Algebra supercomutativă

În matematică și fizică teoretică, o algebră supercomutativă este o superalgebră (adică o algebră gradată Z ₂ ) în care pentru fiecare pereche x și y de elemente omogene avem:

yx=(-1)^{|x||y|}xy.

{\ displaystyle yx = (- 1) ^ {| x || y |} xy.}

{\ displaystyle yx = (- 1) ^ {| x || y |} xy.}

În mod echivalent, este o superalgebră în care schimbătorul

[x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx

{\ displaystyle [x, y] = xy - (- 1) ^ {| x || y |} yx}

{\ displaystyle [x, y] = xy - (- 1) ^ {| x || y |} yx}

este întotdeauna nul

unde cu: $|x|$ ${\ displaystyle | x |}$ ${\ displaystyle | x |}$ Și $|y|$ ${\ displaystyle | y |}$ ${\ displaystyle | y |}$ gradarea x și y au fost indicate respectiv. Gradația

|x|

{\ displaystyle | x |}

{\ displaystyle | x |}

este valabil:

a) 0 (zero) pentru operatorii bosonici numiți și elemente pare;

b) 1 (unu) pentru operatorii fermionici numiți și elemente impare ^[1] .

Relația

[x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx

{\ displaystyle [x, y] = xy - (- 1) ^ {| x || y |} yx}

{\ displaystyle [x, y] = xy - (- 1) ^ {| x || y |} yx}

poate fi rescris astfel:

1) un anti-comutator

[x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx

{\ displaystyle [x, y] = xy - (- 1) ^ {| x || y |} yx}

{\ displaystyle [x, y] = xy - (- 1) ^ {| x || y |} yx}

\{x,y\}=xy+yx

{\ displaystyle \ {x, y \} = xy + yx}

{\ displaystyle \ {x, y \} = xy + yx}

când x și y sunt doi operatori fermionici, care satisfac algebra Grassmann ^[2] ;

2) un comutator

[x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx

{\ displaystyle [x, y] = xy - (- 1) ^ {| x || y |} yx}

{\ displaystyle [x, y] = xy - (- 1) ^ {| x || y |} yx}

[x,y]=xy-yx

{\ displaystyle [x, y] = xy-yx}

{\ displaystyle [x, y] = xy-yx}

în toate celelalte cazuri (adică x și y sunt fie doi operatori bosonici, fie un operator bosonic și un operator fermionic) ^[2] .

Fiecare algebră comutativă (adică fiecare algebră a operatorilor bosonici) este o algebră supercomutativă dacă are gradarea banală (adică toate elementele sunt pare). Algebra Grassmann (cunoscută și sub denumirea de algebră externă) sunt cele mai frecvente exemple de algebre supercomutative banale. Supercentrul oricărei superalgebre ^[3] , este setul de elemente care supercomutează cu toate elementele și este o algebră supercomutativă ^[4] .

Notă

^ Introducerea supersimetriei, MF Sohnius, 1985
^ ^a ^b Weinberg Steven, The Quantum Theory of Fields, Volumul 3: Supersimetrie , Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 0-521-66000-9 .
^ Vezi centrul unui grup
^ Kac, Martinez și Zelmanov (2001).

Bibliografie

Bourbaki, Nicolas (1974) Algebra I (Capitolele 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5 , Capitolul 3, Secțiunea 3.
Junker G. Metode supersimetrice în fizica cuantică și statistică , Springer-Verlag (1996).
Kane GL, Shifman M., The Supersymmetric World: The Beginnings of the Theory World Scientific, Singapore (2000). ISBN 981-02-4522-X .
Weinberg Steven , The Quantum Theory of Fields, Volumul 3: Supersimetrie , Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 0-521-66000-9 .
Wess, Julius și Jonathan Bagger, Supersimetrie și supergravitate , Princeton University Press, Princeton, (1992). ISBN 0-691-02530-4 .
Bennett GW și colab ; Muon (g - 2) Colaborare, măsurarea momentului magnetic anomal al muonului negativ la 0,7 ppm , în Physical Review Letters , vol. 92, nr. 16, 2004, p. 161802, DOI : 10.1103 / PhysRevLett.92.161802 , PMID 15169217 .
(EN) F. Cooper, A. Khare, U. Sukhatme. Supersimetrie în mecanica cuantică , fiz. Rep. 251 (1995) 267-85 (arXiv: hep-th / 9405029).
( EN ) DV Volkov, VP Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Fizic. Lett. B46 (1973) 109.
( EN ) VP Akulov, DV Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) A Supersymmetry Primer , S. Martin, 1999.
( EN ) Introducere în supersimetrie , Joseph D. Lykken, 1996.
( EN ) An Introduction to Supersymmetry , Manuel Drees, 1996.
( EN ) Introducere în supersimetrie , Adel Bilal, 2001.
( EN ) An Introduction to Global Supersymmetry , Philip Arygres, 2001.
( EN ) Supersymmetry la scară slabă Arhivat 4 decembrie 2012 în Archive.is ., Howard Baer și Xerxes Tata, 2006.
( RO ) Noua măsurare g - 2 se abate în continuare de Modelul Standard , Laboratorul Național Brookhaven (8 ianuarie 2004)
(EN) Oamenii de știință ai CDF Fermilab au descoperit comportamentul de schimbare rapidă a mezonului B-sub-s , Laboratorul Național de Accelerare Fermi (25 septembrie 2006).

Portalul de fizică

Portalul de matematică

[1] Introducerea supersimetriei, MF Sohnius, 1985

[A-2] Weinberg Steven, The Quantum Theory of Fields, Volumul 3: Supersimetrie , Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 0-521-66000-9 .

[3] Vezi centrul unui grup

[4] Kac, Martinez și Zelmanov (2001).

[1]

[2]

[3]

[4]