Calculul betonului armat

Calculul betonului armat este ansamblul operațiilor de inginerie structurală necesare pentru dimensionarea și verificarea secțiunilor și elementelor din betonul armat .

Trebuie verificate tensiunile și deformările cauzate de cele patru acțiuni interne ( acțiune axială , forfecare , moment flexibil , moment de răsucire ) și combinațiile acestora; în special, acest lucru se poate face prin două metode:

calculul tensiunilor admisibile
calculul stării limită (calculul pauzei)

Grinzi

Un element orizontal din beton armat, cum ar fi o grindă, este de obicei supus la îndoire, forfecare și eventual torsiune.

Calcul de îndoire

Momentul de încovoiere este un efort tipic la care sunt supuse elementele structurale, cum ar fi grinzile. În aceste circumstanțe vorbim în mod corespunzător despre un fascicul flexionat, în care există secțiuni care reacționează la momentul de încovoiere și la care este supus cu o distribuție a tensiunilor normale în tracțiune și compresie parțială, fără a lua în considerare prezența tensiunilor datorate tăietura.

Același subiect în detaliu: Grindă și placă .

Pentru ipoteza că rezistența la întindere a betonului este zero, are loc o parțializare a secțiunii cu o piesă de reacție constând dintr-o zonă de beton comprimat plus toate armăturile metalice tensionate și comprimate. Armătura va fi apoi plasată în marginea întinsă a grinzii care constituie grinda întinsă , colaborând cu grinda comprimată constituită din beton.

Comportamentul secțiunilor flexate din beton armat se diferențiază în funcție de nivelurile de solicitare:

Etapa I : niveluri reduse de solicitare, ambele materiale au un comportament elastic, solicitările interne din beton au o tendință liniară (numită fluture), iar secțiunea este complet reactivă. Există, de asemenea, o etapă I ^A în care marginea întinsă își asumă tensiuni apropiate de rezistența sa la tracțiune cu un comportament elastic încă liniar al părții comprimate, nu liniar al celei întinse. Această fază este adesea asimilată etapei I;
Etapa II : odată ce rezistența la întindere a betonului este atinsă, se declanșează fisurarea care se extinde instantaneu la o înălțime apropiată de axa neutră . Stresul de tracțiune este total asumat de partea metalică, iar materialele sunt în condiții de comportament elastic aproape liniar;
Etapa III : solicitări apropiate de rezistența maximă la flexiune a secțiunii și comportamentul nu mai este elastic liniar.

Primele două etape se referă la verificările operaționale ale produsului, în timp ce a treia etapă se referă la verificarea rezistenței.

Comportamentul unei secțiuni flexate

Să observăm comportamentul până la defectarea unei secțiuni de beton armat: Să luăm în considerare o grindă susținută și să o supunem unei sarcini în creștere. După cum sa văzut deja, în procesul de încărcare este posibil să se distingă trei comportamente diferite pentru grindă:

Pentru sarcini reduse, fasciculul nu are goluri. În această fază, deformările sunt foarte mici, iar comportamentul materialelor (oțel și beton) este liniar, așa cum este legea momentului - diagrama de curbură. Prin urmare, grinda se comportă conform modelului Navier preconizat de teoria elasticității, iar diagrama tensiunilor normale pe secțiune va fi de tip fluture (etapa I);
Pe măsură ce faza de încărcare continuă, rezistența la tracțiune a conglomeratului este atinsă într-un anumit punct și primele fisuri apar pe marginea inferioară. Stresul de tracțiune este transferat din betonul întins în oțel și există o reducere a rigidității grinzii. În această fază, numită fisurată, legătura constitutivă a betonului poate fi considerată în continuare cu o bună aproximare a unui tip liniar și comportamentul grinzii este examinat presupunând că rezistența la întindere a betonului este zero (starea II - verificări la stări limită de exercițiu);
Atunci când sarcina este în continuare mărită, legea constitutivă a betonului nu mai este liniară, iar legătura dintre deformare și tensiune este asigurată de curba tensiune - deformare a materialului . În această fază se poate întâmpla ca armăturile să atingă randamentul: în acest caz se observă o creștere rapidă a curburii pentru mici creșteri ale momentului, până când un anumit punct grinda se rupe datorită atingerii deformării limită a betonului la nivelul muchia superioară (starea III - verificări ale stării limită finale).

Calcul elastic

Secțiunea complet reactivă: Etapa I

În cazul etapei I, referindu-se la o secțiune dublă de armare, în scopul calculului elastic este suficient să se omogenizeze zonele de armare cu coeficientul $n=E_{s}/E_{c}$ ${\ displaystyle n = E_ {s} / E_ {c}}$ ${\ displaystyle n = E_ {s} / E_ {c}}$ și utilizați caracteristica rezultată $I_{i}$ ${\ displaystyle I_ {i}}$ $Eu_i$ (moment ideal de inerție) a avea

Schema grafică a secțiunii complet reactive

$\sigma _{c}={\frac {M}{I_{i}}}y_{c}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {c} = {\ frac {M} {I_ {i}}} y_ {c}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {c} = {\ frac {M} {I_ {i}}} y_ {c}}$ Și $\sigma _{s}=n{\frac {M}{I_{i}}}y'_{s}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {s} = n {\ frac {M} {I_ {i}}} y '_ {s}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {s} = n {\ frac {M} {I_ {i}}} y '_ {s}}$ de tracțiune
$\sigma '_{c}=-{\frac {M}{I_{i}}}y'_{c}$ ${\ displaystyle \ sigma '_ {c} = - {\ frac {M} {I_ {i}}} y' _ {c}}$ ${\ displaystyle \ sigma '_ {c} = - {\ frac {M} {I_ {i}}} y' _ {c}}$ Și $\sigma '_{s}=-n{\frac {M}{I_{i}}}y_{s}$ ${\ displaystyle \ sigma '_ {s} = - n {\ frac {M} {I_ {i}}} y_ {s}}$ ${\ displaystyle \ sigma '_ {s} = - n {\ frac {M} {I_ {i}}} y_ {s}}$ comprimare

Momentul ideal de inerție este obținut prin formulele de geometrie a masei:

I_{i}=hb\left[{\frac {h^{2}}{12}}+\left(y_{c}-{\frac {h}{2}}\right)^{2}\right]+nA_{s}y_{s}^{2}+nA'_{s}y_{s}^{'2}

{\ displaystyle I_ {i} = hb \ left [{\ frac {h ^ {2}} {12}} + \ left (y_ {c} - {\ frac {h} {2}} \ right) ^ { 2} \ right] + nA_ {s} y_ {s} ^ {2} + nA '_ {s} y_ {s} ^ {' 2}}

{\ displaystyle I_ {i} = hb \ left [{\ frac {h ^ {2}} {12}} + \ left (y_ {c} - {\ frac {h} {2}} \ right) ^ { 2} \ right] + nA_ {s} y_ {s} ^ {2} + nA '_ {s} y_ {s} ^ {' 2}}

y_{c}={\frac {S'_{i}}{A_{i}}};y'_{c}=h-y_{c};y_{s}=y'_{c}-c;y'_{s}=y_{c}-c'

{\ displaystyle y_ {c} = {\ frac {S '_ {i}} {A_ {i}}}; y' _ {c} = h-y_ {c}; y_ {s} = y '_ { c} -c; y '_ {s} = y_ {c} -c'}

{\ displaystyle y_ {c} = {\ frac {S '_ {i}} {A_ {i}}}; y' _ {c} = h-y_ {c}; y_ {s} = y '_ { c} -c; y '_ {s} = y_ {c} -c'}

S'_{i}={\frac {h^{2}b}{2}}+nA_{s}(h-c)+nA'_{s}c';A_{i}=hb+nA_{s}+nA'_{s}

{\ displaystyle S '_ {i} = {\ frac {h ^ {2} b} {2}} + nA_ {s} (hc) + nA' _ {s} c '; A_ {i} = hb + nA_ {s} + nA '_ {s}}

{\ displaystyle S '_ {i} = {\ frac {h ^ {2} b} {2}} + nA_ {s} (hc) + nA' _ {s} c '; A_ {i} = hb + nA_ {s} + nA '_ {s}}

Secțiune parțială: Etapa II

În faza de cracare, comportamentul unei secțiuni cu armare simplă este analizat în primul rând, pornind de la ipoteza liniarității deformărilor, ipoteza congruenței, ipoteza parțializării secțiunii și în cele din urmă ipoteza elasticității care permite să se ia în considerare din nou liniaritatea. a stresurilor.

Schema grafică a secțiunii partiționate

Sub axa neutră betonul nu funcționează. Indicat cu $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ rezultanta compresiilor si cu $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ rezultanta tractiunilor, echilibrul sectiunii se obtine cu relatia

Z-C=0\Rightarrow {\begin{cases}C=-{\frac {1}{2}}\sigma _{c}bx\\Z=\sigma _{s}A_{s}\end{cases}}\Rightarrow {\frac {1}{2}}\sigma _{c}bx+\sigma _{s}A_{s}=0

{\ displaystyle ZC = 0 \ Rightarrow {\ begin {cases} C = - {\ frac {1} {2}} \ sigma _ {c} bx \\ Z = \ sigma _ {s} A_ {s} \ end {cases}} \ Rightarrow {\ frac {1} {2}} \ sigma _ {c} bx + \ sigma _ {s} A_ {s} = 0}

{\ displaystyle ZC = 0 \ Rightarrow {\ begin {cases} C = - {\ frac {1} {2}} \ sigma _ {c} bx \\ Z = \ sigma _ {s} A_ {s} \ end {cases}} \ Rightarrow {\ frac {1} {2}} \ sigma _ {c} bx + \ sigma _ {s} A_ {s} = 0}

Tensiunile de tracțiune pentru ambele materiale sunt presupuse a fi pozitive și prin scrierea similarității care leagă valorile $\sigma _{s}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {s}}$ $\ sigma _ {s}$ Și $\sigma _{c}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {c}}$ $\ sigma _ {c}$ în diagrama de tensiune se obține

{\frac {\sigma _{s}/n}{d-x}}=-{\frac {\sigma _{c}}{x}}\Rightarrow \sigma _{s}=-n\sigma _{c}{\frac {d-x}{x}}

{\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {s} / n} {dx}} = - {\ frac {\ sigma _ {c}} {x}} \ Rightarrow \ sigma _ {s} = - n \ sigma _ {c} {\ frac {dx} {x}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {s} / n} {dx}} = - {\ frac {\ sigma _ {c}} {x}} \ Rightarrow \ sigma _ {s} = - n \ sigma _ {c} {\ frac {dx} {x}}}

care înlocuit în relația de echilibru a secțiunii prevede:

{\frac {1}{2}}\sigma _{c}bx+(-n\sigma _{c}{\frac {d-x}{x}})A_{s}=0

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ sigma _ {c} bx + (- n \ sigma _ {c} {\ frac {dx} {x}}) A_ {s} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ sigma _ {c} bx + (- n \ sigma _ {c} {\ frac {d-x} {x}}) A_ {s} = 0}

Dezvoltând ecuația în x , rezultă că, în mod banal, pentru alte valori decât 0 avem

{\frac {1}{2}}\sigma _{c}bx^{2}-n\sigma _{c}(d-x)A_{s}=0\Rightarrow x^{2}+{\frac {2nA_{s}}{b}}x-{\frac {2ndA_{s}}{b}}=0

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ sigma _ {c} bx ^ {2} -n \ sigma _ {c} (dx) A_ {s} = 0 \ Rightarrow x ^ {2} + { \ frac {2nA_ {s}} {b}} x - {\ frac {2ndA_ {s}} {b}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ sigma _ {c} bx ^ {2} -n \ sigma _ {c} (dx) A_ {s} = 0 \ Rightarrow x ^ {2} + { \ frac {2nA_ {s}} {b}} x - {\ frac {2ndA_ {s}} {b}} = 0}

a cărei soluție oferă poziția axei neutre, excluzând în mod evident rădăcina negativă deoarece nu are sens fizic:

x=-{\frac {nA_{s}}{b}}+{\sqrt {\left({\frac {nA_{s}}{b}}\right)^{2}+{\frac {2ndA_{s}}{b}}}}=-{\frac {nA_{s}}{b}}+{\sqrt {{\frac {n^{2}A_{s}^{2}}{b^{2}}}\left(1+{\frac {2db}{nA_{s}}}\right)}}={\frac {nA_{s}}{b}}\left[-1+{\sqrt {1+{\frac {2db}{nA_{s}}}}}\right]

{\ displaystyle x = - {\ frac {nA_ {s}} {b}} + {\ sqrt {\ left ({\ frac {nA_ {s}} {b}} \ right) ^ {2} + {\ frac {2ndA_ {s}} {b}}}} = - {\ frac {nA_ {s}} {b}} + {\ sqrt {{\ frac {n ^ {2} A_ {s} ^ {2} } {b ^ {2}}} \ left (1 + {\ frac {2db} {nA_ {s}}} \ right)}} = {\ frac {nA_ {s}} {b}} \ left [- 1 + {\ sqrt {1 + {\ frac {2db} {nA_ {s}}}}} \ right]}

{\ displaystyle x = - {\ frac {nA_ {s}} {b}} + {\ sqrt {\ left ({\ frac {nA_ {s}} {b}} \ right) ^ {2} + {\ frac {2ndA_ {s}} {b}}}} = - {\ frac {nA_ {s}} {b}} + {\ sqrt {{\ frac {n ^ {2} A_ {s} ^ {2} } {b ^ {2}}} \ left (1 + {\ frac {2db} {nA_ {s}}} \ right)}} = {\ frac {nA_ {s}} {b}} \ left [- 1 + {\ sqrt {1 + {\ frac {2db} {nA_ {s}}}}} \ right]}

Verificarea tensiunilor generate de momentul de încovoiere la care este supusă fasciculul îndoit se obține din echilibrul până la rotația care pune cuplul intern în egalitate cu tensiunea. Cu referire la centrul acțiunilor de tracțiune, este scris că $Cz=M$ ${\ displaystyle Cz = M}$ ${\ displaystyle Cz = M}$ cu $z=d-x/3$ ${\ displaystyle z = dx / 3}$ ${\ displaystyle z = d-x / 3}$ brațul cuplului interior și cu $Zz=M$ ${\ displaystyle Zz = M}$ ${\ displaystyle Zz = M}$ cu referire la centrul eforturilor de compresie, se obține

\sigma _{c}=-{\frac {2M}{zbx}}

{\ displaystyle \ sigma _ {c} = - {\ frac {2M} {zbx}}}

{\ displaystyle \ sigma _ {c} = - {\ frac {2M} {zbx}}}

compresie e

\sigma _{s}=-{\frac {M}{zA_{s}}}

{\ displaystyle \ sigma _ {s} = - {\ frac {M} {zA_ {s}}}}

{\ displaystyle \ sigma _ {s} = - {\ frac {M} {zA_ {s}}}}

de tracțiune.

Prin introducerea raportului de armare elastică $\Psi _{s}={\frac {nA_{s}}{bd}}=n\rho _{s}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {s} = {\ frac {nA_ {s}} {bd}} = n \ rho _ {s}}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {s} = {\ frac {nA_ {s}} {bd}} = n \ rho _ {s}}$ formulele care definesc secțiunea reactivului devin

x=d\Psi _{s}\left[-1+{\sqrt {1+{\frac {2}{\Psi _{s}}}}}\right]=\xi d

{\ displaystyle x = d \ Psi _ {s} \ left [-1 + {\ sqrt {1 + {\ frac {2} {\ Psi _ {s}}}} \ right] = \ xi d}

{\ displaystyle x = d \ Psi _ {s} \ left [-1 + {\ sqrt {1 + {\ frac {2} {\ Psi _ {s}}}} \ right] = \ xi d}

Și

z=\left(1-{\frac {\xi }{3}}\right)d=\zeta d

{\ displaystyle z = \ left (1 - {\ frac {\ xi} {3}} \ right) d = \ zeta d}

{\ displaystyle z = \ left (1 - {\ frac {\ xi} {3}} \ right) d = \ zeta d}

unde poziția x axa neutră și brațul z al perechii interne sunt date de mărimi adimensionale $\xi$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ Și $\zeta$ ${\ displaystyle \ zeta}$ $\ zeta$ conform înălțimii utile d .

Toate acestea în cazul unei secțiuni cu armături simple, sau cu armături dispuse numai în zona tensionată a secțiunii. În cazul unei secțiuni duble, aceasta este aranjată în mod similar prin setarea suprafeței totale a armăturii $A_{t}=A_{s}+A'_{s}$ ${\ displaystyle A_ {t} = A_ {s} + A '_ {s}}$ ${\ displaystyle A_ {t} = A_ {s} + A '_ {s}}$ iar raportul elastic al armăturii totale $\Psi _{t}=(mA_{t})/(bd)$ ${\ displaystyle \ Psi _ {t} = (mA_ {t}) / (bd)}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {t} = (mA_ {t}) / (bd)}$ obținându-se că poziția axei neutre este

x=\Psi _{t}\left[-1+{\sqrt {1+{\frac {2\delta }{\Psi _{t}}}}}\right]d

{\ displaystyle x = \ Psi _ {t} \ left [-1 + {\ sqrt {1 + {\ frac {2 \ delta} {\ Psi _ {t}}}} \ right] d}

{\ displaystyle x = \ Psi _ {t} \ left [-1 + {\ sqrt {1 + {\ frac {2 \ delta} {\ Psi _ {t}}}} \ right] d}

cu

$\delta ={\frac {dA_{s}+d'A'_{s}}{A_{t}}}$ ${\ displaystyle \ delta = {\ frac {dA_ {s} + d'A '_ {s}} {A_ {t}}}}$ ${\ displaystyle \ delta = {\ frac {dA_ {s} + d'A '_ {s}} {A_ {t}}}}$

În consecință, avem:

{\begin{cases}\sigma _{c}=-{\frac {M}{I_{i}}}x\\\sigma _{s}=n{\frac {M}{I_{i}}}(d-x)\\\sigma '_{s}=-n{\frac {M}{I_{i}}}(x-d')\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ sigma _ {c} = - {\ frac {M} {I_ {i}}} x \\\ sigma _ {s} = n {\ frac {M} {I_ { i}}} (dx) \\\ sigma '_ {s} = - n {\ frac {M} {I_ {i}}} (x-d') \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ sigma _ {c} = - {\ frac {M} {I_ {i}}} x \\\ sigma _ {s} = n {\ frac {M} {I_ { i}}} (dx) \\\ sigma '_ {s} = - n {\ frac {M} {I_ {i}}} (x-d') \ end {cases}}}

cu

{\begin{cases}I_{i}={\frac {bx^{3}}{3}}+nA_{s}(d-x)^{2}+nA'_{s}(x-d')^{2}\\S'_{i}={\frac {bx^{2}}{2}}+nA'_{s}(x-d')=nA_{s}(d-x)\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} I_ {i} = {\ frac {bx ^ {3}} {3}} + nA_ {s} (dx) ^ {2} + nA '_ {s} (x- d ') ^ {2} \\ S' _ {i} = {\ frac {bx ^ {2}} {2}} + nA '_ {s} (x-d') = nA_ {s} (dx ) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} I_ {i} = {\ frac {bx ^ {3}} {3}} + nA_ {s} (dx) ^ {2} + nA '_ {s} (x- d ') ^ {2} \\ S' _ {i} = {\ frac {bx ^ {2}} {2}} + nA '_ {s} (x-d') = nA_ {s} (dx ) \ end {cases}}}

Calcul la pauză

Același subiect în detaliu: Metodă aproximativă pentru calcularea grinzilor din beton armat .

Armură limitativă: Etapa III

Diagrama grafică a secțiunii la starea limită de rupere

Această etapă a comportamentului flexural, așa cum am menționat, reprezintă realizarea deformării de eșec a unuia dintre cele două materiale, fie că este vorba de expansiune convențională $\varepsilon _{sd}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {sd}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {sd}}$ a armurii întinse sau a ambelor contracții $\varepsilon _{cu}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {cu}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {cu}}$ până la marginea betonului comprimat.

În cazul unei secțiuni dreptunghiulare cu armare simplă, sunt evidențiate trei situații:

câmpul "a" : defectarea armăturii metalice cu $\varepsilon _{s}=\varepsilon _{sd}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {s} = \ varepsilon _ {sd}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {s} = \ varepsilon _ {sd}}$ cu beton care nu se află la limita ultimă $(\varepsilon _{c}<\varepsilon _{cu})$ ${\ displaystyle (\ varepsilon _ {c} <\ varepsilon _ {cu})}$ ${\ displaystyle (\ varepsilon _ {c} <\ varepsilon _ {cu})}$ ;
câmpul "b" : defectarea betonului în marginea comprimată $(\varepsilon _{c}=\varepsilon _{cu})$ ${\ displaystyle (\ varepsilon _ {c} = \ varepsilon _ {cu})}$ ${\ displaystyle (\ varepsilon _ {c} = \ varepsilon _ {cu})}$ cu armuri metalice deja deranjate $\varepsilon _{sd}>\varepsilon _{s}>\varepsilon _{yd}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {sd}> \ varepsilon _ {s}> \ varepsilon _ {yd}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {sd}> \ varepsilon _ {s}> \ varepsilon _ {yd}}$ ;
câmpul "c" : defectarea betonului în marginea comprimată $(\varepsilon _{c}=\varepsilon _{cu})$ ${\ displaystyle (\ varepsilon _ {c} = \ varepsilon _ {cu})}$ ${\ displaystyle (\ varepsilon _ {c} = \ varepsilon _ {cu})}$ cu armură metalică încă în fază elastică $\varepsilon _{s}<\varepsilon _{yd}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {s} <\ varepsilon _ {yd}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {s} <\ varepsilon _ {yd}}$ ;

În câmpul "b" echilibrul intern al rezultanților la traducere se obține după cum urmează:

Z-C=0\Rightarrow {\begin{cases}C=\beta _{0}bxf_{c1}\\Z=A_{s}f_{sd}\end{cases}}\Rightarrow A_{s}f_{sd}-\beta _{0}bxf_{c1}=0\Rightarrow x={\frac {A_{s}f_{sd}}{\beta _{0}bf_{c1}}}={\frac {1}{\beta _{0}}}\omega _{s}d=\xi d

{\ displaystyle ZC = 0 \ Rightarrow {\ begin {cases} C = \ beta _ {0} bxf_ {c1} \\ Z = A_ {s} f_ {sd} \ end {cases}} \ Rightarrow A_ {s} f_ {sd} - \ beta _ {0} bxf_ {c1} = 0 \ Rightarrow x = {\ frac {A_ {s} f_ {sd}} {\ beta _ {0} bf_ {c1}}} = {\ frac {1} {\ beta _ {0}}} \ omega _ {s} d = \ xi d}

{\ displaystyle ZC = 0 \ Rightarrow {\ begin {cases} C = \ beta _ {0} bxf_ {c1} \\ Z = A_ {s} f_ {sd} \ end {cases}} \ Rightarrow A_ {s} f_ {sd} - \ beta _ {0} bxf_ {c1} = 0 \ Rightarrow x = {\ frac {A_ {s} f_ {sd}} {\ beta _ {0} bf_ {c1}}} = {\ frac {1} {\ beta _ {0}}} \ omega _ {s} d = \ xi d}

Situațiile extreme în valorile limită sunt caracterizate după cum urmează:

câmpul "a" : ${\frac {-\varepsilon _{cu}}{x_{a}}}={\frac {\varepsilon _{sd}-\varepsilon _{cu}}{d}}\Rightarrow x_{a}={\frac {-\varepsilon _{cu}}{\varepsilon _{sd}-\varepsilon _{cu}}}d=\xi _{a}d$ ${\ displaystyle {\ frac {- \ varepsilon _ {cu}} {x_ {a}}} = {\ frac {\ varepsilon _ {sd} - \ varepsilon _ {cu}} {d}} \ Rightarrow x_ {a } = {\ frac {- \ varepsilon _ {cu}} {\ varepsilon _ {sd} - \ varepsilon _ {cu}}} d = \ xi _ {a} d}$ ${\ displaystyle {\ frac {- \ varepsilon _ {cu}} {x_ {a}}} = {\ frac {\ varepsilon _ {sd} - \ varepsilon _ {cu}} {d}} \ Rightarrow x_ {a } = {\ frac {- \ varepsilon _ {cu}} {\ varepsilon _ {sd} - \ varepsilon _ {cu}}} d = \ xi _ {a} d}$
câmpul "c" : $x_{c}={\frac {-\varepsilon _{cu}}{\varepsilon _{yd}-\varepsilon _{cu}}}d=\xi _{a}d$ ${\ displaystyle x_ {c} = {\ frac {- \ varepsilon _ {cu}} {\ varepsilon _ {yd} - \ varepsilon _ {cu}}} d = \ xi _ {a} d}$ ${\ displaystyle x_ {c} = {\ frac {- \ varepsilon _ {cu}} {\ varepsilon _ {yd} - \ varepsilon _ {cu}}} d = \ xi _ {a} d}$

În cazul limitativ „a”, $\varepsilon _{sd}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {sd}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {sd}}$ este o valoare care rămâne independentă de tipul de oțel utilizat, în timp ce în cazul limită „b” valoarea $\varepsilon _{yd}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {yd}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {yd}}$ depinde de randamentul care variază în funcție de tipul de oțel utilizat.

Procentele mecanice corespunzătoare $\omega _{sa}=\beta _{0}\xi _{a}$ ${\ displaystyle \ omega _ {sa} = \ beta _ {0} \ xi _ {a}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {sa} = \ beta _ {0} \ xi _ {a}}$ Și $\omega _{sc}=\beta _{0}\xi _{c}$ ${\ displaystyle \ omega _ {sc} = \ beta _ {0} \ xi _ {c}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {sc} = \ beta _ {0} \ xi _ {c}}$ furnizați așa-numitele întăriri limită, adică acele valori care separă câmpurile:

Câmpul "a" de armură slabă ;
Câmpul "b" al armurii medii ;
Câmpul „c” al armurii puternice .

În condiții de echilibru, calculul rezistenței la flexiune $M_{rd}$ ${\ displaystyle M_ {rd}}$ ${\ displaystyle M_ {rd}}$ , pentru verificarea împotriva efortului $M_{ad}$ ${\ displaystyle M_ {ad}}$ ${\ displaystyle M_ {ad}}$ agent, la starea limită finală a secțiunii trebuie să verifice relația:

M_{rd}\geq M_{ad}

{\ displaystyle M_ {rd} \ geq M_ {ad}}

{\ displaystyle M_ {rd} \ geq M_ {ad}}

Câmpul a : loc $\xi <\xi _{a}$ ${\ displaystyle \ xi <\ xi _ {a}}$ ${\ displaystyle \ xi <\ xi _ {a}}$ , ne regăsim în câmpul întăririlor slabe și scriind similitudinea dedusă din diagrama de deformare pe care o avem

-{\frac {\varepsilon _{c}}{x}}={\frac {\varepsilon _{sd}}{d-x}}

{\ displaystyle - {\ frac {\ varepsilon _ {c}} {x}} = {\ frac {\ varepsilon _ {sd}} {dx}}}

{\ displaystyle - {\ frac {\ varepsilon _ {c}} {x}} = {\ frac {\ varepsilon _ {sd}} {d-x}}}

Se menține contracția membrului comprimat al betonului în ceea ce privește poziția axei neutre

{\bar {\varepsilon }}_{c}={\frac {\varepsilon _{c}}{\varepsilon _{cu}}}={\frac {x}{d-x}}{\frac {\varepsilon _{sd}}{-\varepsilon _{cu}}}={\frac {\xi }{1-\xi }}\alpha _{1}

{\ displaystyle {\ bar {\ varepsilon}} _ {c} = {\ frac {\ varepsilon _ {c}} {\ varepsilon _ {cu}}} = {\ frac {x} {dx}} {\ frac {\ varepsilon _ {sd}} {- \ varepsilon _ {cu}}} = {\ frac {\ xi} {1- \ xi}} \ alpha _ {1}}

{\ displaystyle {\ bar {\ varepsilon}} _ {c} = {\ frac {\ varepsilon _ {c}} {\ varepsilon _ {cu}}} = {\ frac {x} {dx}} {\ frac {\ varepsilon _ {sd}} {- \ varepsilon _ {cu}}} = {\ frac {\ xi} {1- \ xi}} \ alpha _ {1}}

Având în vedere valoarea $\xi =x/d$ ${\ displaystyle \ xi = x / d}$ ${\ displaystyle \ xi = x / d}$ si cu $\alpha _{1}=1,00/0,35=2,86$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1} = 1,00 / 0,35 = 2,86}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1} = 1,00 / 0,35 = 2,86}$ și folosind expresiile pentru coeficienți

{\begin{cases}\beta =(1,6-0,8{\bar {\varepsilon }}_{c}){\bar {\varepsilon }}_{c}\\\kappa =0,33+0,07{\bar {\varepsilon }}_{c}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ beta = (1,6-0,8 {\ bar {\ varepsilon}} _ {c}) {\ bar {\ varepsilon}} _ {c} \\\ kappa = 0,33 + 0,07 {\ bar {\ varepsilon}} _ {c} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ beta = (1,6-0,8 {\ bar {\ varepsilon}} _ {c}) {\ bar {\ varepsilon}} _ {c} \\\ kappa = 0,33 + 0,07 {\ bar {\ varepsilon}} _ {c} \ end {cases}}}

echilibrul cu translația se obține prin relație

\beta bxf_{c1}-A_{s}\cdot f_{sd}=0

{\ displaystyle \ beta bxf_ {c1} -A_ {s} \ cdot f_ {sd} = 0}

{\ displaystyle \ beta bxf_ {c1} -A_ {s} \ cdot f_ {sd} = 0}

Momentul de rezistență, prin urmare, ține:

M_{rd}=A_{s}\cdot f_{sd}\zeta d

{\ displaystyle M_ {rd} = A_ {s} \ cdot f_ {sd} \ zeta d}

{\ displaystyle M_ {rd} = A_ {s} \ cdot f_ {sd} \ zeta d}

Câmpul b : echilibrul de translație duce la identificarea axei neutre $\xi =-\omega _{s}/\beta _{0}$ ${\ displaystyle \ xi = - \ omega _ {s} / \ beta _ {0}}$ ${\ displaystyle \ xi = - \ omega _ {s} / \ beta _ {0}}$ și a verificat că rezultă

\xi _{a}\leq \xi \leq \xi _{c}

{\ displaystyle \ xi _ {a} \ leq \ xi \ leq \ xi _ {c}}

{\ displaystyle \ xi _ {a} \ leq \ xi \ leq \ xi _ {c}}

momentul de rezistență se obține de la echilibru la rotație

M_{rd}=Z\cdot z=f_{sd}A_{s}\zeta d

{\ displaystyle M_ {rd} = Z \ cdot z = f_ {sd} A_ {s} \ zeta d}

{\ displaystyle M_ {rd} = Z \ cdot z = f_ {sd} A_ {s} \ zeta d}

cu

\zeta =1-\kappa _{0}\cdot \xi

{\ displaystyle \ zeta = 1- \ kappa _ {0} \ cdot \ xi}

{\ displaystyle \ zeta = 1- \ kappa _ {0} \ cdot \ xi}

Este semnificativ faptul că raportul de armare mecanică, calculat pe baza geometriei secțiunii și a rezistenței materialelor, este egal cu

\omega _{s}={\frac {A_{s}f_{sd}}{bdf_{c1}}}

{\ displaystyle \ omega _ {s} = {\ frac {A_ {s} f_ {sd}} {bdf_ {c1}}}}

{\ displaystyle \ omega _ {s} = {\ frac {A_ {s} f_ {sd}} {bdf_ {c1}}}}

care corespunde extensiei diagramei constantei de compresie a modelului „ bloc de tensiune ”:

{\bar {x}}=\omega _{s}d=\beta _{0}x

{\ displaystyle {\ bar {x}} = \ omega _ {s} d = \ beta _ {0} x}

{\ displaystyle {\ bar {x}} = \ omega _ {s} d = \ beta _ {0} x}

Acest model presupune o suprafață redusă de beton comprimat solicitat uniform și rezultă, plasând rezultatul $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ la înălțime pe jumătate comprimată, brațul din nou

z=d-{\bar {x}}/2=(1-\omega _{s}/2)d

{\ displaystyle z = d - {\ bar {x}} / 2 = (1- \ omega _ {s} / 2) d}

{\ displaystyle z = d - {\ bar {x}} / 2 = (1- \ omega _ {s} / 2) d}

Câmpul c : în domeniul armăturilor puternice, oțelul este în faza elastică cu $\sigma _{s}=E_{s}\varepsilon _{s}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {s} = E_ {s} \ varepsilon _ {s}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {s} = E_ {s} \ varepsilon _ {s}}$ apoi locul

-{\frac {\varepsilon _{cu}}{x}}={\frac {\varepsilon _{s}}{d-x}}\Rightarrow {\bar {\varepsilon }}_{s}={\frac {\varepsilon _{s}}{\varepsilon _{yd}}}={\frac {d-x}{x}}{\frac {-\varepsilon _{cu}}{\varepsilon _{yd}}}={\frac {1-\xi }{\xi }}{\frac {1}{\alpha _{0}}}

{\ displaystyle - {\ frac {\ varepsilon _ {cu}} {x}} = {\ frac {\ varepsilon _ {s}} {dx}} \ Rightarrow {\ bar {\ varepsilon}} _ {s} = {\ frac {\ varepsilon _ {s}} {\ varepsilon _ {yd}}} = {\ frac {dx} {x}} {\ frac {- \ varepsilon _ {cu}} {\ varepsilon _ {yd} }} = {\ frac {1- \ xi} {\ xi}} {\ frac {1} {\ alpha _ {0}}}}

{\ displaystyle - {\ frac {\ varepsilon _ {cu}} {x}} = {\ frac {\ varepsilon _ {s}} {dx}} \ Rightarrow {\ bar {\ varepsilon}} _ {s} = {\ frac {\ varepsilon _ {s}} {\ varepsilon _ {yd}}} = {\ frac {dx} {x}} {\ frac {- \ varepsilon _ {cu}} {\ varepsilon _ {yd} }} = {\ frac {1- \ xi} {\ xi}} {\ frac {1} {\ alpha _ {0}}}}

Scriind tensiunea oțelului ca

\sigma _{s}=E_{s}\varepsilon _{yd}{\bar {\varepsilon }}_{s}=f_{yd}{\frac {1-\xi }{\xi }}{\frac {1}{\alpha _{0}}}

{\ displaystyle \ sigma _ {s} = E_ {s} \ varepsilon _ {yd} {\ bar {\ varepsilon}} _ {s} = f_ {yd} {\ frac {1- \ xi} {\ xi} } {\ frac {1} {\ alpha _ {0}}}}

{\ displaystyle \ sigma _ {s} = E_ {s} \ varepsilon _ {yd} {\ bar {\ varepsilon}} _ {s} = f_ {yd} {\ frac {1- \ xi} {\ xi} } {\ frac {1} {\ alpha _ {0}}}}

echilibrul translațional se obține prin relația care dă poziția axei neutre

\beta _{0}bxf_{c1}-A_{s}\sigma _{s}\Rightarrow \beta _{0}\alpha _{0}\xi ^{2}+\omega _{s}\xi -\omega _{s}=0\Rightarrow \xi ={\frac {\omega _{s}}{2\beta _{0}\alpha _{0}}}\left(-1+{\sqrt {1+{\frac {4\beta _{0}\alpha _{0}}{\omega _{s}}}}}\right)

{\ displaystyle \ beta _ {0} bxf_ {c1} -A_ {s} \ sigma _ {s} \ Rightarrow \ beta _ {0} \ alpha _ {0} \ xi ^ {2} + \ omega _ {s } \ xi - \ omega _ {s} = 0 \ Rightarrow \ xi = {\ frac {\ omega _ {s}} {2 \ beta _ {0} \ alpha _ {0}}} \ left (-1+ {\ sqrt {1 + {\ frac {4 \ beta _ {0} \ alpha _ {0}} {\ omega _ {s}}}}} \ right)}

{\ displaystyle \ beta _ {0} bxf_ {c1} -A_ {s} \ sigma _ {s} \ Rightarrow \ beta _ {0} \ alpha _ {0} \ xi ^ {2} + \ omega _ {s } \ xi - \ omega _ {s} = 0 \ Rightarrow \ xi = {\ frac {\ omega _ {s}} {2 \ beta _ {0} \ alpha _ {0}}} \ left (-1+ {\ sqrt {1 + {\ frac {4 \ beta _ {0} \ alpha _ {0}} {\ omega _ {s}}}}} \ right)}

Echilibrul de rotație, considerat apoi în raport cu centrul rotațiilor, este valid

M_{rd}=\sigma _{d}A_{s}\zeta d=f_{yd}{\frac {1-\xi }{\xi }}{\frac {1}{\alpha _{0}}}A_{s}(1-\kappa _{0}\xi )d\Rightarrow M_{rd}=\beta _{0}f_{c1}b\xi (1-\kappa _{0}\xi )d^{2}

{\ displaystyle M_ {rd} = \ sigma _ {d} A_ {s} \ zeta d = f_ {yd} {\ frac {1- \ xi} {\ xi}} {\ frac {1} {\ alpha _ {0}}} A_ {s} (1- \ kappa _ {0} \ xi) d \ Rightarrow M_ {rd} = \ beta _ {0} f_ {c1} b \ xi (1- \ kappa _ {0 } \ xi) d ^ {2}}

{\ displaystyle M_ {rd} = \ sigma _ {d} A_ {s} \ zeta d = f_ {yd} {\ frac {1- \ xi} {\ xi}} {\ frac {1} {\ alpha _ {0}}} A_ {s} (1- \ kappa _ {0} \ xi) d \ Rightarrow M_ {rd} = \ beta _ {0} f_ {c1} b \ xi (1- \ kappa _ {0 } \ xi) d ^ {2}}

Cu toate acestea, secțiunile puternic armate calculate cu relații au un comportament fragil care, de regulă, ar trebui evitat. Dacă nu este posibilă mărirea dimensiunilor betonului, este recomandabil să plasați armăturile în zona comprimată, formând o secțiune cu armătură dublă, a cărei rezistență este calculată prin deducerea mai întâi a părții de reacție a betonului comprimat din echilibru la traducere.

Presupunând că suntem în câmpul "b" (armură comprimată, care este, de asemenea, neenervată), avem:

A_{s}f_{sd}-A'_{s}f_{sd}-b{\bar {x}}f_{c1}=0\Rightarrow {\bar {x}}=(\omega _{s}-\omega '_{s})d

{\ displaystyle A_ {s} f_ {sd} -A '_ {s} f_ {sd} -b {\ bar {x}} f_ {c1} = 0 \ Rightarrow {\ bar {x}} = (\ omega _ {s} - \ omega '_ {s}) d}

{\ displaystyle A_ {s} f_ {sd} -A '_ {s} f_ {sd} -b {\ bar {x}} f_ {c1} = 0 \ Rightarrow {\ bar {x}} = (\ omega _ {s} - \ omega '_ {s}) d}

Axa neutră, $x={\bar {x}}/\beta _{0}$ ${\ displaystyle x = {\ bar {x}} / \ beta _ {0}}$ ${\ displaystyle x = {\ bar {x}} / \ beta _ {0}}$ , crește eliminând situația limită de pe armăturile puternice și a verificat starea de cedare a armăturilor

\varepsilon _{s}=-{\frac {d-x}{x}}\varepsilon _{cu}\geq \varepsilon _{yd}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {s} = - {\ frac {dx} {x}} \ varepsilon _ {cu} \ geq \ varepsilon _ {yd}}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {s} = - {\ frac {d-x} {x}} \ varepsilon _ {cu} \ geq \ varepsilon _ {yd}}

Și

\varepsilon '_{s}=-{\frac {d'}{x}}\varepsilon _{cu}\leq -\varepsilon _{yd}

{\ displaystyle \ varepsilon '_ {s} = - {\ frac {d'} {x}} \ varepsilon _ {cu} \ leq - \ varepsilon _ {yd}}

{\ displaystyle \ varepsilon '_ {s} = - {\ frac {d'} {x}} \ varepsilon _ {cu} \ leq - \ varepsilon _ {yd}}

momentul rezistent poate fi dedus din echilibrul de rotație al secțiunii:

M_{rd}=A_{s}f_{sd}(d-{\bar {x}}/2)+A'_{s}f_{sd}({\bar {x}}/2-d')

{\ displaystyle M_ {rd} = A_ {s} f_ {sd} (d - {\ bar {x}} / 2) + A '_ {s} f_ {sd} ({\ bar {x}} / 2 -d ')}

{\ displaystyle M_ {rd} = A_ {s} f_ {sd} (d - {\ bar {x}} / 2) + A '_ {s} f_ {sd} ({\ bar {x}} / 2 -d ')}

Calculul prin forfecare

În cazul solicitării la forfecare, grinzile din beton armat prezintă un comportament diferit de teoria grinzii de Saint Venant și din acest motiv vor fi amintite diferite modele, fără a menționa faptul că acțiunile de forfecare sunt strâns legate de acțiunile de îndoire, deci un model care ia în considerare această operațiune combinată.

În ceea ce privește momentul de încovoiere, se presupune o stare inițială în care comportamentul elastic rămâne și se aplică formula lui Jourawski . Dacă secțiunea se află în etapa I , în ceea ce privește momentul de încovoiere, se va deduce o diagramă $\tau =\tau (y)$ ${\ displaystyle \ tau = \ tau (y)}$ ${\ displaystyle \ tau = \ tau (y)}$ a căror valoare maximă va corespunde coardei barycentrice și va fi în valoare ${\bar {\tau }}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ tau}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ tau}}}$

\tau ={\frac {VS}{Ib}}\Rightarrow {\bar {\tau }}={\frac {V{\bar {S}}_{i}}{I_{i}b}}={\frac {V}{zb}}

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {VS} {Ib}} \ Rightarrow {\ bar {\ tau}} = {\ frac {V {\ bar {S}} _ {i}} {I_ {i} b }} = {\ frac {V} {zb}}}

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {VS} {Ib}} \ Rightarrow {\ bar {\ tau}} = {\ frac {V {\ bar {S}} _ {i}} {I_ {i} b }} = {\ frac {V} {zb}}}

În cazul corespondenței cu stadiul II , aceeași formulă Jourawski referită la secțiunea reactivului parțializat duce la diagrame $\tau =\tau (y)$ ${\ displaystyle \ tau = \ tau (y)}$ ${\ displaystyle \ tau = \ tau (y)}$ în care tensiunea tangențială rămâne constantă pe toată secțiunea parțializată (crăpată) și egală cu valoarea maximă menționată mai sus.

Cu toate acestea, acest tratament nu ia în considerare un element fundamental, și anume că, dacă rezistența la tracțiune a betonului este neglijată (ipoteza formulată în cazul solicitării la îndoire) nu poate exista o solicitare tangențială, de aceea este necesar să se ia în considerare comportamentul unei fasciculul supus creșterii treptate a intensității sarcinii. Atâta timp cât principalele tensiuni de tracțiune nu depășesc limita de rupere, tendința izostaticelor presupune un flux transversal la 45 ° de compresii care merg spre clapeta superioară și de tractiuni care coboară spre linia centrală, canalizându-se orizontal către margini, unde tensiunile tangențiale sunt anulate în timp ce cele normale ating valoarea maximă.

Crăparea apare atunci când se atinge limita de rupere a tensiunii principale de tracțiune: dacă componenta de îndoire a tensiunii apare în zona centrală, fisura începe de la marginea tensionată și se extinde pe verticală, dacă apare în secțiunile terminale, prevalează componenta de forfecare fisura apare la centrul de greutate îndreptat la 45 °. În zonele intermediare, unde există atât o componentă de forfecare, cât și o componentă de flexie, fisurile pot apărea de la marginea inferioară și se pot extinde cu o traiectorie înclinată pe pânza grinzii.

Odată cu apariția fisurării, apare ipoteza parțializării, care ar necesita o distribuție constantă a tensiunilor tangențiale în zona tensionată a betonului. Fluxul încrucișat al tensiunilor, de fapt, nu se poate răspândi uniform în partea tensionată a fasciculului și, prin urmare, sunt necesare modele mai complexe pentru o analiză corectă a fasciculului în faza fisurată, mai ales dacă doriți să evaluați rezistența la forfecare finală (etapa III).

Același subiect în detaliu: Mörsch Spellis .

Grinzi fără armături de forfecare

Alte contribuții la rezistență:

Compresie axială
Rețea agregată ( blocare agregată )
Efectul Bietta ( acțiune cu dibluri ) este efectul cauzat de armăturile longitudinale din oțel care trec prin fisurile din secțiuni. Această acțiune contribuie la creșterea rezistenței la solicitări de forfecare. Evaluarea acestei contribuții rezistente depinde de diverși factori, precum diametrul , distribuția barelor sau granulometria agregatelor din beton.

Grinzi cu armătură de forfecare

Armătura de forfecare constă din:

Fiare de călcat îndoite: fiare de călcat orizontale îndoite la 45 ° de sus în jos;
Etrierii: bare care pot lua diferite forme (U, dublu U sau dreptunghiular), plasate perpendicular pe barele de armare orizontale.

Calculul torsiunii

Același subiect în detaliu: spalierul lui Rausch .

Se presupune că rezistența conglomeratului la solicitări de tracțiune este egală cu rezistența la forfecare (valoarea trebuie să fie între 0 și τc1). Dacă solicitarea aplicată este mai mare decât rezistența conglomeratului (dar în orice caz mai mică decât rezistența sa τc1), se utilizează armături spirale sau armături orizontale sau verticale amplasate în zonele supuse cuplului maxim (în mijlocul secțiunii).

Stâlpi

Același subiect în detaliu: Pilon .

Stâlpii sunt elemente structurale verticale concepute pentru a transfera sarcina punților către structurile de fundație. De obicei sunt realizate cu piese turnate la fața locului, chiar dacă pot fi realizate cu prefabricare totală sau parțială. Cu stâlpii turnați în poziție, este mai ușor să faceți o legătură monolitică cu celelalte elemente structurale.

Stâlpii sunt supuși sarcinilor verticale, orizontale și momentelor de încovoiere datorate:

greutăți proprii și supraîncărcări ale punților transmise stâlpilor de grinzile podelei;
azioni orizzontali dovute a sisma, a vento ea dilatazioni termiche trasmesse ai pilastri dagli impalcati assunti con infinita rigidezza nel proprio piano.

Si osserva che i carichi verticali dovuti agli impalcati possono indurre elevate sollecitazioni di flessione nei pilastri per dissimmetria di carico. Tale evento ricorre con frequenza nei pilastri di bordo, specie d'angolo, e tutte le volte che si verificano evidenti variazioni di luce nelle travi incidenti un pilastro. Per una sommaria valutazione del carico agente su un pilastro, si può procedere sulla base delle superfici di influenza del solaio. Per valutazioni più rigorose, si deve procedere a modelli di calcolo più appropriati come telai piani o spaziali.

Le prescrizioni poste dalla normativa per tale stato di sollecitazione sono le seguenti:

se la sezione è poligonale l'armatura longitudinale deve prevedere almeno un ferro per ogni vertice del poligono, se la sezione è circolare occorre prevedere almeno sei ferri longitudinali equi distribuiti;
il diametro minimo delle armature longitudinali è di 12 mm, per elementi prefabbricati 10 mm;
deve essere sempre presente un'armatura trasversale (staffa) di diametro maggiore od uguale a 6 mm. Le staffe devono essere chiuse e con ripiegature che entrino all'interno della sezione. Il copriferro misurato all'esterno delle staffe deve risultare maggiore od eguale a 2 cm. Le staffe debbono avere un passo non maggiore a quindici volte il diametro minimo delle armature longitudinali e comunque non superiore a 25 cm.
L'armatura longitudinale deve:
- risultare maggiore od uguale all'otto per mille della sezione di conglomerato strettamente necessaria;
- risultare maggiore del tre per mille della sezione effettiva di conglomerato;
- risultare minore del sei per cento della sezione effettiva di conglomerato.

Calcolo ad azione assiale centrata

Tale sollecitazione può essere sia di compressione che di trazione e generalmente incide su elementi strutturali come i pilastri.

Tali elementi in cemento armato sono provvisti di due ordini di armature, una longitudinale costituita da ferri posti generalmente agli spigoli della sezione (ed eventualmente anche sui lati più lunghi della medesima) ed una trasversale costituita da ferri, sagomati similmente alla sezione in modo da racchiudere il fascio di ferri longitudinali, detti staffe .

Nei pilastri sottoposti all'azione di compressione non sorgono generalmente tensioni di trazione , si potrebbe dunque non adottare alcuna armatura metallica in virtù della resistenza a compressione del calcestruzzo. Tuttavia la fragilità del calcestruzzo richiede un correttivo e si tende ad adottare una "gabbia" metallica superficiale. Tale gabbia va rapportata alla massa di conglomerato da armare, in modo da ottenere una prescrizione sulle armature minime secondo la relazione:

A_{s}\geq \rho _{0}A_{c}

A_{s}\geq \rho _{0}A_{c}

A_{s}\geq \rho _{0}A_{c}

in cui si impone il valore minimo $\rho _{0}$ $\rho _{0}$ $\rho _{0}$ (per esempio $\rho _{0}=0,\!003$ $\rho _{0}=0,\!003$ $\rho _{0}=0,\!003$ ) al rapporto geometrico d'armatura longitudinale $\rho _{s}$ $\rho _{s}$ $\rho _{s}$ , quindi

A_{s}\geq \rho _{0}A_{c}\Rightarrow {\frac {A_{s}}{A_{c}}}=\rho _{s}\geq \rho _{0}=0,\!003

A_{s}\geq \rho _{0}A_{c}\Rightarrow {\frac {A_{s}}{A_{c}}}=\rho _{s}\geq \rho _{0}=0,\!003

A_{s}\geq \rho _{0}A_{c}\Rightarrow {\frac {A_{s}}{A_{c}}}=\rho _{s}\geq \rho _{0}=0,\!003

Calcolo elastico

Data una sezione in calcestruzzo armato soggetta ad una forza $N$ ${\displaystyle N}$ $N$ centrata di compressione, nella prima ipotesi di calcolo si pone che la sezione stessa trasli rimanendo piana, manifestando sotto carico una deformazione $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ costante (in questo caso una contrazione), che vi sia perfetta aderenza tra i due materiali, derivandone che entrambi subiscono la stessa deformazione ( $\varepsilon _{s}=\varepsilon _{c}=\varepsilon$ $\varepsilon _{s}=\varepsilon _{c}=\varepsilon$ $\varepsilon _{s}=\varepsilon _{c}=\varepsilon$ ) e che la sezione reagente al carico non coincida con la sezione geometrica.

Per un calcolo elastico, le tensioni nei due materiali si ottengono attraverso la legge di Hooke :

{\begin{cases}\sigma _{c}=E_{c}\varepsilon _{c}=E_{c}\varepsilon \\\sigma _{s}=E_{s}\varepsilon _{s}=E_{s}\varepsilon \end{cases}}

{\begin{cases}\sigma _{c}=E_{c}\varepsilon _{c}=E_{c}\varepsilon \\\sigma _{s}=E_{s}\varepsilon _{s}=E_{s}\varepsilon \end{cases}}

{\begin{cases}\sigma _{c}=E_{c}\varepsilon _{c}=E_{c}\varepsilon \\\sigma _{s}=E_{s}\varepsilon _{s}=E_{s}\varepsilon \end{cases}}

In virtù dell'ipotesi di eguaglianza tra le deformazioni si ha che $\sigma _{s}=n\sigma _{c}$ $\sigma _{s}=n\sigma _{c}$ $\sigma _{s}=n\sigma _{c}$ con $m=E_{s}/E_{c}$ $m=E_{s}/E_{c}$ $m=E_{s}/E_{c}$ . L'equilibrio alla traslazione della sezione si pone con la seguente relazione

\sigma _{c}A_{c}+\sigma _{s}A_{s}=N\Rightarrow \sigma _{c}(A_{c}+nA_{s})=\sigma _{c}A_{i}=N

\sigma _{c}A_{c}+\sigma _{s}A_{s}=N\Rightarrow \sigma _{c}(A_{c}+nA_{s})=\sigma _{c}A_{i}=N

\sigma _{c}A_{c}+\sigma _{s}A_{s}=N\Rightarrow \sigma _{c}(A_{c}+nA_{s})=\sigma _{c}A_{i}=N

$A_{i}$ $A_{i}$ $A_{i}$ è definita l'area ideale della sezione ragguagliata al calcestruzzo, ovvero si "trasforma", attraverso un coefficiente di omogeneizzazione $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ , l'area dell'acciaio in area di calcestruzzo. Definendo rapporto elastico d'armatura

\Psi _{s}={\frac {E_{s}A_{s}}{E_{c}A_{c}}}=n\rho _{s}

\Psi _{s}={\frac {E_{s}A_{s}}{E_{c}A_{c}}}=n\rho _{s}

\Psi _{s}={\frac {E_{s}A_{s}}{E_{c}A_{c}}}=n\rho _{s}

si può scrivere che:

\sigma _{c}(A_{c}+nA_{s})=\sigma _{c}A_{i}=N\Rightarrow A_{i}=A_{c}(1+\Psi _{s})

\sigma _{c}(A_{c}+nA_{s})=\sigma _{c}A_{i}=N\Rightarrow A_{i}=A_{c}(1+\Psi _{s})

\sigma _{c}(A_{c}+nA_{s})=\sigma _{c}A_{i}=N\Rightarrow A_{i}=A_{c}(1+\Psi _{s})

Il valore delle tensioni generate dallo sforzo normale centrato $N$ ${\displaystyle N}$ $N$ valgono

{\begin{cases}\sigma _{c}={\frac {N}{A_{i}}}\\\sigma _{s}=n\sigma _{c}\end{cases}}

{\begin{cases}\sigma _{c}={\frac {N}{A_{i}}}\\\sigma _{s}=n\sigma _{c}\end{cases}}

{\begin{cases}\sigma _{c}={\frac {N}{A_{i}}}\\\sigma _{s}=n\sigma _{c}\end{cases}}

Assumendo il valore caratteristico dell'azione, tali formule si impiegano per le verifiche di esercizio $\sigma _{c}<{\bar {\sigma }}_{c}$ $\sigma _{c}<{\bar {\sigma }}_{c}$ $\sigma _{c}<{\bar {\sigma }}_{c}$ con ${\bar {\sigma }}_{c}=0,\!45f_{c}k$ ${\bar {\sigma }}_{c}=0,\!45f_{c}k$ ${\bar {\sigma }}_{c}=0,\!45f_{c}k$ per situazioni non transitorie di carico.

Calcolo a rottura

Esempio di armatura cerchiata per pilastri

Per il calcolo a rottura o allo stato limite ultimo l'ipotesi elastica va sostituita con le leggi costitutive $\sigma -\varepsilon$ $\sigma -\varepsilon$ $\sigma -\varepsilon$ dei due materiali.

Nelle sezioni di calcestruzzo compresse assialmente non si hanno, a differenza delle travi inflesse in cui la variabilità delle tensioni offre un certo grado di "iperstaticità" al sistema, situazioni in cui vi siano fibre della sezione meno caricate che offrono il controllo alle deformazioni rispetto a quelle più caricate.

Per tale motivo si assume il limite $\varepsilon _{c1}$ $\varepsilon _{c1}$ $\varepsilon _{c1}$ quale contrazione limite di rottura. La presenza di armatura, qualora non sia già snervata, potrebbe fornire un ulteriore controllo delle deformazioni per poter superare tale valore, almeno fino al limite di snervamento della stessa armatura, raggiunto il quale si perde ogni iperstaticità interna.

Supposto quindi un incremento istantaneo di carico, l'equilibrio della sezione si pone con l'equazione:

N_{rd}=f_{c1}\cdot A_{c}+\sigma ^{*}A_{s}

N_{rd}=f_{c1}\cdot A_{c}+\sigma ^{*}A_{s}

N_{rd}=f_{c1}\cdot A_{c}+\sigma ^{*}A_{s}

dove $\sigma ^{*}=f_{sd}$ $\sigma ^{*}=f_{sd}$ $\sigma ^{*}=f_{sd}$ qualora risulti che $\varepsilon _{yd}<\varepsilon _{c1}$ $\varepsilon _{yd}<\varepsilon _{c1}$ $\varepsilon _{yd}<\varepsilon _{c1}$ . In modo analogo alla formula elastica si ottiene

N_{rd}=f_{c1}\left(A_{c}+{\frac {f_{sd}}{f_{c1}}}A_{s}\right)=f_{c1}A_{i}

N_{rd}=f_{c1}\left(A_{c}+{\frac {f_{sd}}{f_{c1}}}A_{s}\right)=f_{c1}A_{i}

N_{rd}=f_{c1}\left(A_{c}+{\frac {f_{sd}}{f_{c1}}}A_{s}\right)=f_{c1}A_{i}

dove l'area ideale ragguagliata al calcestruzzo vale

A_{i}=A_{c}+{\frac {f_{sd}}{f_{c1}}}A_{s}=A_{c}(1+\omega _{s})

A_{i}=A_{c}+{\frac {f_{sd}}{f_{c1}}}A_{s}=A_{c}(1+\omega _{s})

A_{i}=A_{c}+{\frac {f_{sd}}{f_{c1}}}A_{s}=A_{c}(1+\omega _{s})

In questo caso il coefficiente di omogeneizzazione dell'area metallica è dato dal rapporto delle due tensioni resistenti, mentre il coefficiente adimensionale, detto rapporto meccanico d'armatura indica l'apporto relativo dell'armatura metallica in confronto alla resistenza secondo la relazione

\omega _{s}={\frac {f_{sd}A_{s}}{f_{c1}A_{c}}}

\omega _{s}={\frac {f_{sd}A_{s}}{f_{c1}A_{c}}}

\omega _{s}={\frac {f_{sd}A_{s}}{f_{c1}A_{c}}}

Per capire l'ordine di grandezza del rapporto meccanico d'armatura si valutano tre situazioni:

Inferiore	Tipo minore d'acciaio con classe maggiore di cls	$\omega _{s}=0,\!003\,{\frac {215/1,\!15}{0,\!85\cdot 0,\!83\cdot 40/1,\!6}}\cong 0,\!03$ $\omega _{s}=0,\!003\,{\frac {215/1,\!15}{0,\!85\cdot 0,\!83\cdot 40/1,\!6}}\cong 0,\!03$ $\omega _{s}=0,\!003\,{\frac {215/1,\!15}{0,\!85\cdot 0,\!83\cdot 40/1,\!6}}\cong 0,\!03$
Intermedio	Accoppiamento più equilibrato di materiali	$\omega _{s}=0,\!008\,{\frac {430/1,\!15}{0,\!85\cdot 0,\!83\cdot 30/1,\!6}}\cong 0,\!23$ $\omega _{s}=0,\!008\,{\frac {430/1,\!15}{0,\!85\cdot 0,\!83\cdot 30/1,\!6}}\cong 0,\!23$ $\omega _{s}=0,\!008\,{\frac {430/1,\!15}{0,\!85\cdot 0,\!83\cdot 30/1,\!6}}\cong 0,\!23$
Superiore	Tipo maggiore d'acciaio con classe minore di cls	$\omega _{s}=0,\!040\,{\frac {500/1,\!15}{0,\!85\cdot 0,\!83\cdot 20/1,\!6}}\cong 2,\!00$ $\omega _{s}=0,\!040\,{\frac {500/1,\!15}{0,\!85\cdot 0,\!83\cdot 20/1,\!6}}\cong 2,\!00$ $\omega _{s}=0,\!040\,{\frac {500/1,\!15}{0,\!85\cdot 0,\!83\cdot 20/1,\!6}}\cong 2,\!00$