Cercuri Yff

În geometria triunghiului , cercurile Yff sunt două triplete de cercuri Johnson (adică congruente și care se intersectează într-un singur punct) din care fiecare cerc este tangent la două laturi ale triunghiului. Mai mult, prin teorema lui Johnson, fiecare triplet identifică și un cerc Johnson-Yff .

Două triplete

Există două tipuri de cercuri Yff:

primele, cu centrele indicate de Y, sunt cuprinse în întregime în perimetrul triunghiului, punctul lor de întâlnire este X (55), iar centrul cercului lor Johnson-Yff este X (1478) ;
al doilea, concentratele indicate de Z sunt pur și simplu tangente la laturi sau extensiile lor, punctul de întâlnire este X (56) și centrul cercului lor Johnson-Yff este X (1479) ;

de asemenea, rețineți că raza r și circumradius R razele lor ale cercurilor Yff sau Johnson-Yff sunt:

\rho _{Y}={\frac {Rr}{R+r}}

{\ displaystyle \ rho _ {Y} = {\ frac {Rr} {R + r}}}

{\ displaystyle \ rho _ {Y} = {\ frac {Rr} {R + r}}}

;

\rho _{Z}={\frac {Rr}{R-r}}

{\ displaystyle \ rho _ {Z} = {\ frac {Rr} {Rr}}}

{\ displaystyle \ rho _ {Z} = {\ frac {Rr} {R-r}}}

relația dintre cele două raze este: ${\frac {R-r}{R+r}}$ ${\ displaystyle {\ frac {Rr} {R + r}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {R-r} {R + r}}}$

în ceea ce privește în schimb coordonatele triliniare ale centrelor acestea devin

O_{a}\quad {\frac {2\Delta -(b+c)\rho }{a}}:\rho :\rho

{\ displaystyle O_ {a} \ quad {\ frac {2 \ Delta - (b + c) \ rho} {a}}: \ rho: \ rho}

{\ displaystyle O_ {a} \ quad {\ frac {2 \ Delta - (b + c) \ rho} {a}}: \ rho: \ rho}

O_{b}\quad \rho :{\frac {2\Delta -(a+c)\rho }{b}}:\rho

{\ displaystyle O_ {b} \ quad \ rho: {\ frac {2 \ Delta - (a + c) \ rho} {b}}: \ rho}

{\ displaystyle O_ {b} \ quad \ rho: {\ frac {2 \ Delta - (a + c) \ rho} {b}}: \ rho}

O_{c}\quad \rho :\rho :{\frac {2\Delta -(a+b)\rho }{c}}

{\ displaystyle O_ {c} \ quad \ rho: \ rho: {\ frac {2 \ Delta - (a + b) \ rho} {c}}}

{\ displaystyle O_ {c} \ quad \ rho: \ rho: {\ frac {2 \ Delta - (a + b) \ rho} {c}}}

în care este suficient să se schimbe pur și simplu cu raza omologă ρ.

Centre

X (55)

X ₍₅₅₎ este punctul de întâlnire al cercurilor Yff de primul fel cu coordonate triliniare :

a (s - a): b (s - b): c (s - c) ^[1]

coordonate baricentrice

a ² (s - a): b ² (s - b): c ² (s - c)

punctul este, de asemenea, centrul de dilatare al triunghiului tangențial , triunghiul intangent și extangente .

X (56)

X ₍₅₆₎ este punctul de întâlnire al cercurilor Yff de primul fel cu coordonate triliniare :

a / (s - a): b / (s - b): c / (s - c) ^[1] .

coordonate baricentrice

a ² / (s - a): b ² / (s - b): c ² / (s - c)

X (1478)

X ₍₁₄₇₈₎ este centrul cercului Johnson-Yff de primul fel care formează cu punctele Y _a , Y _b , Y _b , un sistem de urzică ; coordonatele sale triliniare :

f (A, B, C): f (B, C, A): f (C, A, B),

coordonate baricentrice :

(sin α) f (A, B, C): (sin β) f (B, C, A): (sin γ) f (C, A, B)

unde f (A, B, C) = 1 + 2 cos B cos C.

X (1479)

Notă

^ ^a ^b S este jumătatea perimetrului

Elemente conexe

Cercurile Johnson

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Cercuri Yff în MathWorld Wolfram Research.
(EN) (EN) Clark Kimberling, X ₅₅ , în Encyclopedia of Triangle Centers , Universitatea din Evansville, 22 octombrie 2013; ( EN ) Clark Kimberling, X ₅₆ , în Enciclopedia Centrelor de Triunghi , Universitatea din Evansville, 22 octombrie 2013 ; ( EN ) Clark Kimberling, X ₁₄₇₈ , în Enciclopedia Centrelor de Triunghi , Universitatea din Evansville, 22 octombrie 2013 .; ( EN ) Clark Kimberling, X ₁₄₇₉ , în Enciclopedia Centrelor de Triunghi , Universitatea din Evansville, 22 octombrie 2013.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[S-1] S este jumătatea perimetrului

[1]