Teoria detectării semnalului

Teoria de detecție a semnalului sau teoria de detecție este o metodă de cuantificare a capacității de a distinge, într - un semnal, semnalul real , care transportă informații de zgomot.
Începuturile cercetării au fost efectuate de către radar tehnicieni ^[1] . Teoria cu privire la aspectele psihologice a văzut primele publicații de Wilson P. Tallner și John A. Swets în 1954 ^[2] .

Utilizări

Teoria este aplicată pe diferite domenii , cum ar fi diferitele tipuri de diagnosticare , în care este esențial pentru a primi un semnal precis și curat, pe de control al calității , în domeniul telecomunicațiilor și în psihologie . Ideea este similar cu cel care stă la baza raportului semnal / zgomot utilizat în domenii științifice și este , de asemenea , utilizat în domeniul de alarmă de management în care este important ca aparatul distinge în mod eficient numai stimulii corecte.

Formalizare

Începând cu o observație $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , în cazul în care trebuie luată o decizie între cele două ipoteze:

$H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$ nici un semnal,
$H_{1}$ ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ semnal prezent

Pentru a aplica teoria detectării unui set de date în care semnalele sunt prezente și absente, iar observatorul trebuie să identifice, în fiecare test, prezența sau absența semnalului, savanții au schematizat diferitele situații care pot arăta sus

	Răspuns „Fără semnal”	Răspuns „Semnal prezent”
Semnal prezent	Semnalul nu a fost dezvăluit	Semnal primit
Nici un semnal	Reacție corectă	Alarma falsa

Politica MAP

Abordarea clasică este de a alege $H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$ cand $p(H_{0}|y)>p(H_{1}|y)$ ${\ displaystyle p (H_ {0} | y)> p (H_ {1} | y)}$ ${\ displaystyle p (H_ {0} | y)> p (H_ {1} | y)}$ Și $H_{1}$ ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ în caz contrar ^[3] . De obicei, ceea ce se știe sunt probabilitățile condiționale, $p(y|H_{0})$ ${\ displaystyle p (y | H_ {0})}$ ${\ displaystyle p (y | H_ {0})}$ Și $p(y|H_{1})$ ${\ displaystyle p (y | H_ {1})}$ ${\ displaystyle p (y | H_ {1})}$ , și probabilitățile a priori $p(H_{0})=\pi _{0}$ ${\ displaystyle p (H_ {0}) = \ pi _ {0}}$ ${\ displaystyle p (H_ {0}) = \ pi _ {0}}$ Și $p(H_{1})=\pi _{1}$ ${\ displaystyle p (H_ {1}) = \ pi _ {1}}$ ${\ displaystyle p (H_ {1}) = \ pi _ {1}}$ . Prin urmare, prin teorema lui Bayes :

p(H_{0}|y)={\frac {p(y|H_{0})\cdot \pi _{0}}{p(y)}}

{\ displaystyle p (H_ {0} | y) = {\ frac {p (y | H_ {0}) \ cdot \ pi _ {0}} {p (y)}}}

{\ displaystyle p (H_ {0} | y) = {\ frac {p (y | H_ {0}) \ cdot \ pi _ {0}} {p (y)}}}

,

p(H_{1}|y)={\frac {p(y|H_{1})\cdot \pi _{1}}{p(y)}}

{\ displaystyle p (H_ {1} | y) = {\ frac {p (y | H_ {1}) \ cdot \ pi _ {1}} {p (y)}}}

{\ displaystyle p (H_ {1} | y) = {\ frac {p (y | H_ {1}) \ cdot \ pi _ {1}} {p (y)}}}

unde p (y) este probabilitatea totală a evenimentului y,

p(y)=p(y|H_{0})\cdot \pi _{0}+p(y|H_{1})\cdot \pi _{1}

{\ displaystyle p (y) = p (y | H_ {0}) \ cdot \ pi _ {0} + p (y | H_ {1}) \ cdot \ pi _ {1}}

{\ displaystyle p (y) = p (y | H_ {0}) \ cdot \ pi _ {0} + p (y | H_ {1}) \ cdot \ pi _ {1}}

.

$H_{1}$ ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ este alegerea făcută în caz

{\frac {p(y|H_{1})\cdot \pi _{1}}{p(y|H_{0})\cdot \pi _{0}+p(y|H_{1})\cdot \pi _{1}}}\geq {\frac {p(y|H_{0})\cdot \pi _{0}}{p(y|H_{0})\cdot \pi _{0}+p(y|H_{1})\cdot \pi _{1}}}\Rightarrow {\frac {p(y|H_{1})}{p(y|H_{0})}}\geq {\frac {\pi _{0}}{\pi _{1}}}

{\ displaystyle {\ frac {p (y | H_ {1}) \ cdot \ pi _ {1}} {p (y | H_ {0}) \ cdot \ pi _ {0} + p (y | H_ { 1}) \ cdot \ pi _ {1}}} \ geq {\ frac {p (y | H_ {0}) \ cdot \ pi _ {0}} {p (y | H_ {0}) \ cdot \ pi _ {0} + p (y | H_ {1}) \ cdot \ pi _ {1}}} \ Rightarrow {\ frac {p (y | H_ {1})} {p (y | H_ {0} )}} \ geq {\ frac {\ pi _ {0}} {\ pi _ {1}}}}

{\ displaystyle {\ frac {p (y | H_ {1}) \ cdot \ pi _ {1}} {p (y | H_ {0}) \ cdot \ pi _ {0} + p (y | H_ { 1}) \ cdot \ pi _ {1}}} \ geq {\ frac {p (y | H_ {0}) \ cdot \ pi _ {0}} {p (y | H_ {0}) \ cdot \ pi _ {0} + p (y | H_ {1}) \ cdot \ pi _ {1}}} \ Rightarrow {\ frac {p (y | H_ {1})} {p (y | H_ {0} )}} \ geq {\ frac {\ pi _ {0}} {\ pi _ {1}}}}

Și $H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$ pe de altă parte.

Adesea, relația ${\frac {\pi _{1}}{\pi _{0}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi _ {1}} {\ pi _ {0}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi _ {1}} {\ pi _ {0}}}}$ este indicat cu simbolul $\tau _{MAP}$ ${\ displaystyle \ tau _ {MAP}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {MAP}}$ și relația $L(y)={\frac {p(y|H_{1})}{p(y|H_{0})}}$ ${\ displaystyle L (y) = {\ frac {p (y | H_ {1})} {p (y | H_ {0})}}}$ ${\ displaystyle L (y) = {\ frac {p (y | H_ {1})} {p (y | H_ {0})}}}$ aceasta se numește raportul risc .

Folosind această terminologie, $H_{1}$ ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ se alege în caz $L(y)\geq \tau _{MAP}$ ${\ displaystyle L (y) \ geq \ tau _ {MAP}}$ ${\ displaystyle L (y) \ geq \ tau _ {MAP}}$ .

Acest criteriu se numește „Criteriul maxim de probabilitate posterioară A” (MAP).

Criteriul Bayes

În unele cazuri, este mai important să răspundem în mod adecvat în ipoteză $H_{1}$ ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ decât este în ipoteză $H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$ . De exemplu, dacă încercați să detectați prezența unui bombardier care poartă o armă nucleară , este mult mai important să doborâți bombardierul dacă este prezent decât să trimiteți un escadron de avioane de vânătoare pentru a inspecta o alarmă falsă (presupunând că o disponibilitate ridicată de escadrile de avioane de luptă). Bayes criteriu este o abordare utilă pentru aceste cazuri ^[3] .

O măsură de utilitate este asociată cu fiecare dintre următoarele patru situații:

$U_{11}$ ${\ displaystyle U_ {11}}$ ${\ displaystyle U_ {11}}$ : Se răspunde în mod adecvat la $H_{1}$ ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ și $H_{1}$ ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ adevărat (avionul de luptă distruge bombardierul);
$U_{10}$ ${\ displaystyle U_ {10}}$ ${\ displaystyle U_ {10}}$ : Se răspunde în mod adecvat la $H_{1}$ ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ dar $H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$ este adevărat: avioanele de vânătoare sunt trimise în zadar
$U_{01}$ ${\ displaystyle U_ {01}}$ ${\ displaystyle U_ {01}}$ : Se răspunde în mod adecvat la $H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$ dar $H_{1}$ ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ este adevărat: bombardierul distruge orașul fără a fi detectat;
$U_{00}$ ${\ displaystyle U_ {00}}$ ${\ displaystyle U_ {00}}$ : Se răspunde în mod adecvat la $H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$ Și $H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$ este adevărat: avioanele de luptă nu sunt trimise și bombardierul nu se află în zona controlată;

După cum se arată, ceea ce contează sunt diferențele $U_{11}-U_{01}$ ${\ displaystyle U_ {11} -U_ {01}}$ ${\ displaystyle U_ {11} -U_ {01}}$ Și $U_{00}-U_{10}$ ${\ displaystyle U_ {00} -U_ {10}}$ ${\ displaystyle U_ {00} -U_ {10}}$ .

În mod similar, există patru probabilități $P_{11}$ ${\ displaystyle P_ {11}}$ ${\ displaystyle P_ {11}}$ , $P_{10}$ ${\ displaystyle P_ {10}}$ ${\ displaystyle P_ {10}}$ , etc., pentru fiecare dintre cazuri (care depind de strategia de decizie specifică).

Abordarea criteriului Bayes este de a maximiza utilitatea așteptată:

U=P_{11}\cdot U_{11}+P_{01}\cdot U_{01}+P_{10}\cdot U_{10}+P_{00}\cdot U_{00}

{\ displaystyle U = P_ {11} \ cdot U_ {11} + P_ {01} \ cdot U_ {01} + P_ {10} \ cdot U_ {10} + P_ {00} \ cdot U_ {00}}

{\ displaystyle U = P_ {11} \ cdot U_ {11} + P_ {01} \ cdot U_ {01} + P_ {10} \ cdot U_ {10} + P_ {00} \ cdot U_ {00}}

U=P_{11}\cdot U_{11}+(1-P_{11})\cdot U_{01}+P_{10}\cdot U_{10}+(1-P_{10})\cdot U_{00}

{\ displaystyle U = P_ {11} \ cdot U_ {11} + (1-P_ {11}) \ cdot U_ {01} + P_ {10} \ cdot U_ {10} + (1-P_ {10}) \ cdot U_ {00}}

{\ displaystyle U = P_ {11} \ cdot U_ {11} + (1-P_ {11}) \ cdot U_ {01} + P_ {10} \ cdot U_ {10} + (1-P_ {10}) \ cdot U_ {00}}

U=U_{01}+U_{00}+P_{11}\cdot (U_{11}-U_{01})-P_{10}\cdot (U_{00}-U_{10})

{\ displaystyle U = U_ {01} + U_ {00} + P_ {11} \ cdot (U_ {11} -U_ {01}) - P_ {10} \ cdot (U_ {00} -U_ {10}) }

{\ displaystyle U = U_ {01} + U_ {00} + P_ {11} \ cdot (U_ {11} -U_ {01}) - P_ {10} \ cdot (U_ {00} -U_ {10}) }

Apoi, suma poate fi maximizată

U'=P_{11}\cdot (U_{11}-U_{01})-P_{10}\cdot (U_{00}-U_{10})

{\ displaystyle U '= P_ {11} \ cdot (U_ {11} -U_ {01}) - P_ {10} \ cdot (U_ {00} -U_ {10})}

{\ displaystyle U '= P_ {11} \ cdot (U_ {11} -U_ {01}) - P_ {10} \ cdot (U_ {00} -U_ {10})}

,

și prin următoarele înlocuiri

P_{11}=\pi _{1}\cdot \int _{R_{1}}p(y|H_{1})\,dy

{\ displaystyle P_ {11} = \ pi _ {1} \ cdot \ int _ {R_ {1}} p (y | H_ {1}) \, dy}

{\ displaystyle P_ {11} = \ pi _ {1} \ cdot \ int _ {R_ {1}} p (y | H_ {1}) \, dy}

P_{10}=\pi _{0}\cdot \int _{R_{1}}p(y|H_{0})\,dy

{\ displaystyle P_ {10} = \ pi _ {0} \ cdot \ int _ {R_ {1}} p (y | H_ {0}) \, dy}

{\ displaystyle P_ {10} = \ pi _ {0} \ cdot \ int _ {R_ {1}} p (y | H_ {0}) \, dy}

in care $\pi _{1}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1}}$ Și $\pi _{2}$ ${\ displaystyle \ pi _ {2}}$ $\ pi _ {2}$ sunt a priori probabilitățile $P(H1)$ ${\ displaystyle P (H1)}$ ${\ displaystyle P (H1)}$ Și $P(H2)$ ${\ displaystyle P (H2)}$ ${\ displaystyle P (H2)}$ , Și $R_{1}$ ${\ displaystyle R_ {1}}$ $R_ {1}$ este regiunea de decizie a evenimentelor sub observație, y, care este corect răspuns în cazul $H_{1}$ ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ fii adevărat.

\Rightarrow U'=\int _{R_{1}}\left\{\pi _{1}\cdot (U_{11}-U_{01})\cdot p(y|H_{1})-\pi _{0}\cdot (U_{00}-U_{10})\cdot p(y|H_{0})\right\}\,dy

{\ displaystyle \ Rightarrow U '= \ int _ {R_ {1}} \ left \ {\ pi _ {1} \ cdot (U_ {11} -U_ {01}) \ cdot p (y | H_ {1} ) - \ pi _ {0} \ cdot (U_ {00} -U_ {10}) \ cdot p (y | H_ {0}) \ right \} \, dy}

{\ displaystyle \ Rightarrow U '= \ int _ {R_ {1}} \ left \ {\ pi _ {1} \ cdot (U_ {11} -U_ {01}) \ cdot p (y | H_ {1} ) - \ pi _ {0} \ cdot (U_ {00} -U_ {10}) \ cdot p (y | H_ {0}) \ right \} \, dy}

$U^{'}$ ${\ displaystyle U '}$ ${\ displaystyle U '}$ prin urmare $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ sunt maximizate prin extindere $R_{1}$ ${\ displaystyle R_ {1}}$ $R_ {1}$ pe regiunea în care

$\pi _{1}\cdot (U_{11}-U_{01})\cdot p(y|H1)-\pi _{0}\cdot (U_{00}-U_{10})\cdot p(y|H_{0})>0$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} \ cdot (U_ {11} -U_ {01}) \ cdot p (y | H1) - \ pi _ {0} \ cdot (U_ {00} -U_ {10}) \ cdot p (y | H_ {0})> 0}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} \ cdot (U_ {11} -U_ {01}) \ cdot p (y | H1) - \ pi _ {0} \ cdot (U_ {00} -U_ {10}) \ cdot p (y | H_ {0})> 0}$

Acest lucru se realizează alegând $H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$ in caz

\pi _{0}\cdot (U_{00}-U_{10})\cdot p(y|H_{0})\geq \pi _{1}\cdot (U_{11}-U_{01})\cdot p(y|H1)

{\ displaystyle \ pi _ {0} \ cdot (U_ {00} -U_ {10}) \ cdot p (y | H_ {0}) \ geq \ pi _ {1} \ cdot (U_ {11} -U_ {01}) \ cdot p (y | H1)}

{\ displaystyle \ pi _ {0} \ cdot (U_ {00} -U_ {10}) \ cdot p (y | H_ {0}) \ geq \ pi _ {1} \ cdot (U_ {11} -U_ {01}) \ cdot p (y | H1)}

\Rightarrow L(y)\equiv {\frac {p(y|H_{0})}{p(y|H_{1})}}\geq {\frac {\pi _{1}\cdot (U_{11}-U_{01})}{\pi _{0}\cdot (U_{00}-U_{10})}}\equiv \tau _{B}

{\ displaystyle \ Rightarrow L (y) \ equiv {\ frac {p (y | H_ {0})} {p (y | H_ {1})}} \ geq {\ frac {\ pi _ {1} \ cdot (U_ {11} -U_ {01})} {\ pi _ {0} \ cdot (U_ {00} -U_ {10})}} \ equiv \ tau _ {B}}

{\ displaystyle \ Rightarrow L (y) \ equiv {\ frac {p (y | H_ {0})} {p (y | H_ {1})}} \ geq {\ frac {\ pi _ {1} \ cdot (U_ {11} -U_ {01})} {\ pi _ {0} \ cdot (U_ {00} -U_ {10})}} \ equiv \ tau _ {B}}

Și $H_{1}$ ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_1$ altfel, în care $L(y)$ ${\ displaystyle L (y)}$ ${\ displaystyle L (y)}$ este așa-numitul raport risc .

Aplicații în psihologie

Teoria detectării semnalului, în engleză SDT (Signal Detection Theory) este folosită de psihologi ori de câte ori trebuie să măsoare modul în care un subiect ia decizii în condiții de incertitudine, de exemplu în studiul estimărilor în evaluarea distanței în caz de ceață. Teoria, pe lângă descrierea unui număr de determinanți psihologici ai modului în care este posibilă localizarea și purificarea semnalului, descrie și modul în care sunt modificate diferitele praguri de percepție, care sunt influențate de factori precum așteptarea, experiența, starea psihologică (de exemplu o santinelă în timp de război va putea probabil să capteze un sunet mai îndepărtat și mai îndepărtat decât unul în timp de pace).
SDT stabilește că subiectul care ia decizia nu se comportă ca un receptor pasiv de informații, ci ca un „factor de decizie” activ care elaborează judecăți complicate în condiții de incertitudine și reelaborează datele primite de acesta. În caz de ceață, subiectul este obligat să decidă cât de departe este un anumit obiect de la el, bazându-se exclusiv pe un semnal, care vine din vedere, în care există un zgomot (ceață) care modifică percepția inițială. Deoarece creierul folosește luminozitatea obiectelor, cum ar fi luminile de la semafoare, pentru a evalua distanța obiectului, ceața, prin scăderea luminozității, face ca lumina să pară mult mai îndepărtată decât este.

Sensibilitate sau capacitate de discriminare

În esență, sensibilitatea se referă la cât de simplu sau dificil este de la fața locului un semnal specific în fundal. De exemplu, atunci când studiați, este mai ușor să vă amintiți cuvintele care au fost văzute sau auzite înainte. În schimb, amintirea a 30 de cuvinte este mai dificilă decât amintirea a 5 și face discriminarea mai dificilă.
Una dintre metodele statistice cele mai utilizate pentru calcularea sensibilității este „d test, dar măsurătorile fără parametri sunt , de asemenea , utilizate.

Prejudiciul

Bias este măsura în care un răspuns este mai probabil decât altul. De exemplu, un receptor poate răspunde mai mult la preluarea semnalului sau nu la preluarea acestuia, indiferent de prezența sa reală. De exemplu, dacă există o penalizare pentru receptor atunci când acesta nu observă prezența semnalului sau când produce o alarmă falsă, acest lucru poate afecta vătămarea; dacă semnalul este o bombă și, prin urmare, în cazul unui „semnal pierdut” poate crește considerabil probabilitatea de deces, este normală o tendință de „falsă alarmă”. Dimpotrivă, alarmele false prea frecvente tind, în timp, să schimbe oamenii, cu prejudecăți față de „Semnalul pierdut”.

Notă

^ A se vedea Marcum , p. 90
^ A se vedea Wilson și Tanner , p. 401 - 409
^ ^A ^b Schonhoff, TA și Giordano, AA (2006) Teoria de detectare și Estimarea și aplicațiile sale. New Jersey: Pearson Education ( ISBN 0-13-089499-0 )

Bibliografie

Gaetano Scarano, Semnale, procese aleatoare, Evaluare, Roma, Sapienza - Universitatea din Roma, 2009.

(EN) Steven M. Kay, Bazele statistice Signal Processing: Teoria Detection.

(RO) JI Marcum, o teorie statistică a Detectarea țintă prin pulsata radar , în Memorandumul de cercetare, 1947. Adus de 28 iunie 2009.

(RO) Wilson P. Tanner Jr., John A. Swets, în procesul decizional teoria de detecție vizuală. , In Psychological Review. , vol. 61, nr. 6, 1954-11. Adus la 24 iunie 2009 .

Elemente conexe

Portal de inginerie

Portalul de matematică

Portalul psihologiei

[1] A se vedea Marcum , p. 90

[2] A se vedea Wilson și Tanner , p. 401 - 409

[Schonhoff-3] A ^b Schonhoff, TA și Giordano, AA (2006) Teoria de detectare și Estimarea și aplicațiile sale. New Jersey: Pearson Education ( ISBN 0-13-089499-0 )

[1]

[2]

[3]