Controlul modului de alunecare

Termenul de control al modului de alunecare (sau modul de alunecare sau control al modului de alunecare ) se referă la un controler de structură variabilă în feedback de stare care modifică comportamentul unui sistem neliniar forțându-l cu un semnal de control de înaltă frecvență.

Idee de bază

Controlul modului glisant a fost conceput pentru a fi robust și versatil, motiv pentru care este adesea denumit „control universal”. Ideea din spatele acestui tip de controler este simplă: sistemul este controlat astfel încât să ajungă la o suprafață, numită alunecare , care reprezintă referința sistemului de control. Pentru a realiza acest lucru, sistemul este forțat cu un semnal de control discontinuu, un semnal care împinge traiectoriile sistemului în direcția suprafeței de alunecare: traiectoriile sistemului oscilează în jurul suprafeței în sine ( clopotind ) și amplitudinea oscilațiilor este mult mai mică.cu cât frecvența semnalului de control este mai mare. Sinteza unui sistem de control care aplică direct o acțiune de tip discontinuu deschide noi orizonturi pentru controlul dispozitivelor de acționare de tip on-off care sunt de obicei controlate de PWM .

Schema de control

Proiectarea schemei de control poate fi rezumată în doi pași:

Se alege o suprafață glisantă pe care trebuie să convergă traiectoriile sistemului. Comportamentul sistemului în feedback depinde de această alegere.
O lege de control este aleasă în funcție de suprafața de alunecare ; aceasta are întotdeauna un termen discontinuu și poate avea și termeni continui.

Luați în considerare sistemul neliniar descris de:

{\dot {x}}(t)=f(x,t)+B(x,t)u(t),\quad x\in R^{n},B\in R^{n\times m}

{\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = f (x, t) + B (x, t) u (t), \ quad x \ in R ^ {n}, B \ in R ^ {n \ ori m}}

{\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = f (x, t) + B (x, t) u (t), \ quad x \ in R ^ {n}, B \ in R ^ {n \ ori m}}

(A1)

{\ displaystyle (A1)}

{\ displaystyle (A1)}

Pentru a garanta existența și unicitatea soluției, este necesar să presupunem că funcțiile f (.,.) Și B (.,.) Sunt continue și diferențiate .

Luați în considerare suprafața de alunecare a dimensiunii (nm)

\sigma (x)=[\sigma _{1}(x),\ldots ,\sigma _{m}(x)]^{T}=0,\quad \sigma (x)\in R^{m}

{\ displaystyle \ sigma (x) = [\ sigma _ {1} (x), \ ldots, \ sigma _ {m} (x)] ^ {T} = 0, \ quad \ sigma (x) \ în R ^ {m}}

{\ displaystyle \ sigma (x) = [\ sigma _ {1} (x), \ ldots, \ sigma _ {m} (x)] ^ {T} = 0, \ quad \ sigma (x) \ în R ^ {m}}

(A2)

{\ displaystyle (A2)}

{\ displaystyle (A2)}

Fundamente teoretice

Următoarele teoreme stau la baza controlului modului de alunecare și permit dovedirea stabilității sistemului de control și evaluarea comportamentului pe suprafața de alunecare .

Prima teoremă: stabilitatea

Luați în considerare funcția Lyapunov

V(\sigma (x))={\frac {1}{2}}\sigma ^{T}(x)\sigma (x)

{\ displaystyle V (\ sigma (x)) = {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {T} (x) \ sigma (x)}

{\ displaystyle V (\ sigma (x)) = {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {T} (x) \ sigma (x)}

(A3)

{\ displaystyle (A3)}

{\ displaystyle (A3)}

Pentru sistemul descris de (A1) și suprafața de alunecare descrisă de (A2), o condiție suficientă pentru ca sistemul să fie stabil este următoarea:

{\frac {dV(\sigma )}{dt}}=\sigma ^{T}{\dot {\sigma }}\;<0

{\ displaystyle {\ frac {dV (\ sigma)} {dt}} = \ sigma ^ {T} {\ dot {\ sigma}} \; <0}

{\ displaystyle {\ frac {dV (\ sigma)} {dt}} = \ sigma ^ {T} {\ dot {\ sigma}} \; <0}

într-un cartier al $\sigma =0$ ${\ displaystyle \ sigma = 0}$ ${\ displaystyle \ sigma = 0}$ .

Stabilitatea se referă la suprafața de alunecare , care reprezintă, de asemenea, referința pentru sistem, prin urmare, această teoremă permite evaluarea dacă sistemul poate ajunge și rămâne pe suprafață.

A doua teoremă: regiunea atractivității

Pentru sistemul descris de (A1) și suprafața de alunecare descrisă de (A2) vecinătatea $\sigma =0$ ${\ displaystyle \ sigma = 0}$ ${\ displaystyle \ sigma = 0}$ pentru care sistemul este stabil este dat de:

\sigma \;=\;\{x:\sigma ^{T}(x){\dot {\sigma }}(x)\;<0\;\forall t\}

{\ displaystyle \ sigma \; = \; \ {x: \ sigma ^ {T} (x) {\ dot {\ sigma}} (x) \; <0 \; \ forall t \}}

{\ displaystyle \ sigma \; = \; \ {x: \ sigma ^ {T} (x) {\ dot {\ sigma}} (x) \; <0 \; \ forall t \}}

A treia teoremă: dinamica pe suprafața glisantă

Dacă matricea: ${\frac {\partial \sigma }{\partial {x}}}B$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ sigma} {\ partial {x}}} B}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ sigma} {\ partial {x}}} B}$ este non-singular ^[1] , când sistemul este activat $\sigma =0$ ${\ displaystyle \ sigma = 0}$ ${\ displaystyle \ sigma = 0}$ dinamica pe suprafața de alunecare poate fi obținută prin substituirea controlului în (A1) $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ , care se va numi control echivalent , ceea ce garantează ${\dot {\sigma }}=0$ ${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ sigma}} = 0}$ .

Se poate arăta că dinamica pe suprafața de alunecare este independentă de câmpul vector al sistemului și de perturbările care acționează asupra sistemului; acest aspect face ca schema de control să fie robustă și substanțial universală.

Proiectarea legii controlului

Luați în considerare un sistem SISO ^[2] și definiți suprafața de alunecare ca:

\sigma (x)\;=\;s_{1}x_{1}+s_{2}x_{2}+\ldots +s_{n-1}x_{n-1}+x_{n}

{\ displaystyle \ sigma (x) \; = \; s_ {1} x_ {1} + s_ {2} x_ {2} + \ ldots + s_ {n-1} x_ {n-1} + x_ {n }}

{\ displaystyle \ sigma (x) \; = \; s_ {1} x_ {1} + s_ {2} x_ {2} + \ ldots + s_ {n-1} x_ {n-1} + x_ {n }}

(A4)

{\ displaystyle (A4)}

{\ displaystyle (A4)}

Prin derivarea funcției Lyapunov obținem:

{\begin{matrix}{\dot {V}}&=&\sigma (x)^{T}{\dot {\sigma }}(x)\\&=&\sigma (x)^{T}{\frac {\partial {\sigma (x)}}{\partial {x}}}{\dot {x}}\\&=&\sigma (x)^{T}{\frac {\partial {\sigma (x)}}{\partial {x}}}(f(x,t)x+B(x,t)u)\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ dot {V}} & = & \ sigma (x) ^ {T} {\ dot {\ sigma}} (x) \\ & = & \ sigma (x) ^ {T} {\ frac {\ partial {\ sigma (x)}} {\ partial {x}}} {\ dot {x}} \\ & = & \ sigma (x) ^ {T} {\ frac { \ partial {\ sigma (x)}} {\ partial {x}}} (f (x, t) x + B (x, t) u) \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ dot {V}} & = & \ sigma (x) ^ {T} {\ dot {\ sigma}} (x) \\ & = & \ sigma (x) ^ {T} {\ frac {\ partial {\ sigma (x)}} {\ partial {x}}} {\ dot {x}} \\ & = & \ sigma (x) ^ {T} {\ frac { \ partial {\ sigma (x)}} {\ partial {x}}} (f (x, t) x + B (x, t) u) \ end {matrix}}}

(A5)

{\ displaystyle (A5)}

{\ displaystyle (A5)}

În acest moment, pentru a doua teoremă, este necesar să alegeți o intrare de control care să garanteze condiția de stabilitate. O posibilă alegere a intrării de control este următoarea:

u(x,t)=\left\{{\begin{matrix}u^{+}(x),&{\mbox{for}}\;\sigma \;>0\\u^{-}(x),&{\mbox{for}}\;\sigma \;<0\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle u (x, t) = \ left \ {{\ begin {matrix} u ^ {+} (x), & {\ mbox {for}} \; \ sigma \;> 0 \\ u ^ { -} (x), & {\ mbox {for}} \; \ sigma \; <0 \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle u (x, t) = \ left \ {{\ begin {matrix} u ^ {+} (x), & {\ mbox {for}} \; \ sigma \;> 0 \\ u ^ { -} (x), & {\ mbox {for}} \; \ sigma \; <0 \ end {matrix}} \ right.}

adică

u(x,t)=u(x)sign(\sigma )

{\ displaystyle u (x, t) = u (x) semn (\ sigma)}

{\ displaystyle u (x, t) = u (x) semn (\ sigma)}

Se poate observa că această lege de control prezintă o discontinuitate de primul fel în punctul 0 dat de funcția semn. Această discontinuitate implică o problemă teoretică și una practică. Problema teoretică este dată de soluția ecuației diferențiale, deoarece o condiție suficientă, dar nu necesară pentru rezolvarea ecuației diferențiale este dată de continuitatea funcției. Problema practică este dată de faptul că discontinuitățile repetate în efortul de control generează așa-numita „conversație”, care este un comportament în zig-zag al ieșirii controlerului care afectează starea sistemului. Pentru a depăși aceste probleme, se folosește funcția tangentă hiperbolică în locul funcției semn.

Notă

^ Adică, dacă determinantul matricei nu este nul.
^ Un sistem SISO înseamnă un sistem cu o singură intrare (în) și o singură ieșire (out).

Bibliografie

AF Filippov, Ecuații diferențiale cu părți din dreapta discontinue , Kluwer, 1988, ISBN 978-902772-699-5 .
VI Utkin , „Moduri glisante în control și optimizare” , Springer-Verlag, 1992, ISBN 978-0-387-53516-6 .
VI Utkin, J. Guldner, J. Shi, "Sliding Mode Control in Electromechanical Systems , Taylor & Francis, 1999, ISBN 0-7484-0116-4 .

Portal automat de verificări : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu verificări automate

[1] Adică, dacă determinantul matricei nu este nul.

[2] ^ Un sistem SISO înseamnă un sistem cu o singură intrare (în) și o singură ieșire (out).

[1]

[2]