Algebra Lie mincinoasă

În matematică , se spune că o algebră Lie este gradată atunci când are o gradație compatibilă cu paranteze Lie . Cu alte cuvinte, este o algebră Lie care este o algebră gradată neasociativă în cadrul operației de comutare .

Acest concept este extins în superalgebra Lie gradată , care necesită ca parantezele Lie să nu fie neapărat anticomutative.

Definiția formală a algebrei Lie gradate

În forma sa de bază, o algebră Lie gradată este o algebră Lie obișnuită ${\mathfrak {g}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ cu o gradație a spațiilor vectoriale ^[1] :

{\mathfrak {g}}=\bigoplus _{i\in {\mathbb {Z} }}{\mathfrak {g}}_{i}

{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ bigoplus _ {i \ in {\ mathbb {Z}}} {\ mathfrak {g}} _ {i}}

{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ bigoplus _ {i \ in {\ mathbb {Z}}} {\ mathfrak {g}} _ {i}}

;

astfel încât parantezele Lie, în ceea ce privește această gradație sunt:

[{\mathfrak {g}}_{i},{\mathfrak {g}}_{j}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{i+j}.

{\ displaystyle [{\ mathfrak {g}} _ {i}, {\ mathfrak {g}} _ {j}] \ subseteq {\ mathfrak {g}} _ {i + j}.}

{\ displaystyle [{\ mathfrak {g}} _ {i}, {\ mathfrak {g}} _ {j}] \ subseteq {\ mathfrak {g}} _ {i + j}.}

.

Superalgebra Lie absolvită

O superalgebră Lie gradată pe un câmp sau pe un inel k (care are o caracteristică diferită de 2) și definită ca un spațiu vectorial gradat E pe k , cu o operație biliniară:

[-,-]:E\otimes _{k}E\rightarrow E

{\ displaystyle [-, -]: E \ otimes _ {k} E \ rightarrow E}

{\ displaystyle [-, -]: E \ otimes _ {k} E \ rightarrow E}

care îndeplinește următoarele proprietăți:

[-, -] în ceea ce privește gradația lui E :

[E_{i},E_{j}]\subseteq E_{i+j}

{\ displaystyle [E_ {i}, E_ {j}] \ subseteq E_ {i + j}}

{\ displaystyle [E_ {i}, E_ {j}] \ subseteq E_ {i + j}}

.

( Simetrie ) dacă x ε E _i și y ε E _j , atunci:

[x,y]=-(-1)^{ij}\,[y,x]

{\ displaystyle [x, y] = - (- 1) ^ {ij} \, [y, x]}

{\ displaystyle [x, y] = - (- 1) ^ {ij} \, [y, x]}

;

( Identitate Jacobi ) dacă x ε E _i , y ε E _j și z ε E _k , atunci:

(-1)^{ik}[x,[y,z]]+(-1)^{ij}[y,[z,x]]+(-1)^{jk}[z,[x,y]]=0

{\ displaystyle (-1) ^ {ik} [x, [y, z]] + (- 1) ^ {ij} [y, [z, x]] + (- 1) ^ {jk} [z, [x, y]] = 0}

{\ displaystyle (-1) ^ {ik} [x, [y, z]] + (- 1) ^ {ij} [y, [z, x]] + (- 1) ^ {jk} [z, [x, y]] = 0}

.

Superalgebra

În matematică și fizică teoretică, o superalgebră este o algebră gradată _Z2 ( algebră gradată ) ^[2] . Adică este o algebră pe un inel comutativ sau un câmp care se descompune într-o piesă „pare” și „impar”, adică este un operator multiplicativ care respectă separarea în „par” și „impar” piese.

Prefixul super- provine din teoria supersimetriei din domeniul fizicii teoretice . Superalgebrele și reprezentările lor, supermodule, oferă un cadru algebric pentru formularea supersimetriei ^[3] . Studiul unor astfel de obiecte se mai numește uneori super algebră liniară.

Definiție formală

Fie K un inel comutativ fix; în majoritatea aplicațiilor K este un domeniu precum R sau C.

O superalgebră pe K este un K -modul A cu o descompunere într-o sumă directă :

A=A_{0}\oplus A_{1}

{\ displaystyle A = A_ {0} \ oplus A_ {1}}

{\ displaystyle A = A_ {0} \ oplus A_ {1}}

cu o multiplicare biliniară A × A → A astfel încât:

A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}

{\ displaystyle A_ {i} A_ {j} \ subseteq A_ {i + j}}

{\ displaystyle A_ {i} A_ {j} \ subseteq A_ {i + j}}

cu indici având modul 2.

Algebra minciunii

În matematică , o algebră Lie (numită după matematicianul Sophus Lie ) este o structură algebrică utilizată în principal pentru studiul obiectelor geometrice analitice, cum ar fi grupurile Lie și varietățile diferențiate .

Definiție formală

O algebră Lie este o structură constând dintr-un spațiu vectorial g pe un anumit câmp F (de exemplu , numere reale , numere complexe sau un câmp finit ) și un operator binar [·, ·]: g × g → g , numit produs Lie , care îndeplinește următoarele proprietăți:

este biliniar , adică [ ax + by , z ] = a [ x , z ] + b [ y , z ] și [ z , ax + by ] = a [ z , x ] + b [ z , y ] pentru toți a , b în F și toate x , y , z în g ;
satisface identitatea Jacobi , adică [[ x , y ], z ] + [[ z , x ], y ] + [[ y , z ], x ] = 0 pentru toate x , y , z în g ;
este nilpotent , adică [ x , x ] = 0 pentru toate x în g .

Rețineți că prima și a treia proprietate împreună implică [ x , y ] = − [ y , x ] pentru toate x , y în g , adică antisimetria produsului Lie: invers, antisimetria implică proprietatea 3 dacă F are o caracteristică diferită de 2. De asemenea, rețineți că, în general, produsul Lie nu este asociativ , adică [[ x , y ], z ] nu este neapărat egal cu [ x , [ y , z ]] .

Superalgebra minciunii

În matematică și în fizică teoretică o superalgebră Lie este o generalizare a ' algebrei Lie cu includerea unei algebre gradate Z ₂ ( algebră gradată ) ^[4] . Superalgebrele minciunii sunt importante în fizica teoretică, unde sunt utilizate pentru a descrie formularea matematică a supersimetriei . În majoritatea acestor teorii, elementele pare ale superalgebrei corespund bosonilor și elementele impare fermionilor (dar acest lucru nu este întotdeauna adevărat, de exemplu, în supersimetria BRST este invers).

Definiție formală

În mod formal, o algebră Lie superalgebră este gradată Z ₂ (Z ₂ - algebră gradată) neasociativă sau o superalgebră , care este un inel comutativ (de obicei R sau C) pe care este definit un produs [·,], numit Lie superbracket sau super switch, care îndeplinește următoarele două condiții (analog cu axiomele uzuale ale algebrei Lie cu gradare):

1) Super anti-simetrie:

[x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x].\

{\ displaystyle [x, y] = - (- 1) ^ {| x || y |} [y, x]. \}

{\ displaystyle [x, y] = - (- 1) ^ {| x || y |} [y, x]. \}

;

2) super- identitatea lui Jacobi :

(-1)^{|z||x|}[x,[y,z]]+(-1)^{|x||y|}[y,[z,x]]+(-1)^{|y||z|}[z,[x,y]]=0\

{\ displaystyle (-1) ^ {| z || x |} [x, [y, z]] + (- 1) ^ {| x || y |} [y, [z, x]] + ( -1) ^ {| y || z |} [z, [x, y]] = 0 \}

{\ displaystyle (-1) ^ {| z || x |} [x, [y, z]] + (- 1) ^ {| x || y |} [y, [z, x]] + ( -1) ^ {| y || z |} [z, [x, y]] = 0 \}

;

unde x, y și z sunt , de asemenea , Z ₂ -grading. Deci, | x | denotă gradul de x (0 sau 1). Gradul lui [x, y] este suma gradelor lui x și y cu modulul 2.

Uneori se adaugă axiomele:

la) $[x,x]=0$ ${\ displaystyle [x, x] = 0}$ ${\ displaystyle [x, x] = 0}$ pentru | x | = 0 (deoarece numărul 2 este inversabil această proprietate urmează automat);

Și

b) $[[x,x],x]=0$ ${\ displaystyle [[x, x], x] = 0}$ ${\ displaystyle [[x, x], x] = 0}$ pentru | x | = 1 (deoarece numărul 3 este inversabil această proprietate urmează automat).

Algebra supersimetrică

În fizica teoretică , o algebră de supersimetrie (sau o algebră SUSY) este o algebră de simetrie care încorporează supersimetrie, care este o relație între bosoni și fermioni. Într-o lume supersimetrică, fiecare boson are un fermion partener de masă de repaus egal și fiecare fermion are un boson partener de masă de repaus egal ^[5] .

Câmpurile bosonice navighează, în timp ce câmpurile fermionice sunt anti-navetă; pentru a relaționa cele două tipuri de câmpuri într-o singură algebră, se folosește introducerea unei „algebre gradate” conform căreia elementele pare trebuie să fie bosoni și elementele impare să fie fermioni. O astfel de algebră se numește superalgebră Lie.

Pe de altă parte, teorema spin-statistică ^[6] arată că bosonii au spin întreg, în timp ce fermionii au spin jumătate. În consecință, elementele ciudate dintr-o algebră de supersimetrie trebuie să aibă un spin pe jumătate, ceea ce este în contrast cu simetriile mai tradiționale din fizica clasică .

În simetriile fizice care sunt asociate cu o algebră Lie se pot construi reprezentări ale acestora, deci se poate avea și reprezentări ale unei superalgebre Lie. Fiecare algebră Lie este legată de un grup Lie așa că în același mod fiecare superalgebră Lie este legată de un supergrup Lie.

Algebra super-Poincaré

În fizica teoretică , algebra super-Poincaré este o extensie a algebrei Poincaré care include supersimetrie , adică include o relație între bosoni și fermioni.

Cea mai simplă extensie supersimetrică a algebrei Poincaré conține doi spinori Weyl care satisfac următoarea relație anti-comutare:

\{Q_{\alpha },{\bar {Q}}_{\dot {\beta }}\}=2{\sigma ^{\mu }}_{\alpha {\dot {\beta }}}P_{\mu }

{\ displaystyle \ {Q _ {\ alpha}, {\ bar {Q}} _ {\ dot {\ beta}} \} = 2 {\ sigma ^ {\ mu}} _ {\ alpha {\ dot {\ beta}}} P _ {\ mu}}

\ {Q _ {{\ alpha}}, {\ bar Q} _ {{{\ dot {\ beta}}}} \} = 2 {\ sigma ^ {\ mu}} _ {{\ alpha {\ dot {\ beta}}}} P _ {\ mu}

și toate relațiile anti-comutare între $Q_{\alpha },$ ${\ displaystyle Q _ {\ alpha},}$ $Q _ {{\ alpha}},$ si $P_{\mu }$ ${\ displaystyle P _ {\ mu}}$ $P _ {\ mu}$ sunt nule. Unde i $P_{\mu }$ ${\ displaystyle P _ {\ mu}}$ $P _ {\ mu}$ sunt generatorii de traduceri și $\sigma ^{\mu }$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {\ mu}}$ $\ sigma ^ {\ mu}$ sunt matricile Pauli .

Supersimetrie

Unele cupluri
Particulă	A învârti	Partener	A învârti
Electron	${\tfrac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$ $\ tfrac {1} {2}$	Selectron	0
Quark	${\tfrac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$ $\ tfrac {1} {2}$	Squark	0
Neutrino	${\tfrac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$ $\ tfrac {1} {2}$	Sneutrino	0
Gluonă	1	Gluino	${\tfrac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$ $\ tfrac {1} {2}$
Foton	1	Fotino	${\tfrac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$ $\ tfrac {1} {2}$
Boson W	1	Wino (particule)	${\tfrac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$ $\ tfrac {1} {2}$
Boson Z	1	Zino	${\tfrac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$ $\ tfrac {1} {2}$
Graviton	2	Gravitino	${\tfrac {3}{2}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {3} {2}}}$ ${\ tfrac {3} {2}}$

De fapt, în fizica particulelor , în raport cu o transformare de supersimetrie , fiecare fermion are un superpartener bosonic și fiecare boson are un superpartener fermionic. Cuplurile au fost botezate parteneri supersimetrici, iar noile particule sunt numite spartner , superpartner sau sparticle ^[7] . Mai exact, superpartenerul unei particule care se rotește $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ are rotire

s-{\frac {1}{2}}

{\ displaystyle s - {\ frac {1} {2}}}

s - {\ frac {1} {2}}

Câteva exemple sunt prezentate în tabel. Niciunul dintre aceștia nu a fost identificat până acum experimental, dar se speră că Marele Colizor de Hadroni de la CERN din Geneva va putea îndeplini această sarcină începând cu 2010 , după repunerea în funcțiune în noiembrie 2009 ^[8] . Pentru moment există doar dovezi indirecte ale existenței supersimetriei . Deoarece superpartenerii particulelor modelului standard nu au fost încă observate, supersimetria, dacă există, trebuie să fie neapărat o simetrie ruptă, astfel încât să permită superpartenerilor să fie mai grei decât particulele corespunzătoare prezente în modelul standard.

Sarcina asociată (adică generatorul) unei transformări de supersimetrie se numește suprasarcină .

Teoria explică unele probleme nerezolvate care afectează modelul standard , dar le introduce pe altele. A fost dezvoltat în anii 1970 de echipa de cercetători a lui Jonathan I. Segal la MIT ; în același timp, Daniel Laufferty de la „Universitatea Tufts” și fizicienii teoretici sovietici Izrail 'Moiseevič Gel'fand și Likhtman au teorizat independent supersimetria ^[9] . Deși născută în contextul teoriilor de șiruri , structura matematică a supersimetriei a fost ulterior aplicată cu succes în alte domenii ale fizicii, de la mecanica cuantică la statistica clasică și este considerată o parte fundamentală a numeroaselor teorii fizice.

În teoria corzilor, supersimetria are consecința că modurile de vibrație ale corzilor care dau naștere fermionilor și bosonilor apar neapărat în perechi.

Notă

^ Nijenhuis, A. și Richardson, RW Jr., "Cohomology and deformations in graded Lie algebras", Bull. AMS 72 (1966), 1-29.
^ Kac, Martinez și Zelmanov (2001).
^ Introducerea supersimetriei, MF Sohnius, 1985
^ "Lie Superalgebras of String Theory" , Pavel Grozman, Dimitry Leites și Irina Shchepochkina.
^ Gordon Kane, The Dawn of Physics Beyond the Standard Model , Scientific American , iunie 2003, pagina 60 și Frontierele fizicii , ediție specială, Vol 15, # 3, pagina 8 "Dovezi indirecte pentru supersimetrie provin din extrapolarea interacțiunilor la energii mari. "
^ M. Fierz "Uber die relativistiche Theorie krafterfreier Teilchen mit Beliebigem Spin" Helvetica Physica Acta 12: 3-37, 1939
^ A Supersymmetry Primer , S. Martin, 1999
^ ( EN , FR ) LHC a revenit , pe public.web.cern.ch . Adus la 12 aprilie 2010 (arhivat din original la 19 aprilie 2010) .
^ Weinberg Steven, The Quantum Theory of Fields, Volumul 3: Supersimetrie , Cambridge University Press , Cambridge (1999). ISBN 0-521-66000-9 .

Bibliografie

Nijenhuis, A. și Richardson, RW Jr., "Cohomology and deformations in graded Lie algebras", Bull. AMS 72 (1966), 1-29.
Kac, superalgebre VG Lie. Progrese în matematică. 26 (1977), nr. 1, 8-96.
Manin, Yuri I. Teoria câmpului ecartament și geometria complexă. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 289. Springer-Verlag, Berlin, 1997. ISBN 3-540-61378-1
Pavel Grozman, Dimitry Leites și Irina Shchepochkina. „MINCIUNE SUPERALGEBRASE A TEORIILOR STRING”
Junker G. Metode supersimetrice în fizica cuantică și statistică , Springer-Verlag (1996).
Kane GL, Shifman M., The Supersymmetric World: The Beginnings of the Theory World Scientific, Singapore (2000). ISBN 981-02-4522-X .
Weinberg Steven, The Quantum Theory of Fields, Volumul 3: Supersimetrie , Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 0-521-66000-9 .
Wess, Julius și Jonathan Bagger, Supersimetrie și supergravitate , Princeton University Press, Princeton, (1992). ISBN 0-691-02530-4 .
Bennett GW și colab ; Colaborare cu muon (g - 2), măsurarea momentului magnetic anormal de muon negativ la 0,7 ppm , în Physical Review Letters , vol. 92, nr. 16, 2004, p. 161802, DOI : 10.1103 / PhysRevLett.92.161802 , PMID 15169217 .
(EN) F. Cooper, A. Khare, U. Sukhatme. Supersimetrie în mecanica cuantică , fiz. Rep. 251 (1995) 267-85 (arXiv: hep-th / 9405029).
( EN ) DV Volkov, VP Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Fizic. Lett. B46 (1973) 109.
( EN ) VP Akulov, DV Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.

Elemente conexe

linkuri externe

( RO ) „MINCIUNA SUPERALGEBRĂ A TEORIILOR STRING” , Pavel Grozman, Dimitry Leites și Irina Shchepochkina.
( EN ) A Supersymmetry Primer , S. Martin, 1999.
( EN ) Introducere în supersimetrie , Joseph D. Lykken, 1996.
( EN ) An Introduction to Supersymmetry , Manuel Drees, 1996.
( EN ) Introducere în supersimetrie , Adel Bilal, 2001.
( EN ) An Introduction to Global Supersymmetry , Philip Arygres, 2001.
( EN ) Supersymmetry la scară slabă Arhivat 4 decembrie 2012 în Archive.is ., Howard Baer și Xerxes Tata, 2006.
(EN) Laboratorul Național Brookhaven (8 ianuarie 2004). Noua măsurare g - 2 se abate în continuare de modelul standard
( EN ) Laboratorul Național de Accelerare Fermi (25 septembrie 2006). Oamenii de știință CDF ai Fermilab au descoperit comportamentul de schimbare rapidă a mezonului B-sub-s .

Portalul de fizică

Portalul de matematică

[1] Nijenhuis, A. și Richardson, RW Jr., "Cohomology and deformations in graded Lie algebras", Bull. AMS 72 (1966), 1-29.

[2] Kac, Martinez și Zelmanov (2001).

[3] Introducerea supersimetriei, MF Sohnius, 1985

[4] "Lie Superalgebras of String Theory" , Pavel Grozman, Dimitry Leites și Irina Shchepochkina.

[GKane-5] Gordon Kane, The Dawn of Physics Beyond the Standard Model , Scientific American , iunie 2003, pagina 60 și Frontierele fizicii , ediție specială, Vol 15, # 3, pagina 8 "Dovezi indirecte pentru supersimetrie provin din extrapolarea interacțiunilor la energii mari. "

[6] M. Fierz "Uber die relativistiche Theorie krafterfreier Teilchen mit Beliebigem Spin" Helvetica Physica Acta 12: 3-37, 1939

[7] A Supersymmetry Primer , S. Martin, 1999

[8] ( EN , FR ) LHC a revenit , pe public.web.cern.ch . Adus la 12 aprilie 2010 (arhivat din original la 19 aprilie 2010) .

[9] Weinberg Steven, The Quantum Theory of Fields, Volumul 3: Supersimetrie , Cambridge University Press , Cambridge (1999). ISBN 0-521-66000-9 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]