Transformarea antiliniară

În matematică spunem transformare antiliniară, aplicație antiliniară , funcție antiliniară, hartă antiliniară sau operator antiliniar o transformare $f:V\to W$ ${\ displaystyle f: V \ to W}$ $f: V \ to W$ dintr-un spațiu vectorial pe complexe într-un al doilea spațiu de același tip dacă:

f(a\mathbf {x} +b\mathbf {y} )={\bar {a}}f(\mathbf {x} )+{\bar {b}}f(\mathbf {y} )\qquad \forall a,b\in \mathbb {C} \quad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V

{\ displaystyle f (a \ mathbf {x} + b \ mathbf {y}) = {\ bar {a}} f (\ mathbf {x}) + {\ bar {b}} f (\ mathbf {y} ) \ qquad \ forall a, b \ in \ mathbb {C} \ quad \ forall \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ in V}

{\ displaystyle f (a \ mathbf {x} + b \ mathbf {y}) = {\ bar {a}} f (\ mathbf {x}) + {\ bar {b}} f (\ mathbf {y} ) \ qquad \ forall a, b \ in \ mathbb {C} \ quad \ forall \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ in V}

unde este ${\bar {a}}$ ${\ displaystyle {\ bar {a}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {a}}}$ este conjugatul complex al lui $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ .

Aceste entități sunt uneori numite transformare liniară conjugată și transformare semiliniară .

Dacă împreună cu precedentul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ considerăm o a doua transformare antiliniară $g:W\to X$ ${\ displaystyle g: W \ to X}$ ${\ displaystyle g: W \ to X}$ ceea ce duce la un al treilea spațiu vectorial pe complexe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , compoziția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ cu $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este o transformare liniară complexă $g\circ f:V\rightarrow X$ ${\ displaystyle g \ circ f: V \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle g \ circ f: V \ rightarrow X}$ .

O transformare antiliniară $f:V\to W$ ${\ displaystyle f: V \ to W}$ ${\ displaystyle f: V \ to W}$ este echivalent cu o astfel de transformare liniară ${\bar {f}}:V\to {\bar {W}}$ ${\ displaystyle {\ bar {f}}: V \ to {\ bar {W}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {f}}: V \ to {\ bar {W}}}$ ceea ce duce la spațiul vectorial complex conjugat ${\bar {W}}$ ${\ displaystyle {\ bar {W}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {W}}}$ .

Pentru un operator antiliniar, definiția adunării este diferită de cea obișnuită:

(\mathbf {x} ,f^{+}\mathbf {y} )=(f\mathbf {x} ,\mathbf {y} )^{*}=(\mathbf {y} ,f\mathbf {x} )

{\ displaystyle (\ mathbf {x}, f ^ {+} \ mathbf {y}) = (f \ mathbf {x}, \ mathbf {y}) ^ {*} = (\ mathbf {y}, f \ mathbf {x})}

{\ displaystyle (\ mathbf {x}, f ^ {+} \ mathbf {y}) = (f \ mathbf {x}, \ mathbf {y}) ^ {*} = (\ mathbf {y}, f \ mathbf {x})}

unde operatorul este corect antiliniar $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ Și $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ .

Bibliografie

( EN ) Horn și Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 . (hărțile antiliniare sunt discutate în secțiunea 4.6).
(EN) Budinich, P. și Trautman, A. The Spinorial Chessboard. Spinger-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (hărțile antiliniare sunt discutate în secțiunea 3.3).

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică