Mărirea Doppler

În fizica atomică , lărgirea Doppler este lărgirea liniilor spectrale datorită efectului Doppler , cauzată de o distribuție a vitezei atomilor sau moleculelor . Vitezele diferite ale particulelor generează diferite deplasări Doppler, care sunt cauza lărgirii liniei. ^[1] Profilul de linie spectrală rezultat este cunoscut sub numele de profil Doppler . Un caz special și poate cel mai important este mărirea termică Doppler cauzată de mișcarea termică a particulelor. Prin urmare, mărirea depinde doar de frecvența liniei spectrale, de masa particulelor radiative și de temperatura acestora și, prin urmare, poate fi utilizată pentru a obține temperatura unui corp radiativ.

Spectroscopia de absorbție saturată , cunoscută și sub numele de spectroscopie fără doppler , poate fi utilizată pentru a găsi frecvența unei tranziții atomice fără a răci proba până la temperaturi la care extinderea Doppler este minimă.

Derivare

Când o particulă se deplasează spre observator din cauza agitației termice, radiația emisă este deplasată la o frecvență mai mare. În mod similar, pe măsură ce particula se îndepărtează, frecvența este mai mică. Pentru viteze termice nerelativiste, efectul Doppler de frecvență ia forma:

f=f_{0}\left(1+{\frac {v}{c}}\right)

{\ displaystyle f = f_ {0} \ left (1 + {\ frac {v} {c}} \ right)}

{\ displaystyle f = f_ {0} \ left (1 + {\ frac {v} {c}} \ right)}

unde este $\ f$ ${\ displaystyle \ f}$ $\ f$ este frecvența observată, $\ f_{0}$ ${\ displaystyle \ f_ {0}}$ ${\ displaystyle \ f_ {0}}$ frecvența de repaus, $\ v$ ${\ displaystyle \ v}$ ${\ displaystyle \ v}$ este viteza particulei spre observator, e $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este viteza luminii .

Deoarece există o distribuție a vitezei atât de la, cât și către observator, în fiecare element de volum al unui corp radiativ, efectul net va fi o lărgire a liniei observate. De sine $\,P_{v}(v)dv$ ${\ displaystyle \, P_ {v} (v) dv}$ ${\ displaystyle \, P_ {v} (v) dv}$ este fracția de particule cu viteza între $\,v$ ${\ displaystyle \, v}$ ${\ displaystyle \, v}$ Și $\,v+dv$ ${\ displaystyle \, v + dv}$ ${\ displaystyle \, v + dv}$ în direcția de observare, atunci distribuția corespunzătoare a frecvenței este

P_{f}(f)df=P_{v}(v_{f}){\frac {dv}{df}}df

{\ displaystyle P_ {f} (f) df = P_ {v} (v_ {f}) {\ frac {dv} {df}} df}

{\ displaystyle P_ {f} (f) df = P_ {v} (v_ {f}) {\ frac {dv} {df}} df}

,

unde este $\,v_{f}=c\left({\frac {f}{f_{0}}}-1\right)$ ${\ displaystyle \, v_ {f} = c \ left ({\ frac {f} {f_ {0}}} - 1 \ right)}$ ${\ displaystyle \, v_ {f} = c \ left ({\ frac {f} {f_ {0}}} - 1 \ right)}$ este viteza spre observator care corespunde deplasării frecvenței în repaus de la $\,f_{0}$ ${\ displaystyle \, f_ {0}}$ ${\ displaystyle \, f_ {0}}$ la $\,f$ ${\ displaystyle \, f}$ $\, f$ . Asa de,

P_{f}(f)df={\frac {c}{f_{0}}}P_{v}\left(c\left({\frac {f}{f_{0}}}-1\right)\right)df

{\ displaystyle P_ {f} (f) df = {\ frac {c} {f_ {0}}} P_ {v} \ left (c \ left ({\ frac {f} {f_ {0}}} - 1 \ dreapta) \ dreapta) df}

{\ displaystyle P_ {f} (f) df = {\ frac {c} {f_ {0}}} P_ {v} \ left (c \ left ({\ frac {f} {f_ {0}}} - 1 \ dreapta) \ dreapta) df}

.

Lărgirea poate fi exprimată și în termeni de lungime de undă $\,\lambda$ ${\ displaystyle \, \ lambda}$ ${\ displaystyle \, \ lambda}$ . Amintind că, în limita non-relativistă, ${\frac {\lambda -\lambda _{0}}{\lambda _{0}}}\approx -{\frac {f-f_{0}}{f_{0}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ lambda - \ lambda _ {0}} {\ lambda _ {0}}} \ approx - {\ frac {f-f_ {0}} {f_ {0}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ lambda - \ lambda _ {0}} {\ lambda _ {0}}} \ approx - {\ frac {f-f_ {0}} {f_ {0}}}}$ , primesti

P_{\lambda }(\lambda )d\lambda ={\frac {c}{\lambda _{0}}}P_{v}\left(c\left(1-{\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}\right)\right)d\lambda

{\ displaystyle P _ {\ lambda} (\ lambda) d \ lambda = {\ frac {c} {\ lambda _ {0}}} P_ {v} \ left (c \ left (1 - {\ frac {\ lambda} {\ lambda _ {0}}} \ right) \ right) d \ lambda}

{\ displaystyle P _ {\ lambda} (\ lambda) d \ lambda = {\ frac {c} {\ lambda _ {0}}} P_ {v} \ left (c \ left (1 - {\ frac {\ lambda} {\ lambda _ {0}}} \ right) \ right) d \ lambda}

.

În cazul lărgirii termice Doppler, distribuția vitezei este dată de distribuția Maxwell

P_{v}(v)dv={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\,\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)dv

{\ displaystyle P_ {v} (v) dv = {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi kT}}} \, \ exp \ left (- {\ frac {mv ^ {2}} {2kT} } \ dreapta) dv}

{\ displaystyle P_ {v} (v) dv = {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi kT}}} \, \ exp \ left (- {\ frac {mv ^ {2}} {2kT} } \ dreapta) dv}

,

unde este $\,m$ ${\ displaystyle \, m}$ ${\ displaystyle \, m}$ este masa particulei radiative, $\,T$ ${\ displaystyle \, T}$ ${\ displaystyle \, T}$ este temperatura și $\,k$ ${\ displaystyle \, k}$ ${\ displaystyle \, k}$ este constanta lui Boltzmann .

Atunci

P_{f}(f)df=\left({\frac {c}{f_{0}}}\right){\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\,\exp \left(-{\frac {m\left[c\left({\frac {f}{f_{0}}}-1\right)\right]^{2}}{2kT}}\right)df

{\ displaystyle P_ {f} (f) df = \ left ({\ frac {c} {f_ {0}}} \ right) {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi kT}}} \, \ exp \ left (- {\ frac {m \ left [c \ left ({\ frac {f} {f_ {0}}} - 1 \ right) \ right] ^ {2}} {2kT}} \ right ) df}

{\ displaystyle P_ {f} (f) df = \ left ({\ frac {c} {f_ {0}}} \ right) {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi kT}}} \, \ exp \ left (- {\ frac {m \ left [c \ left ({\ frac {f} {f_ {0}}} - 1 \ right) \ right] ^ {2}} {2kT}} \ right ) df}

.

Putem simplifica această expresie după cum urmează

P_{f}(f)df={\sqrt {\frac {mc^{2}}{2\pi kT{f_{0}}^{2}}}}\,\exp \left(-{\frac {mc^{2}\left(f-f_{0}\right)^{2}}{2kT{f_{0}}^{2}}}\right)df

{\ displaystyle P_ {f} (f) df = {\ sqrt {\ frac {mc ^ {2}} {2 \ pi kT {f_ {0}} ^ {2}}}} \, \ exp \ left ( - {\ frac {mc ^ {2} \ left (f-f_ {0} \ right) ^ {2}} {2kT {f_ {0}} ^ {2}}} \ right) df}

{\ displaystyle P_ {f} (f) df = {\ sqrt {\ frac {mc ^ {2}} {2 \ pi kT {f_ {0}} ^ {2}}}} \, \ exp \ left ( - {\ frac {mc ^ {2} \ left (f-f_ {0} \ right) ^ {2}} {2kT {f_ {0}} ^ {2}}} \ right) df}

,

care este un gaussian cu deviație standard

\sigma _{f}={\sqrt {\frac {kT}{mc^{2}}}}f_{0}

{\ displaystyle \ sigma _ {f} = {\ sqrt {\ frac {kT} {mc ^ {2}}}} f_ {0}}

{\ displaystyle \ sigma _ {f} = {\ sqrt {\ frac {kT} {mc ^ {2}}}} f_ {0}}

și lățimea la jumătate înălțime (LMA)

\Delta f_{\text{LMA}}={\sqrt {\frac {8kT\ln 2}{mc^{2}}}}f_{0}

{\ displaystyle \ Delta f _ {\ text {LMA}} = {\ sqrt {\ frac {8kT \ ln 2} {mc ^ {2}}}} f_ {0}}

{\ displaystyle \ Delta f _ {\ text {LMA}} = {\ sqrt {\ frac {8kT \ ln 2} {mc ^ {2}}}} f_ {0}}

.

În mod similar,

P_{\lambda }(\lambda )d\lambda ={\sqrt {\frac {mc^{2}}{2\pi kT\lambda _{0}^{2}}}}\,\exp \left(-{\frac {mc^{2}(\lambda -\lambda _{0})^{2}}{2kT\lambda _{0}^{2}}}\right)d\lambda

{\ displaystyle P _ {\ lambda} (\ lambda) d \ lambda = {\ sqrt {\ frac {mc ^ {2}} {2 \ pi kT \ lambda _ {0} ^ {2}}}} \, \ exp \ left (- {\ frac {mc ^ {2} (\ lambda - \ lambda _ {0}) ^ {2}} {2kT \ lambda _ {0} ^ {2}}} \ right) d \ lambda}

{\ displaystyle P _ {\ lambda} (\ lambda) d \ lambda = {\ sqrt {\ frac {mc ^ {2}} {2 \ pi kT \ lambda _ {0} ^ {2}}}} \, \ exp \ left (- {\ frac {mc ^ {2} (\ lambda - \ lambda _ {0}) ^ {2}} {2kT \ lambda _ {0} ^ {2}}} \ right) d \ lambda}

cu abatere standard

\sigma _{\lambda }={\sqrt {\frac {kT}{mc^{2}}}}\lambda _{0}

{\ displaystyle \ sigma _ {\ lambda} = {\ sqrt {\ frac {kT} {mc ^ {2}}}} \ lambda _ {0}}

{\ displaystyle \ sigma _ {\ lambda} = {\ sqrt {\ frac {kT} {mc ^ {2}}}} \ lambda _ {0}}

și LMA

\Delta \lambda _{\text{LMA}}={\sqrt {\frac {8kT\ln 2}{mc^{2}}}}\lambda _{0}

{\ displaystyle \ Delta \ lambda _ {\ text {LMA}} = {\ sqrt {\ frac {8kT \ ln 2} {mc ^ {2}}}} lambda _ {0}}

{\ displaystyle \ Delta \ lambda _ {\ text {LMA}} = {\ sqrt {\ frac {8kT \ ln 2} {mc ^ {2}}}} \ lambda _ {0}}

.

Aplicații și limite

În astronomie și fizica plasmei , lărgirea termică Doppler este una dintre explicațiile pentru lărgirea liniilor spectrale și, ca atare, oferă informații despre temperatura materialului observat. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că alte distribuții ale vitezei, cum ar fi mișcarea turbulentă , pot interfera. În prezența unei turbulențe puternice, linia spectrală rezultată este în general foarte dificil de distins de cea termică. ^[2] O altă cauză ar putea fi influența mai multor viteze macroscopice , cum ar fi mișcările de rotație ale porțiunilor probei. Există încă mulți alți factori care pot contribui la extinderea liniei spectrale. De exemplu, un număr suficient de mare de particule poate face mărirea prin presiune semnificativă.

Notă

^ Siegman, AE, Lasere , 1986.
^ Hans R. Griem, Principiile spectroscopiei plasmatice , Cambridge, University Press, 1997, ISBN 0-521-45504-9 .

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] Siegman, AE, Lasere , 1986.

[2] Hans R. Griem, Principiile spectroscopiei plasmatice , Cambridge, University Press, 1997, ISBN 0-521-45504-9 .

[1]

[2]