Algebră absolvită

În matematică , în special algebra abstractă , o algebră gradată este o algebră de câmp (sau inel comutativ ), cu o bucată de structură suplimentară, cunoscută sub numele de gradație (sau clasificare).

Inelele gradate

Un inel absolvent $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un astfel de inel încât există o familie $\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ {A_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ {A_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ de subgrupuri abeliene aditive de $(A,+)$ ${\ displaystyle (A, +)}$ $(A, +)$ care se descompun $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ într-o sumă directă :

A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=A_{0}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots

{\ displaystyle A = \ bigoplus _ {n \ in \ mathbb {N}} A_ {n} = A_ {0} \ oplus A_ {1} \ oplus A_ {2} \ oplus \ cdots}

{\ displaystyle A = \ bigoplus _ {n \ in \ mathbb {N}} A_ {n} = A_ {0} \ oplus A_ {1} \ oplus A_ {2} \ oplus \ cdots}

în așa fel încât inelul multiplicativ să îndeplinească următoarea proprietate:

x\in A_{s},y\in A_{r}\implies xy\in A_{s+r}

{\ displaystyle x \ in A_ {s}, y \ in A_ {r} \ implică xy \ in A_ {s + r}}

{\ displaystyle x \ in A_ {s}, y \ in A_ {r} \ implică xy \ in A_ {s + r}}

adică

A_{s}A_{r}\subseteq A_{s+r}

{\ displaystyle A_ {s} A_ {r} \ subseteq A_ {s + r}}

{\ displaystyle A_ {s} A_ {r} \ subseteq A_ {s + r}}

pentru toți indicii $r,s\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle r, s \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle r, s \ in \ mathbb {N}}$ .

Elementele $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ sunt cunoscute ca elemente omogene de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Din definiție rezultă imediat că fiecare element $a\in A$ ${\ displaystyle a \ în A}$ $a \ in A$ admite o singură descompunere ca sumă:

a=\sum _{n}a_{n}

{\ displaystyle a = \ sum _ {n} a_ {n}}

{\ displaystyle a = \ sum _ {n} a_ {n}}

unde este $a_{n}\in A_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n} \ în A_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {n} \ în A_ {n}}$ pentru toți $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in {\ mathbb {N}}$ ; elementele $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ sunt uneori numite părți omogene ale $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ .

Un subset ideal sau un subset ${\mathfrak {a}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ mathfrak {a}}$ ⊂ A este omogen dacă pentru fiecare element a ∈ ${\mathfrak {a}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ mathfrak {a}}$ , părțile omogene ale unui sunt, de asemenea, conținute în ${\mathfrak {a}}.$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}.}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}.}$

Dacă I este un set omogen ideal în A , atunci $A/I$ ${\ displaystyle A / I}$ $LA$ este un inel gradat și are următoarea descompunere:

A/I=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }(A_{n}+I)/I.

{\ displaystyle A / I = \ bigoplus _ {n \ in \ mathbb {N}} (A_ {n} + I) / I.}

{\ displaystyle A / I = \ bigoplus _ {n \ in \ mathbb {N}} (A_ {n} + I) / I.}

Algebră absolvită

O algebră A pe un inel R este o algebră gradată dacă este gradată ca un inel. În cazul în care un inel R este, de asemenea, un inel gradat, atunci este necesar ca:

A _i R _j ⊂ A _{i + j} , e
R _i A _j ⊂ A _{i + j} .

Rețineți că definiția „inelului gradat pe un inel nescalat” este cazul special al ultimei definiții în care „R” este gradat banal (fiecare element al „R” este de zero grade).

Superalgebra

În matematică și fizică teoretică o superalgebră este o Z ₂ - algebră gradată ^[1] . Adică este o algebră pe un inel comutativ sau un câmp care se descompune într-o piesă „pare” și „impar”, adică este un operator multiplicativ care respectă separarea în „par” și „impar” piese.

Prefixul super- provine din teoria supersimetriei din fizica teoretică . Superalgebrele și reprezentările lor, supermodule, oferă un cadru algebric pentru formularea supersimetriei ^[2] . Studiul unor astfel de obiecte se mai numește uneori super algebră liniară.

Definiție formală

Fie K un inel comutativ fix; în majoritatea aplicațiilor K este un domeniu precum R sau C.

O superalgebră pe K este un K -modul A cu o descompunere într-o sumă directă :

A=A_{0}\oplus A_{1}

{\ displaystyle A = A_ {0} \ oplus A_ {1}}

{\ displaystyle A = A_ {0} \ oplus A_ {1}}

cu o multiplicare biliniară A × A → A astfel încât:

A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}

{\ displaystyle A_ {i} A_ {j} \ subseteq A_ {i + j}}

{\ displaystyle A_ {i} A_ {j} \ subseteq A_ {i + j}}

cu indici având modul 2.

Notă

^ Kac, Martinez și Zelmanov (2001).
^ Introducerea supersimetriei, MF Sohnius, 1985

Bibliografie

Bourbaki, N. (1974) Algebra I (Capitolele 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5 , Capitolul 3, Secțiunea 3.
Junker G. Metode supersimetrice în fizica cuantică și statistică , Springer-Verlag (1996).
Kane GL, Shifman M., The Supersymmetric World: The Beginnings of the Theory World Scientific, Singapore (2000). ISBN 981-02-4522-X .
Weinberg Steven, The Quantum Theory of Fields, Volumul 3: Supersimetrie , Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 0-521-66000-9 .
Wess, Julius și Jonathan Bagger, Supersimetrie și supergravitate , Princeton University Press, Princeton, (1992). ISBN 0-691-02530-4 .
Bennett GW și colab ; Muon (g - 2) Colaborare, măsurarea momentului magnetic anomal al muonului negativ la 0,7 ppm , în Physical Review Letters , vol. 92, nr. 16, 2004, p. 161802, DOI : 10.1103 / PhysRevLett.92.161802 , PMID 15169217 .
(EN) F. Cooper, A. Khare, U. Sukhatme. Supersimetrie în mecanica cuantică , fiz. Rep. 251 (1995) 267-85 (arXiv: hep-th / 9405029).
( EN ) DV Volkov, VP Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Fizic. Lett. B46 (1973) 109.
( EN ) VP Akulov, DV Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) A Supersymmetry Primer , S. Martin, 1999.
( EN ) Introducere în supersimetrie , Joseph D. Lykken, 1996.
( EN ) An Introduction to Supersymmetry , Manuel Drees, 1996.
( EN ) Introducere în supersimetrie , Adel Bilal, 2001.
( EN ) An Introduction to Global Supersymmetry , Philip Arygres, 2001.
( EN ) Supersymmetry la scară slabă Arhivat 4 decembrie 2012 în Archive.is ., Howard Baer și Xerxes Tata, 2006.
(EN) Laboratorul Național Brookhaven (8 ianuarie 2004). Noua măsurare g - 2 se abate în continuare de modelul standard
( EN ) Laboratorul Național de Accelerare Fermi (25 septembrie 2006). Oamenii de știință CDF ai Fermilab au descoperit comportamentul de schimbare rapidă a mezonului B-sub-s .

Portalul de fizică

Portalul de matematică

[1] Kac, Martinez și Zelmanov (2001).

[2] Introducerea supersimetriei, MF Sohnius, 1985

[1]

[2]