Primitivul pitagoric triplează arborele

În matematică, un copac al triplelor pitagoreice primitive este o structură a copacului în care fiecare nod reprezintă un triplet pitagoric primitiv; din fiecare nod se ramifică trei noduri. Arborele conține setul infinit al tuturor și numai triplurile pitagoreice primitive existente.

Triplele pitagoreice primitive

Același subiect în detaliu: triplu pitagoric .

Reprezentarea în plan a triplului pitagoric a, b, c și a cuplului m, n

Graficul unor perechi m, n și a punctelor corespunzătoare ale triplelor. Deschideți fișierul svg pentru o versiune interactivă

Un triplet de numere întregi $a,b,c\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle a, b, c \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle a, b, c \ in \ mathbb {N}}$ este un triplu pitagoric dacă $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$ $a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}$ ; este un triplu pitagoric primitiv dacă $la, b, c$ ${\ displaystyle a, b, c}$ ${\ displaystyle a, b, c}$ nu au factori în comun, adică dacă $MCD(a,b,c)=1$ ${\ displaystyle MCD (a, b, c) = 1}$ ${\ displaystyle MCD (a, b, c) = 1}$ .

Fiecare triplu pitagoric poate fi parametrizat prin intermediul unei perechi de numere întregi $m,n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle m, n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle m, n \ in \ mathbb {N}}$ cu $m>n\geq 1$ ${\ displaystyle m> n \ geq 1}$ ${\ displaystyle m> n \ geq 1}$ care au o paritate diferită (adică unul este par și celălalt impar):

a=m^{2}-n^{2}

{\ displaystyle a = m ^ {2} -n ^ {2}}

{\ displaystyle a = m ^ {2} -n ^ {2}}

(partea ciudată)

b=2mn

{\ displaystyle b = 2mn}

{\ displaystyle b = 2mn}

(partea pare)

c=m^{2}+n^{2}

{\ displaystyle c = m ^ {2} + n ^ {2}}

{\ displaystyle c = m ^ {2} + n ^ {2}}

(ipotenuză)

Relația inversă permite calcularea $m, n$ ${\ displaystyle m, n}$ ${\ displaystyle m, n}$ pentru fiecare triada:

m={\sqrt {\frac {c+a}{2}}}

{\ displaystyle m = {\ sqrt {\ frac {c + a} {2}}}}

{\ displaystyle m = {\ sqrt {\ frac {c + a} {2}}}}

n={\sqrt {\frac {c-a}{2}}}

{\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {ca} {2}}}}

{\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {c-a} {2}}}}

Luand in considerare $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ Și $m, n$ ${\ displaystyle m, n}$ ${\ displaystyle m, n}$ ca coordonate ale planului complex ( $z_{1}=a\,i+b$ ${\ displaystyle z_ {1} = a \, i + b}$ ${\ displaystyle z_ {1} = a \, i + b}$ Și $z_{2}=m\,i+n$ ${\ displaystyle z_ {2} = m \, i + n}$ ${\ displaystyle z_ {2} = m \, i + n}$ ), avem coordonatele polare respective $c,\theta$ ${\ displaystyle c, \ theta}$ ${\ displaystyle c, \ theta}$ Și $r,\alpha$ ${\ displaystyle r, \ alpha}$ ${\ displaystyle r, \ alpha}$ . Obținem relația:

z_{2}^{2}=(m+n\,i)^{2}=(m^{2}-n^{2})+(2mn)i=a+b\,i=z_{1}

{\ displaystyle z_ {2} ^ {2} = (m + n \, i) ^ {2} = (m ^ {2} -n ^ {2}) + (2mn) i = a + b \, i = z_ {1}}

{\ displaystyle z_ {2} ^ {2} = (m + n \, i) ^ {2} = (m ^ {2} -n ^ {2}) + (2mn) i = a + b \, i = z_ {1}}

de la care $c=r^{2}$ ${\ displaystyle c = r ^ {2}}$ ${\ displaystyle c = r ^ {2}}$ Și $\theta =2\alpha$ ${\ displaystyle \ theta = 2 \ alpha}$ ${\ displaystyle \ theta = 2 \ alpha}$ .

Relația dintre unghiuri poate fi obținută și din:

\tan {\theta }={\frac {b}{a}}={\frac {2mn}{m^{2}-n^{2}}}={\frac {2(n/m)}{1-(n/m)^{2}}}={\frac {2\tan {\alpha }}{1-\tan ^{2}{\alpha }}}=\tan {2\alpha }

{\ displaystyle \ tan {\ theta} = {\ frac {b} {a}} = {\ frac {2mn} {m ^ {2} -n ^ {2}}} = {\ frac {2 (n / m)} {1- (n / m) ^ {2}}} = {\ frac {2 \ tan {\ alpha}} {1- \ tan ^ {2} {\ alpha}}} = \ tan {2 \ alpha}}

{\ displaystyle \ tan {\ theta} = {\ frac {b} {a}} = {\ frac {2mn} {m ^ {2} -n ^ {2}}} = {\ frac {2 (n / m)} {1- (n / m) ^ {2}}} = {\ frac {2 \ tan {\ alpha}} {1- \ tan ^ {2} {\ alpha}}} = \ tan {2 \ alpha}}

Pitagora primitivă triplează copacii

Arborii triplu pitagorici primitivi se obțin pornind de la o valoare inițială, de obicei tripletul (3,4,5) sau perechea (2,1), la care se aplică trei transformări liniare diferite. S-a demonstrat că există doar trei copaci posibili. ^[1]

Cele trei matrice asociate fiecărui copac pot fi denumite triple $la, b, c$ ${\ displaystyle a, b, c}$ $a, b, c$ sau cuplului $m, n$ ${\ displaystyle m, n}$ ${\ displaystyle m, n}$

{\begin{pmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix}}\iff {\begin{pmatrix}j_{11}&j_{12}\\j_{21}&j_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}m\\n\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}m'\\n'\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} k_ {11} & k_ {12} & k_ {13} \\ k_ {21} & k_ {22} & k_ {23} \\ k_ {31} & k_ {32} & k_ {33} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a \\ b \\ c \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} a '\\ b' \\ c '\ end { pmatrix}} \ iff {\ begin {pmatrix} j_ {11} & j_ {12} \\ j_ {21} & j_ {22} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} m \\ n \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} m '\\ n' \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} k_ {11} & k_ {12} & k_ {13} \\ k_ {21} & k_ {22} & k_ {23} \\ k_ {31} & k_ {32} & k_ {33} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a \\ b \\ c \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} a '\\ b' \\ c '\ end { pmatrix}} \ iff {\ begin {pmatrix} j_ {11} & j_ {12} \\ j_ {21} & j_ {22} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} m \\ n \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} m '\\ n' \ end {pmatrix}}}

Copac UAD

Primul arbore folosește următoarele matrici de transformare pentru triple: ^[2] ^[3] ^[4] ^[5] ^[6]

U={\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{pmatrix}},\,A={\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix}},\,D={\begin{pmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{pmatrix}}

{\ displaystyle U = {\ begin {pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 3 \ end {pmatrix}}, \, A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \ end {pmatrix}}, \, D = {\ begin {pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 2 & 2 & 3 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle U = {\ begin {pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 3 \ end {pmatrix}}, \, A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \ end {pmatrix}}, \, D = {\ begin {pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 2 & 2 & 3 \ end {pmatrix}}}

cu corespondenții pentru cupluri:

U'={\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}},\,A'={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}},\,D'={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle U '= {\ begin {pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \, A' = {\ begin {pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \ end { pmatrix}}, \, D '= {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle U '= {\ begin {pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \, A' = {\ begin {pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \ end { pmatrix}}, \, D '= {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

Copac FB

Al doilea arbore, introdus de Firstov ^[1] și Price ^[7] , folosește următoarele matrici de transformare pentru tripluri:

M_{1}={\begin{pmatrix}2&1&-1\\-2&2&2\\-2&1&3\end{pmatrix}},\,M_{2}={\begin{pmatrix}2&1&1\\2&-2&2\\2&-1&3\end{pmatrix}},\,M_{3}={\begin{pmatrix}2&-1&1\\2&2&2\\2&1&3\end{pmatrix}}

{\ displaystyle M_ {1} = {\ begin {pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ - 2 & 2 & 2 \\ - 2 & 1 & 3 \ end {pmatrix}}, \, M_ {2} = {\ begin {pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & - 2 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \ end {pmatrix}}, \, M_ {3} = {\ begin {pmatrix} 2 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle M_ {1} = {\ begin {pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ - 2 & 2 & 2 \\ - 2 & 1 & 3 \ end {pmatrix}}, \, M_ {2} = {\ begin {pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & - 2 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \ end {pmatrix}}, \, M_ {3} = {\ begin {pmatrix} 2 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \ end {pmatrix}}}

cu corespondenții pentru cupluri:

M_{1}'={\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}},\,M_{2}'={\begin{pmatrix}2&0\\1&-1\end{pmatrix}},\,M_{3}'={\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle M_ {1} '= {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \ end {pmatrix}}, \, M_ {2}' = {\ begin {pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}}, \, M_ {3} '= {\ begin {pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle M_ {1} '= {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \ end {pmatrix}}, \, M_ {2}' = {\ begin {pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}}, \, M_ {3} '= {\ begin {pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}}}

Arborele UMT

Al treilea arbore, determinat de Firstov ^[1] , are următoarele matrici de transformare pentru tripluri:

U={\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{pmatrix}},\,M=M_{2}={\begin{pmatrix}2&1&1\\2&-2&2\\2&-1&3\end{pmatrix}},\,T=M_{1}\cdot D={\begin{pmatrix}-2&3&3\\-6&2&6\\-6&3&7\end{pmatrix}}

{\ displaystyle U = {\ begin {pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 3 \ end {pmatrix}}, \, M = M_ {2} = { \ begin {pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \ end {pmatrix}}, \, T = M_ {1} \ cdot D = {\ begin {pmatrix } -2 & 3 & 3 \\ - 6 & 2 & 6 \\ - 6 & 3 & 7 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle U = {\ begin {pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 3 \ end {pmatrix}}, \, M = M_ {2} = { \ begin {pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \ end {pmatrix}}, \, T = M_ {1} \ cdot D = {\ begin {pmatrix } -2 & 3 & 3 \\ - 6 & 2 & 6 \\ - 6 & 3 & 7 \ end {pmatrix}}}

cu corespondenții pentru cupluri:

U'={\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}},\,M'=M_{2}'={\begin{pmatrix}2&0\\1&-1\end{pmatrix}},\,T'=M_{1}'\cdot D'={\begin{pmatrix}1&3\\0&2\end{pmatrix}}

{\ displaystyle U '= {\ begin {pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \, M' = M_ {2} '= {\ begin {pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}}, \, T '= M_ {1}' \ cdot D '= {\ begin {pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle U '= {\ begin {pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \, M' = M_ {2} '= {\ begin {pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}}, \, T '= M_ {1}' \ cdot D '= {\ begin {pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \ end {pmatrix}}}

Notă

^ ^a ^b ^c Firstov .
^ Berggren .
^ Barning .
^ Hall .
^ Kanga .
^ Alperin .
^ Preț .

Bibliografie

( EN ) RC Alperin, Arborele modular al lui Pitagora ( PDF ), în American Mathematical Monthly , vol. 112, 2005, pp. 807-816.
( NL ) FJM Barning, Over Pythagorese en bijna-Pythagorese Driehoeken en een Generatieproces Met Behulp van Unimodulaire Matrices ( PDF ), în Stichting Mathematisch Centrum. Zuivere Wiskunde , 1963.
( SV ) B. Berggren, Pytagoreiska Trianglar , în Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi , n. 17, 1934, pp. 129-139. ( Proiect de traducere în engleză )
( EN ) FR Bernhart și HL Price, Pythagoras 'Garden, Revisited ( PDF ), în Australian Senior Mathematics Journal , vol. 26, n. 1, 2012, pp. 29-40.
( EN ) MV Bonsangue, O reprezentare geometrică a triplelor pitagoreice primitive , în The Mathematics Teacher , vol. 90, n. 5, mai 1997, pp. 350-354.
( EN ) P. Braza, J. Tong și M.-Q. Zhan, Linear Transformations on Pythagorean Triples , în Revista Internațională de Educație Matematică în Știință și Tehnologie , vol. 35, nr. 5, 2004, pp. 755-762.
( EN ) N. Calkin și H. Wilf, Recounting the Rationals ( PDF ), în American Mathematical Monthly , vol. 107, nr. 4, aprilie 2000, pp. 360-363.
( EN ) VE Firstov, A Special Matrix Transformation Semigroup of Primitive Pairs and the Genealogia pitagoreicelor , în Mathematical Notes , vol. 84, nr. 2, august 2008, pp. 263-279.
( EN ) TW Forget și TA Larkin, triade pitagoreice de forma X, X + 1, Z Descrise prin secvențe de recurență ( PDF ), în Fibonacci Quarterly , vol. 6, nr. 3, iunie 1968, pp. 94-104.
( EN ) A. Hall, Genealogia triadelor pitagoreice , în The Mathematical Gazette , vol. 54, nr. 390, decembrie 1970, pp. 377-379.
( EN ) T. Jager, J: Relativ Prime - Relativ Prime , în Probleme și soluții , The College Mathematics Journal , vol. 23, n. 3, mai 1992, pp. 251-252.
( EN ) D. Kalman, Angling for Pythagorean Triples , în The College Mathematics Journal , vol. 17, n. 2, martie 1986, pp. 167-168.
( EN ) AR Kanga, Arborele genealogic al triplurilor pitagoreice , în Buletinul Institutului de Matematică și aplicațiile sale , n. 26 ianuarie-februarie 1990, pp. 15-17.
( EN ) S. Katayama, Modified Farey Trees and Pythagorean Triples ( PDF ), în Journal of Mathematics, Universitatea din Tokushima , vol. 47, 2013.
( EN ) J. Mack și V. Czernezkyj, The Tree in Pythagoras 'Garden ( PDF ), în Australian Senior Mathematics Journal , vol. 24, n. 2, pp. 58-63.
( EN ) DW Mitchell, O caracterizare alternativă a tuturor triplelor pitagoreice primitive , în The Mathematical Gazette , vol. 85, nr. 503, iulie 2001, pp. 273-275.
( EN ) M. Newman, Recounting the Rationals, Continuat, problema 10906 , în American Mathematical Monthly , vol. 110, nr. 7, august-septembrie 2003, pp. 642-643.
( EN ) L. Palmer, M. Ahuja și M. Tikoo, Finding Pythagorean Triple Preserving Matrices, în Missouri Journal of Mathematical Sciences , vol. 10, nr. 2, 1998, pp. 99-105.
( EN ) L. Palmer, M. Ahuja și M. Tikoo, Constructing Pythagorean Triple Preserving Matrices, în Missouri Journal of Mathematical Sciences , vol. 10, nr. 3, 1998, pp. 159-168.
( EN ) HL Price, The Pythagorean Tree: A New Species ( PDF ), 2008.
( EN ) K. Ryde, Trees of Primitive Pythagorean Triples ( PDF ), mai 2020.
( EN ) J. Tong, Conjugates of Pythagorean Triples , în The Mathematical Gazette , vol. 87, nr. 510, noiembrie 2003, pp. 496-499.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere de copaci ale triplelor pitagoreice primitive

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[Firstov-1] Firstov .

[2] Berggren .

[3] Barning .

[4] Hall .

[5] Kanga .

[6] Alperin .

[Price-7] Preț .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]