent care se uită în AB . Semnul minus derivă din faptul că, ținând cont de direcția săgeților din fig. 2 , generatorul de curent produce o tensiune pozitivă în direcția opusă față de direcția pozitivă a tensiunilor $V_{E_{1}}$ ${\ displaystyle V_ {E_ {1}}}$ ${\ displaystyle V_ {E_ {1}}}$ , ..., $V_{E_{n}}$ ${\ displaystyle V_ {E_ {n}}}$ ${\ displaystyle V_ {E_ {n}}}$ , $V_{I_{1}}$ ${\ displaystyle V_ {I_ {1}}}$ ${\ displaystyle V_ {I_ {1}}}$ , ..., $V_{I_{n}}$ ${\ displaystyle V_ {I_ {n}}}$ ${\ displaystyle V_ {I_ {n}}}$ luate în considerare la punctele 4) și 5) .

8) Rezumând toate tensiunile parțiale obținute până acum avem tensiunea $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ capetelor AB este dat de $V=E_{0}-R_{e}I$ ${\ displaystyle V = E_ {0} -R_ {e} I}$ ${\ displaystyle V = E_ {0} -R_ {e} I}$ . Această formulă nu este alta decât reprezentarea circuitului din fig. 3, care este echivalent în scopul calculării $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și de $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ la circuitul din fig.2, care la rândul său este echivalent cu circuitul din fig 1 (cvd).

În cele din urmă, atunci pentru a determina $E_{0}$ ${\ displaystyle E_ {0}}$ $E_ {0}$ ramura AB a fig. 1 și calculați tensiunea care apare între aceste noduri. Calculul poate avea loc cu oricare dintre metodele de rezolvare a circuitelor electrice (curenți de plasă, potențiale la noduri, Millman etc.) și, prin urmare, nu neapărat cu principiul suprapunerii efectelor utilizate în prezenta demonstrație. Pentru a determina $R_{e}$ ${\ displaystyle R_ {e}}$ $Rege}$ încă o dată este necesar să deschideți ramura AB din fig.1 , să anulați generatoarele de curent și tensiune din interiorul cutiei negre și să calculați rezistența care poate fi văzută în interiorul acestor noduri.

Exemplu de aplicație

Circuitul luat în considerare

Calculul tensiunii de ieșire fără sarcină

Tensiunea echivalentă Thévenin este tensiunea prezentă la bornele de ieșire AB atunci când circuitul este deschis în corespondență cu acestea.

În cazul în cauză, este recomandabil să se utilizeze principiul divizorului de tensiune : după ce a deschis circuitul la bornele AB , singurul curent care circulă este cel furnizat de generatorul de tensiune V ₁ care trece succesiv prin rezistențele R ₄ , R ₃ și R ₂ . Prin urmare, avem:

Calculul rezistenței echivalente

Circuit echivalent conform lui Thévenin

$i=V_{\mathrm {1} }/(R_{2}+R_{3}+R_{4})=3{,}75\,\mathrm {mA} \,\!$ ${\ displaystyle i = V _ {\ mathrm {1}} / (R_ {2} + R_ {3} + R_ {4}) = 3 {,} 75 \, \ mathrm {mA} \, \!}$ ${\ displaystyle i = V _ {\ mathrm {1}} / (R_ {2} + R_ {3} + R_ {4}) = 3 {,} 75 \, \ mathrm {mA} \, \!}$

$V_{\mathrm {AB} }=i(R_{2}+R_{3})={R_{2}+R_{3} \over (R_{2}+R_{3})+R_{4}}\cdot V_{\mathrm {1} }=$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {AB}} = i (R_ {2} + R_ {3}) = {R_ {2} + R_ {3} \ over (R_ {2} + R_ {3}) + R_ {4}} \ cdot V _ {\ mathrm {1}} =}$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {AB}} = i (R_ {2} + R_ {3}) = {R_ {2} + R_ {3} \ over (R_ {2} + R_ {3}) + R_ {4}} \ cdot V _ {\ mathrm {1}} =}$

$={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )+2\,\mathrm {k} \Omega }\cdot 15\,\mathrm {V} =7{,}5\,\mathrm {V}$ ${\ displaystyle = {1 \, \ mathrm {k} \ Omega +1 \, \ mathrm {k} \ Omega \ over (1 \, \ mathrm {k} \ Omega +1 \, \ mathrm {k} \ Omega ) +2 \, \ mathrm {k} \ Omega} \ cdot 15 \, \ mathrm {V} = 7 {,} 5 \, \ mathrm {V}}$ ${\ displaystyle = {1 \, \ mathrm {k} \ Omega +1 \, \ mathrm {k} \ Omega \ over (1 \, \ mathrm {k} \ Omega +1 \, \ mathrm {k} \ Omega ) +2 \, \ mathrm {k} \ Omega} \ cdot 15 \, \ mathrm {V} = 7 {,} 5 \, \ mathrm {V}}$

Rezistența echivalentă Thévenin este rezistența măsurată între punctele A și B „privind înapoi” în interiorul circuitului: este echivalentă cu rezistența pe care un curent ar vedea-o intrând în nodul A și ieșind din nodul B. Conform teoremei lui Thévenin, fiecare generator trebuie înlocuit tensiune cu un scurtcircuit și fiecare sursă de curent cu un circuit deschis. Rezistența dintre bornele AB poate fi calculată utilizând formulele pentru circuite în serie și paralele :

$R_{\mathrm {AB} }=R_{1}+\left(\left(R_{3}+R_{2}\right)\|R_{4}\right)=1\,\mathrm {k} \Omega +\left(\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right)=2\,\mathrm {k} \Omega$ ${\ displaystyle R _ {\ mathrm {AB}} = R_ {1} + \ left (\ left (R_ {3} + R_ {2} \ right) \ | R_ {4} \ right) = 1 \, \ mathrm {k} \ Omega + \ left (\ left (1 \, \ mathrm {k} \ Omega +1 \, \ mathrm {k} \ Omega \ right) \ | 2 \, \ mathrm {k} \ Omega \ dreapta) = 2 \, \ mathrm {k} \ Omega}$ ${\ displaystyle R _ {\ mathrm {AB}} = R_ {1} + \ left (\ left (R_ {3} + R_ {2} \ right) \ | R_ {4} \ right) = 1 \, \ mathrm {k} \ Omega + \ left (\ left (1 \, \ mathrm {k} \ Omega +1 \, \ mathrm {k} \ Omega \ right) \ | 2 \, \ mathrm {k} \ Omega \ dreapta) = 2 \, \ mathrm {k} \ Omega}$

Notă

^ H. Helmholtz (1853) "Über einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen Leitern mit Anwendung auf die thierisch-elektrischen Versuche", Annalen der Physik und Chemie , vol. 89, nr.6, pp. 211-233, http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k151746.image.f225.langFR
^ L. Thévenin (1883) "Extension de la loi d'Ohm aux circuits électromoteurs complexes", Annales Télégraphiques (Troisieme série), vol. 10, pp. 222-224. Reeditat ca: L. Thévenin (1883) "Sur un nouveau théorème d'électricité dynamique", Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences , vol. 97, pp. 159–161.
^ Don H. Johnson (aprilie 2003) „Conceptul de circuit echivalent: echivalentul sursă de tensiune”, Proceedings of the IEEE , vol. 91, nr.4, pp. 636-640, http://www.ece.rice.edu/~dhj/paper1.pdf
^ Alexander și Sadiku, 2008 , p. 124 .
^ ^a ^b ^c Alexander și Sadiku, 2008 , p. 133.
^ Alexander și Sadiku, 2008 , p. 134 .
^ Alexander și Sadiku, 2008 , p. 393 .

Bibliografie

Charles K. Alexander și Matthew NO Sadiku, Circuite electrice , editat de Carmelo Gerardi și Paolo Gubian, ediția a 3-a, McGraw-Hill Education , 1 iunie 2008, ISBN 8838664218 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre teorema lui Thevenin

linkuri externe

Origini ale conceptului de circuit echivalent ( PDF ), la tcts.fpms.ac.be. Adus la 28 noiembrie 2004 (arhivat din original la 27 septembrie 2007) .
Teorema lui Thevenin în allaboutcircuits.com , pe allaboutcircuits.com .

Portal electrotehnic

Portalul de fizică

[1] H. Helmholtz (1853) "Über einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen Leitern mit Anwendung auf die thierisch-elektrischen Versuche", Annalen der Physik und Chemie , vol. 89, nr.6, pp. 211-233, http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k151746.image.f225.langFR

[2] L. Thévenin (1883) "Extension de la loi d'Ohm aux circuits électromoteurs complexes", Annales Télégraphiques (Troisieme série), vol. 10, pp. 222-224. Reeditat ca: L. Thévenin (1883) "Sur un nouveau théorème d'électricité dynamique", Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences , vol. 97, pp. 159–161.

[3] Don H. Johnson (aprilie 2003) „Conceptul de circuit echivalent: echivalentul sursă de tensiune”, Proceedings of the IEEE , vol. 91, nr.4, pp. 636-640, http://www.ece.rice.edu/~dhj/paper1.pdf

[4] Alexander și Sadiku, 2008 , p. 124 .

[:0-5] Alexander și Sadiku, 2008 , p. 133.

[6] Alexander și Sadiku, 2008 , p. 134 .

[7] Alexander și Sadiku, 2008 , p. 393 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]