Aterizare

Raza este raza cercului înscris într-un triunghi.

În geometrie , l 'inraggio este numele dat în triunghi pe raza cercurilor , dar poate fi folosit și în mod analog pentru a indica contrapartida din orice alt poligon care are cerc ; totuși, corespunde conceptului de apotem în cazurile poligoanelor regulate .

Datorită particularităților sale, înmulțirea razei cu jumătatea perimetrului p dă valoarea ariei triunghiului.

Proprietate

Având în vedere un triunghi ABC, urmăriți bisectoarele sale până la joncțiunea lor reciprocă, determinând astfel centrul I și raza r a cercului înscris.
Raza atinge laturile triunghiului în punctele de tangență, formând unghiuri drepte cu ele, astfel încât r poate fi considerată înălțimea celor trei triunghiuri IAB, IBC și respectiv IAC ale ariilor:

S_{c}=r\cdot AB/2

{\ displaystyle S_ {c} = r \ cdot AB / 2}

{\ displaystyle S_ {c} = r \ cdot AB / 2}

S_{a}=r\cdot BC/2

{\ displaystyle S_ {a} = r \ cdot BC / 2}

{\ displaystyle S_ {a} = r \ cdot BC / 2}

S_{b}=r\cdot CA/2

{\ displaystyle S_ {b} = r \ cdot CA / 2}

{\ displaystyle S_ {b} = r \ cdot CA / 2}

Prin urmare, aria S a triunghiului ABC va fi egală cu suma lor:

S=S_{a}+S_{b}+S_{c}=r\cdot (AB+BC+CA)/2

{\ displaystyle S = S_ {a} + S_ {b} + S_ {c} = r \ cdot (AB + BC + CA) / 2}

{\ displaystyle S = S_ {a} + S_ {b} + S_ {c} = r \ cdot (AB + BC + CA) / 2}

de la care:

S=r\cdot p

{\ displaystyle S = r \ cdot p}

{\ displaystyle S = r \ cdot p}

Unde $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este jumătatea perimetrului.

Formule geometrice

Din formula lui Heron derivăm că

\mathrm {S} ={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}

{\ displaystyle \ mathrm {S} = {\ sqrt {p \ left (pa \ right) \ left (pb \ right) \ left (pc \ right)}}}

{\ displaystyle \ mathrm {S} = {\ sqrt {p \ left (p-a \ right) \ left (p-b \ right) \ left (p-c \ right)}}}

dar apoi, pentru relația găsită anterior, avem asta

r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}

{\ displaystyle r = {\ frac {S} {p}} = {\ sqrt {\ frac {(pa) (pb) (pc)} {p}}}}

{\ displaystyle r = {\ frac {S} {p}} = {\ sqrt {\ frac {(p-a) (p-b) (p-c)} {p}}}}

Formule trigonometrice

$r=(p-a)\tan {\frac {\alpha }{2}}=(p-b)\tan {\frac {\beta }{2}}=(p-c)\tan {\frac {\gamma }{2}}$ ${\ displaystyle r = (pa) \ tan {\ frac {\ alpha} {2}} = (pb) \ tan {\ frac {\ beta} {2}} = (pc) \ tan {\ frac {\ gamma } {2}}}$ ${\ displaystyle r = (pa) \ tan {\ frac {\ alpha} {2}} = (pb) \ tan {\ frac {\ beta} {2}} = (pc) \ tan {\ frac {\ gamma } {2}}}$

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein, Inurgo , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică