Coordonatele Boyer-Lindquist

În descrierea matematică a relativității generale , coordonatele Boyer-Lindquist ^[1] sunt o generalizare a coordonatelor utilizate pentru metrica unei găuri negre Schwarzschild care poate fi utilizată pentru a exprima metrica unei găuri negre Kerr .

Tranziția de la un sistem de coordonate Boyer-Lindquist $r,\theta$ ${\ displaystyle r, \ theta}$ ${\ displaystyle r, \ theta}$ , $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , unui sistem de coordonate cartezian x, y, z, este dat de următoarea transformare:

{\begin{cases}x={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \cos \phi \\y={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \sin \phi \\z=r\cos \theta \end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = {\ sqrt {r ^ {2} + a ^ {2}}} \ sin \ theta \ cos \ phi \\ y = {\ sqrt {r ^ {2} + a ^ {2}}} \ sin \ theta \ sin \ phi \\ z = r \ cos \ theta \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = {\ sqrt {r ^ {2} + a ^ {2}}} \ sin \ theta \ cos \ phi \\ y = {\ sqrt {r ^ {2} + a ^ {2}}} \ sin \ theta \ sin \ phi \\ z = r \ cos \ theta \ end {cases}}}

Folosind coordonatele Boyer-Lindquist și un sistem de unități geometrice , în care, prin urmare, este constanta gravitațională , $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , că viteza luminii , $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , sunt egale cu unitatea, pătratul elementului de linie pentru o gaură neagră având masă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , impuls unghiular $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ și taxă $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ Și:

ds^{2}=-{\frac {\Delta }{\Sigma }}\left(dt-a\sin ^{2}\theta d\phi \right)^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}{\Big (}(r^{2}+a^{2})d\phi -adt{\Big )}^{2}+{\frac {\Sigma }{\Delta }}dr^{2}+\Sigma d\theta ^{2}

{\ displaystyle ds ^ {2} = - {\ frac {\ Delta} {\ Sigma}} \ left (dt-a \ sin ^ {2} \ theta d \ phi \ right) ^ {2} + {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta} {\ Sigma}} {\ Big (} (r ^ {2} + a ^ {2}) d \ phi -adt {\ Big)} ^ {2} + {\ frac {\ Sigma} {\ Delta}} dr ^ {2} + \ Sigma d \ theta ^ {2}}

{\ displaystyle ds ^ {2} = - {\ frac {\ Delta} {\ Sigma}} \ left (dt-a \ sin ^ {2} \ theta d \ phi \ right) ^ {2} + {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta} {\ Sigma}} {\ Big (} (r ^ {2} + a ^ {2}) d \ phi -adt {\ Big)} ^ {2} + {\ frac {\ Sigma} {\ Delta}} dr ^ {2} + \ Sigma d \ theta ^ {2}}

,

unde este:

\Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}

{\ displaystyle \ Delta = r ^ {2} -2Mr + a ^ {2} + Q ^ {2}}

{\ displaystyle \ Delta = r ^ {2} -2Mr + a ^ {2} + Q ^ {2}}

\Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta

{\ displaystyle \ Sigma = r ^ {2} + a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}

{\ displaystyle \ Sigma = r ^ {2} + a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}

a=J/M

{\ displaystyle a = J / M}

{\ displaystyle a = J / M}

, impulsul unghiular pe unitate de masă (sau impulsul unghiular specific) al găurii negre.

În ecuațiile de mai sus este important să observăm cum este, într-un sistem de unități geometrice $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , acea $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ au unități de lungime. Acest element de linie descrie metrica Kerr-Newman . ^[2]

Într-un studiu din 1968, fizicianul Brandon Carter a observat că Hamiltonianul mișcării în spațiul Kerr în coordonatele Boyer-Lindquist este separabil și că, prin urmare, constantele unei astfel de mișcări pot fi ușor identificate folosind teoria Hamilton-Jacobi . ^[3] ^[4] El a reușit astfel să identifice o a patra constantă a mișcării , numită ulterior constantă a lui Carter , referitoare la mișcarea din jurul găurilor negre, care, împreună cu energia, impulsul unghiular și masa de repaus a unei particule, oferă cele patru cantități necesare pentru a determina în mod unic toate orbitele dintr-un spațiu-timp Kerr-Newman , inclusiv cele ale particulelor încărcate.

Notă

^ Robert H. Boyer și Richard W. Lindquist, Extensie analitică maximă a metricei Kerr , în J. Math. Fizic. , vol. 8, nr. 2, 1967, pp. 265-281, Bibcode : 1967JMP ..... 8..265B , DOI : 10.1063 / 1.1705193 .
^ SL Shapiro și SA Teukolsky, Black Holes, White Dwarfs și Neutron Stars: The Physics of Compact Objects , Wiley, 1983, p. 357 .
^ Brandon Carter, Structura globală a familiei de câmpuri gravitaționale Kerr , în Physical Review , vol. 174, nr. 5, 1968, pp. 1559-1571, Bibcode : 1968PhRv..174.1559C , DOI : 10.1103 / PhysRev.174.1559 .
^ Stefano Speziale, găurile negre ( PDF ), Universitatea din Perugia, 2012. Accesat la 24 mai 2019 .

Portalul de astronomie

Portalul de matematică

Portalul relativității

[boyer_lindquist_1967-1] Robert H. Boyer și Richard W. Lindquist, Extensie analitică maximă a metricei Kerr , în J. Math. Fizic. , vol. 8, nr. 2, 1967, pp. 265-281, Bibcode : 1967JMP ..... 8..265B , DOI : 10.1063 / 1.1705193 .

[2] SL Shapiro și SA Teukolsky, Black Holes, White Dwarfs și Neutron Stars: The Physics of Compact Objects , Wiley, 1983, p. 357 .

[carter_1968-3] Brandon Carter, Structura globală a familiei de câmpuri gravitaționale Kerr , în Physical Review , vol. 174, nr. 5, 1968, pp. 1559-1571, Bibcode : 1968PhRv..174.1559C , DOI : 10.1103 / PhysRev.174.1559 .

[aut-4] Stefano Speziale, găurile negre ( PDF ), Universitatea din Perugia, 2012. Accesat la 24 mai 2019 .

[1]

[2]

[3]

[4]