Darboux Vector

În geometria diferențială , în special în teoria curbelor în spațiu, vectorul Darboux este vectorul vitezei unghiulare în cadrul de referință Frenet al unei curbe în spațiu. ^[1] Numit după creatorul său Gaston Darboux . ^[2] Se mai numește vectorul momentului unghiular, deoarece este direct proporțional cu impulsul unghiular .

În ceea ce privește formulele Frenet-Serret, vectorul Darboux ω poate fi exprimat cu ^[3]

{\boldsymbol {\omega }}=\tau \mathbf {T} +\kappa \mathbf {B} \qquad \qquad (1)

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ tau \ mathbf {T} + \ kappa \ mathbf {B} \ qquad \ qquad (1)}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ tau \ mathbf {T} + \ kappa \ mathbf {B} \ qquad \ qquad (1)}

și are următoarele proprietăți de simetrie ^[2]

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {T} &=\mathbf {T} '\\{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {N} &=\mathbf {N} '\\{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {B} &=\mathbf {B} '\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {T} & = \ mathbf {T} '\\ {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {N} & = \ mathbf {N} '\\ {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {B} & = \ mathbf {B}' \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {T} & = \ mathbf {T} '\\ {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {N} & = \ mathbf {N} '\\ {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {B} & = \ mathbf {B}' \ end {align}}}

care poate fi extrapolat din ecuația (1) prin intermediul teoremei Frenet-Serret (sau invers).

Un corp rigid se deplasează de-a lungul unei curbe regulate descrise de o funcție parametrică β ( t ). Acest corp rigid are propriul său sistem de coordonate intrinsec. Pe măsură ce corpul se mișcă de-a lungul curbei, păstrăm sistemul de coordonate intrinsec aliniat cu referința Frenet a curbei.

În acest sens, mișcarea corpului va fi descrisă de doi vectori: un vector de translație și un vector de rotație $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ : care este vectorul vitezei areolare: vectorul Darboux.

Rețineți că această rotație este mai degrabă cinematică decât fizică, deoarece atunci când un corp rigid se mișcă liber în spațiu rotația sa este de obicei independentă de translația sa. Excepția ar fi dacă rotația corpului ar fi constrânsă fizic să se alinieze cu translația sa, ca în cazul unei cărucioare cu role.

Să luăm în considerare corpul rigid care se mișcă lin de-a lungul unei curbe netede. Odată ce traducerea este adusă laolaltă, corpul este văzut rotind pe măsură ce referința sa Frenet se rotește. Rotația totală a referinței Frenet este combinația rotațiilor fiecăruia dintre cei trei vectori Frenet:

{\boldsymbol {\omega }}={\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {T} }+{\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {N} }+{\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {B} }

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {T}} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {N}} + {\ boldsymbol { \ omega}} _ {\ mathbf {B}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {T}} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {N}} + {\ boldsymbol { \ omega}} _ {\ mathbf {B}}}

Fiecare vector Frenet se rotește în jurul unei origini care este centrul corpului rigid (orice punct din corpul rigid numit centru). Viteza areolară a vectorului tangent este:

{\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {T} }=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {T} (t)\times \mathbf {T} (t+\Delta t)}{2\Delta t}}={\frac {1}{2}}\mathbf {T} (t)\times \mathbf {T} '(t)

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {T}} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ mathbf {T} (t) \ times \ mathbf {T} (t + \ Delta t)} {2 \ Delta t}} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {T} (t) \ times \ mathbf {T} '(t)}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {T}} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ mathbf {T} (t) \ times \ mathbf {T} (t + \ Delta t)} {2 \ Delta t}} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {T} (t) \ times \ mathbf {T} '(t)}

În mod similar

{\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {N} }=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {N} (t)\times {\mathbf {N} (t+\Delta t)}}{2\Delta t}}={\frac {1}{2}}\mathbf {N} (t)\times \mathbf {N} '(t)

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {N}} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ mathbf {N} (t) \ times {\ mathbf {N } (t + \ Delta t)}} {2 \ Delta t}} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {N} (t) \ times \ mathbf {N} '(t)}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {N}} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ mathbf {N} (t) \ times {\ mathbf {N } (t + \ Delta t)}} {2 \ Delta t}} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {N} (t) \ times \ mathbf {N} '(t)}

{\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {B} }=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {B} (t)\times {\mathbf {B} (t+\Delta t)}}{2\Delta t}}={\frac {1}{2}}\mathbf {B} (t)\times \mathbf {B} '(t)

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {B}} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ mathbf {B} (t) \ times {\ mathbf {B } (t + \ Delta t)}} {2 \ Delta t}} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {B} (t) \ times \ mathbf {B} '(t)}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {B}} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ mathbf {B} (t) \ times {\ mathbf {B } (t + \ Delta t)}} {2 \ Delta t}} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {B} (t) \ times \ mathbf {B} '(t)}

Acum aplicați teorema Frenet-Serret pentru a determina componentele vitezei areolare:

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {T} }={\frac {1}{2}}\mathbf {T} \times \mathbf {T} '&={\frac {1}{2}}\kappa \mathbf {T} \times \mathbf {N} ={\frac {1}{2}}\kappa \mathbf {B} \\{\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {N} }={\frac {1}{2}}\mathbf {N} \times \mathbf {N} '&={\frac {1}{2}}(-\kappa \mathbf {N} \times \mathbf {T} +\tau \mathbf {N} \times \mathbf {B} )={\frac {1}{2}}(\kappa \mathbf {B} +\tau \mathbf {T} )\\{\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {B} }={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {B} '&=-{\frac {1}{2}}\tau \mathbf {B} \times \mathbf {N} ={\frac {1}{2}}\tau \mathbf {T} \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {T}} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {T} \ times \ mathbf {T} '& = {\ frac {1} {2}} \ kappa \ mathbf {T} \ times \ mathbf {N} = {\ frac {1} {2}} \ kappa \ mathbf {B} \\ {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {N}} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {N} \ times \ mathbf {N} '& = {\ frac {1} {2}} (- \ kappa \ mathbf {N} \ times \ mathbf {T} + \ tau \ mathbf {N} \ times \ mathbf {B}) = {\ frac {1} {2}} (\ kappa \ mathbf {B} + \ tau \ mathbf {T}) \\ {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {B}} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {B} \ times \ mathbf {B} '& = - {\ frac {1} {2}} \ tau \ mathbf {B} \ times \ mathbf {N} = {\ frac {1} {2}} \ tau \ mathbf {T} \ end {align}} }

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {T}} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {T} \ times \ mathbf {T} '& = {\ frac {1} {2}} \ kappa \ mathbf {T} \ times \ mathbf {N} = {\ frac {1} {2}} \ kappa \ mathbf {B} \\ {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {N}} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {N} \ times \ mathbf {N} '& = {\ frac {1} {2}} (- \ kappa \ mathbf {N} \ times \ mathbf {T} + \ tau \ mathbf {N} \ times \ mathbf {B}) = {\ frac {1} {2}} (\ kappa \ mathbf {B} + \ tau \ mathbf {T}) \\ {\ boldsymbol {\ omega}} _ {\ mathbf {B}} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {B} \ times \ mathbf {B} '& = - {\ frac {1} {2}} \ tau \ mathbf {B} \ times \ mathbf {N} = {\ frac {1} {2}} \ tau \ mathbf {T} \ end {align}} }

astfel încât

{\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}\kappa \mathbf {B} +{\frac {1}{2}}(\kappa \mathbf {B} +\tau \mathbf {T} )+{\frac {1}{2}}\tau \mathbf {T} =\kappa \mathbf {B} +\tau \mathbf {T}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {1} {2}} \ kappa \ mathbf {B} + {\ frac {1} {2}} (\ kappa \ mathbf {B} + \ tau \ mathbf {T}) + {\ frac {1} {2}} \ tau \ mathbf {T} = \ kappa \ mathbf {B} + \ tau \ mathbf {T}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {1} {2}} \ kappa \ mathbf {B} + {\ frac {1} {2}} (\ kappa \ mathbf {B} + \ tau \ mathbf {T}) + {\ frac {1} {2}} \ tau \ mathbf {T} = \ kappa \ mathbf {B} + \ tau \ mathbf {T}}

după cum s-a afirmat.

Vectorul Darboux oferă o modalitate concisă de a interpreta curbura κ și torsiunea τ într-un mod geometric: curbura este măsura rotației referinței Frenet în jurul vectorului binormal, în timp ce torsiunea este măsura rotației Frenet referință.în jurul versorului tangentei. ^[2]

Notă

^ JJ Stoker, Geometrie diferențială , în matematică pură și aplicată , vol. 20, John Wiley & Sons, 2011, p. 62, ISBN 9781118165478 . .
^ ^a ^b ^c Rida T. Farouki, Curbe pitagorice-hodografice: algebră și geometrie inseparabile , în Geometrie și calcul , vol. 1, Springer, 2008, p. 181, ISBN 9783540733980 . .
^ John Oprea, Geometria diferențială și aplicațiile sale , în Mathematical Association of America Textbooks , MAA, 2007, p. 21, ISBN 9780883857489 . .

Portalul de matematică

Portal mecanic

[1] JJ Stoker, Geometrie diferențială , în matematică pură și aplicată , vol. 20, John Wiley & Sons, 2011, p. 62, ISBN 9781118165478 . .

[phc-2] Rida T. Farouki, Curbe pitagorice-hodografice: algebră și geometrie inseparabile , în Geometrie și calcul , vol. 1, Springer, 2008, p. 181, ISBN 9783540733980 . .

[3] John Oprea, Geometria diferențială și aplicațiile sale , în Mathematical Association of America Textbooks , MAA, 2007, p. 21, ISBN 9780883857489 . .

[1]

[2]

[3]