Teorema lui Weyl (algebră liniară)

În algebra liniară , teorema lui Weyl , numită și inegalitatea lui Weyl sau teorema de monotonicitate a lui Weyl , caracterizează valorile proprii ale matricii de sumă a două matrice hermitiene .

Afirmație

Lasa-i sa fie $\mathrm {A}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ mathrm {A}}$ Și $\mathrm {B}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$ ${\ mathrm {B}}$ două matrice hermitiene $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ cu valori proprii $\lambda _{1}\leq ...\leq \lambda _{n}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ leq ... \ leq \ lambda _ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ leq ... \ leq \ lambda _ {n}}$ Și $\mu _{1}\leq ...\leq \mu _{n}$ ${\ displaystyle \ mu _ {1} \ leq ... \ leq \ mu _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {1} \ leq ... \ leq \ mu _ {n}}$ respectiv. Lasa-i sa fie $\gamma _{1}\leq \dots \leq \gamma _{n}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ leq \ dots \ leq \ gamma _ {n}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ leq \ dots \ leq \ gamma _ {n}}$ valorile proprii ale matricei $\mathrm {A} +\mathrm {B}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A} + \ mathrm {B}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A} + \ mathrm {B}}$ , avem:

\lambda _{j}+\mu _{k-j+1}\leq \gamma _{k}\leq \lambda _{i}+\mu _{n-i+k}\qquad \forall k\leq n

{\ displaystyle \ lambda _ {j} + \ mu _ {k-j + 1} \ leq \ gamma _ {k} \ leq \ lambda _ {i} + \ mu _ {n-i + k} \ qquad \ forall k \ leq n}

{\ displaystyle \ lambda _ {j} + \ mu _ {k-j + 1} \ leq \ gamma _ {k} \ leq \ lambda _ {i} + \ mu _ {n-i + k} \ qquad \ forall k \ leq n}

pentru $1\leq j\leq k\leq i\leq n$ ${\ displaystyle 1 \ leq j \ leq k \ leq i \ leq n}$ ${\ displaystyle 1 \ leq j \ leq k \ leq i \ leq n}$ .

Demonstrație

Luați în considerare următoarele diagonalizări :

\mathrm {A} =\mathrm {U\Lambda U} ^{H}\qquad \mathrm {B} =\mathrm {VMV} ^{H}\qquad \mathrm {A} +\mathrm {B} =\mathrm {W\Gamma W} ^{H}

{\ displaystyle \ mathrm {A} = \ mathrm {U \ Lambda U} ^ {H} \ qquad \ mathrm {B} = \ mathrm {VMV} ^ {H} \ qquad \ mathrm {A} + \ mathrm {B } = \ mathrm {W \ Gamma W} ^ {H}}

{\ displaystyle \ mathrm {A} = \ mathrm {U \ Lambda U} ^ {H} \ qquad \ mathrm {B} = \ mathrm {VMV} ^ {H} \ qquad \ mathrm {A} + \ mathrm {B } = \ mathrm {W \ Gamma W} ^ {H}}

unde este $\mathrm {U}$ ${\ displaystyle \ mathrm {U}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {U}}$ , $\mathrm {V}$ ${\ displaystyle \ mathrm {V}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {V}}$ Și $\mathrm {W}$ ${\ displaystyle \ mathrm {W}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {W}}$ sunt unitare . Spus $\mathbf {u} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {i}}$ ${\ mathbf {u}} _ {i}$ , $\mathbf {v} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}$ ${\ mathbf {v}} _ {i}$ Și $\mathbf {w} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} _ {i}}$ coloanele din $\mathrm {U}$ ${\ displaystyle \ mathrm {U}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {U}}$ , $\mathrm {V}$ ${\ displaystyle \ mathrm {V}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {V}}$ Și $\mathrm {W}$ ${\ displaystyle \ mathrm {W}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {W}}$ , ia în considerare spațiile:

{\mathcal {U}}=\langle \mathbf {u} _{j},\dots ,\mathbf {u} _{n}\rangle

{\ displaystyle {\ mathcal {U}} = \ langle \ mathbf {u} _ {j}, \ dots, \ mathbf {u} _ {n} \ rangle}

{\ displaystyle {\ mathcal {U}} = \ langle \ mathbf {u} _ {j}, \ dots, \ mathbf {u} _ {n} \ rangle}

{\mathcal {V}}=\langle \mathbf {v} _{k-j+1},\dots ,\mathbf {v} _{n}\rangle

{\ displaystyle {\ mathcal {V}} = \ langle \ mathbf {v} _ {k-j + 1}, \ dots, \ mathbf {v} _ {n} \ rangle}

{\ displaystyle {\ mathcal {V}} = \ langle \ mathbf {v} _ {k-j + 1}, \ dots, \ mathbf {v} _ {n} \ rangle}

{\mathcal {W}}=\langle \mathbf {w} _{1},\dots ,\mathbf {w} _{k}\rangle

{\ displaystyle {\ mathcal {W}} = \ langle \ mathbf {w} _ {1}, \ dots, \ mathbf {w} _ {k} \ rangle}

{\ displaystyle {\ mathcal {W}} = \ langle \ mathbf {w} _ {1}, \ dots, \ mathbf {w} _ {k} \ rangle}

cu $j\leq k\leq i$ ${\ displaystyle j \ leq k \ leq i}$ ${\ displaystyle j \ leq k \ leq i}$ reparați-vă. Aplicând formula de mărime obținem:

\dim \left({\mathcal {U}}\cap {\mathcal {V}}\cap {\mathcal {W}}\right)=1

{\ displaystyle \ dim \ left ({\ mathcal {U}} \ cap {\ mathcal {V}} \ cap {\ mathcal {W}} \ right) = 1}

{\ displaystyle \ dim \ left ({\ mathcal {U}} \ cap {\ mathcal {V}} \ cap {\ mathcal {W}} \ right) = 1}

Apoi, există un vector $\mathbf {z} \in {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {V}}\cap {\mathcal {W}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} \ in {\ mathcal {U}} \ cap {\ mathcal {V}} \ cap {\ mathcal {W}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z} \ in {\ mathcal {U}} \ cap {\ mathcal {V}} \ cap {\ mathcal {W}}}$ în mod normal euclidian :

\left\|\mathbf {z} \right\|_{2}=1\qquad \mathbf {z} \in \mathrm {U}

{\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {z} \ right \ | _ {2} = 1 \ qquad \ mathbf {z} \ in \ mathrm {U}}

{\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {z} \ right \ | _ {2} = 1 \ qquad \ mathbf {z} \ in \ mathrm {U}}

prin urmare:

\mathbf {z} =\alpha _{j}\mathbf {u} _{j}+\dots +\alpha _{n}\mathbf {u} _{n}

{\ displaystyle \ mathbf {z} = \ alpha _ {j} \ mathbf {u} _ {j} + \ dots + \ alpha _ {n} \ mathbf {u} _ {n}}

{\ displaystyle \ mathbf {z} = \ alpha _ {j} \ mathbf {u} _ {j} + \ dots + \ alpha _ {n} \ mathbf {u} _ {n}}

cu $\alpha _{i}\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} \ in \ mathbb {C}}$ . De asemenea, având în vedere că $\mathrm {U}$ ${\ displaystyle \ mathrm {U}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {U}}$ este unitar și că $\left\|\mathbf {z} \right\|_{2}=1$ ${\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {z} \ right \ | _ {2} = 1}$ ${\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {z} \ right \ | _ {2} = 1}$ :