Conjectura lui Beal

Conjectura Beal este o conjectură a teoriei numerelor popularizată de matematicianul miliardar și amator texan Andrew Beal . Analizând câteva generalizări ale ultimei teoreme a lui Fermat , Andrew Beal a formulat următoarea conjectură în 1993 :

De sine

A^{x}+B^{y}=C^{z}

{\ displaystyle A ^ {x} + B ^ {y} = C ^ {z}}

{\ displaystyle A ^ {x} + B ^ {y} = C ^ {z}}

, unde este

LA

{\ displaystyle A}

LA

,

B.

{\ displaystyle B}

B.

,

C.

{\ displaystyle C}

C.

,

X

{\ displaystyle x}

X

,

y

{\ displaystyle y}

y

Și

z

{\ displaystyle z}

z

sunt numere întregi pozitive și

x,y,z>2

{\ displaystyle x, y, z> 2}

{\ displaystyle x, y, z> 2}

, asa de

LA

{\ displaystyle A}

LA

,

B.

{\ displaystyle B}

B.

Și

C.

{\ displaystyle C}

C.

au un factor primar comun.

De exemplu, soluția 3 ³ + 6 ³ = 3 ⁵ are toate bazele divizibile cu 3, iar soluția 7 ⁶ + 7 ⁷ = 98 ³ are bazele cu factorul comun 7. De fapt, există soluții infinite ale căror baze au un factor comun. De exemplu, identitatea

\left[a\left(a^{m}+b^{m}\right)\right]^{m}+\left[b\left(a^{m}+b^{m}\right)\right]^{m}=\left(a^{m}+b^{m}\right)^{m+1}

{\ displaystyle \ left [a \ left (a ^ {m} + b ^ {m} \ right) \ right] ^ {m} + \ left [b \ left (a ^ {m} + b ^ {m} \ right) \ right] ^ {m} = \ left (a ^ {m} + b ^ {m} \ right) ^ {m + 1}}

{\ displaystyle \ left [a \ left (a ^ {m} + b ^ {m} \ right) \ right] ^ {m} + \ left [b \ left (a ^ {m} + b ^ {m} \ right) \ right] ^ {m} = \ left (a ^ {m} + b ^ {m} \ right) ^ {m + 1}}

oferă o soluție pentru fiecare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , $m>3$ ${\ displaystyle m> 3}$ ${\ displaystyle m> 3}$ . În acest caz, toate bazele au factorul comun $a^{m}+b^{m}$ ${\ displaystyle a ^ {m} + b ^ {m}}$ ${\ displaystyle a ^ {m} + b ^ {m}}$ .

Până în 2006, nu au existat contraexemple cunoscute. Căutările au fost efectuate până la cel puțin 1.000 în toate variabilele. ^[1] ^[2]

Conjectura lui Beal este o generalizare a ultimei teoreme a lui Fermat, care corespunde cazului în care $x=y=z$ ${\ displaystyle x = y = z}$ ${\ displaystyle x = y = z}$ . De sine $a^{x}+b^{x}=c^{x}$ ${\ displaystyle a ^ {x} + b ^ {x} = c ^ {x}}$ ${\ displaystyle a ^ {x} + b ^ {x} = c ^ {x}}$ cu $x\geq 3$ ${\ displaystyle x \ geq 3}$ ${\ displaystyle x \ geq 3}$ , atunci fie bazele sunt coprimă, fie au un factor comun. Dacă au un factor în comun, atunci împărțirea acestora cu cel mai mare factor comun oferă o soluție mai mică cu baze coprimă. În ambele cazuri, un contraexemplu al ultimei teoreme a lui Fermat oferă, de asemenea, un contraexemplu al conjecturii lui Beal.

Conjectura nu este valabilă în domeniul mai larg al numerelor întregi Gauss . După ce a fost oferit un premiu de 50 USD pentru un contraexemplu, Fred W. Helenius a constatat că $(-2+i)^{3}+(-2-i)^{3}=(1+i)^{4}$ ${\ displaystyle (-2 + i) ^ {3} + (- 2-i) ^ {3} = (1 + i) ^ {4}}$ ${\ displaystyle (-2 + i) ^ {3} + (- 2-i) ^ {3} = (1 + i) ^ {4}}$ . ^[3]

S-a susținut că alți matematicieni propuseseră deja aceeași supoziție înainte de Andrew Beal.

Beal a oferit un premiu de 1.000.000 USD pentru a dovedi sau respinge presupunerea. ^[4] ^[5]

Notă

^ Conjectura lui Beal: o căutare de contraexemple
^ http://www.owlnet.rice.edu/~danvk/beal.html ^{[ link rupt ]}
^ Gaussieni neglijați
^ Conjectura Beal
^ Miliardarul texan lansează provocarea matematică Corriere della Sera, Elmar Burchia

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) http://www.math.unt.edu/~mauldin/beal.html
( RO ) http://www.ams.org/notices/199711/beal.pdf
( RO ) http://www.bealconjecture.com/
( RO ) http://www.norvig.com/beal.html - O căutare pentru contraexemple.
( EN ) Conjectura lui Beal din PlanetMath

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Conjectura lui Beal: o căutare de contraexemple

[2] ttp://www.owlnet.rice.edu/~danvk/beal.html ^{[ link rupt ]}

[3] Gaussieni neglijați

[4] Conjectura Beal

[5] Miliardarul texan lansează provocarea matematică Corriere della Sera, Elmar Burchia

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]