Constanta Champernowne

Primii 161 de coeficienți parțiali ai fracției continue a constantei zecimale Champernowne. Al patrulea, al 18-lea, al 40-lea și al 101-lea coeficient sunt (mult) mai mari de 270 și, prin urmare, nu apar în grafic.

În matematică , constanta Champernowne (sau constanta Mahler ^[1] ) C ₁₀ este o constantă reală transcendentă , a cărei expansiune zecimală are proprietăți importante. Acesta poartă numele matematicianului David Gawen Champernowne , care în 1933 a publicat un articol despre aceasta.

În baza 10 , numărul este definit prin concatenarea numerelor naturale după cum urmează:

C_{10}:=0,12345678910111213141516\dots ,

{\ displaystyle C_ {10}: = 0.12345678910111213141516 \ dots,}

{\ displaystyle C_ {10}: = 0.12345678910111213141516 \ dots,}

sau, echivalent,

C_{10}:=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=10^{n-1}}^{10^{n}-1}{\frac {k}{10^{kn-9\sum _{k=0}^{n-1}10^{k}(n-k)}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n}{10^{n+\sum _{i=1}^{n+1}\lfloor \log(i)\rfloor }}}

{\ displaystyle C_ {10}: = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 10 ^ {n-1}} ^ {10 ^ {n} -1} {\ frac { k} {10 ^ {kn-9 \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} 10 ^ {k} (nk)}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {n} {10 ^ {n + \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} \ lfloor \ log (i) \ rfloor}}}}

{\ displaystyle C_ {10}: = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 10 ^ {n-1}} ^ {10 ^ {n} -1} {\ frac { k} {10 ^ {kn-9 \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} 10 ^ {k} (nk)}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {n} {10 ^ {n + \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} \ lfloor \ log (i) \ rfloor}}}}

De asemenea, pentru orice altă bază, o constantă poate fi construită în același mod, determinând astfel alte constante Champernowne; de exemplu:

C_{2}=0,11011100101110111\dots

{\ displaystyle C_ {2} = 0.11011100101110111 \ dots}

{\ displaystyle C_ {2} = 0.11011100101110111 \ dots}

( baza 2 ),

C_{3}=0,12101112202122\dots

{\ displaystyle C_ {3} = 0.12101112202122 \ dots}

{\ displaystyle C_ {3} = 0.12101112202122 \ dots}

(în baza 3 ).

Pentru o bază generică b , constanta poate fi exprimată ca o însumare în modul următor

C_{b}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=b^{n-1}}^{b^{n}-1}kb^{-n\left[k-(b^{n-1}-1)\right]}}{b^{\sum _{k=0}^{n-1}k(b-1)b^{k-1}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n}{b^{n+\sum _{i=1}^{n+1}\lfloor \log(i)\rfloor }}}.

{\ displaystyle C_ {b} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sum _ {k = b ^ {n-1}} ^ {b ^ {n} -1} kb ^ {- n \ left [k- (b ^ {n-1} -1) \ right]}} {b ^ {\ sum _ {k = 0} ^ {n-1} k (b-1) b ^ {k-1}}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {n} {b ^ {n + \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} \ lfloor \ log (i) \ rfloor}}}.}

{\ displaystyle C_ {b} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sum _ {k = b ^ {n-1}} ^ {b ^ {n} -1} kb ^ {- n \ left [k- (b ^ {n-1} -1) \ right]}} {b ^ {\ sum _ {k = 0} ^ {n-1} k (b-1) b ^ {k-1}}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {n} {b ^ {n + \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} \ lfloor \ log (i) \ rfloor}}}.}

Normalitate și transcendență

În articolul său despre constantă, Champernowne a demonstrat că C ₁₀ este un număr normal în baza 10. Cu alte cuvinte, cifrele sale din acea bază urmează o distribuție uniformă: toate cifrele apar cu frecvență asimptotică 1/10, toate perechile de cifre apar cu frecvența asimptotică 1/10 ² , toate tripletele de cifre apar cu frecvența asimptotică 1 / 10³ și așa mai departe.

Într-un articol din 1937, Kurt Mahler a demonstrat că constanta este transcendentă ^[1] și, prin urmare, în special irațională . ^[2]

Extinderea fracției continue

Primii 161 de coeficienți parțiali ai fracției continue a constantei zecimale Champernowne reprezentată în scară logaritmică.

Reprezentarea ca fracție continuă a constantei Champernowne a fost studiată în profunzime. Deoarece constanta este irațională, rezultă că fracția sa continuă nu se termină . Mai mult, deoarece constanta este transcendentă și în special nu este un număr pătratic ireductibil, fracția sa continuă este aperiodică .

Termenii din expansiunea fracției continue prezintă un comportament bizar, în care termenii mari apar între termeni foarte mici. De exemplu, în baza 10,

C_{10}

{\ displaystyle C_ {10}}

{\ displaystyle C_ {10}}

= [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15,

4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 1098

6, 1, 1, 21, 1, 9, 1, 1, 2, 3, 1, 7, 2, 1, 83, 1, 156, 4, 58, 8, 54, ...].

Numărul mare de la poziția 19 (al 18-lea coeficient parțial) este compus din 166 cifre, iar termenul fracției continue care urmează celor enumerate este de asemenea extrem de mare, având 2504 cifre. Dacă am continua, am obține numeroase alte numere foarte mari. Prezența acestor numere neobișnuit de mari face dificilă calcularea termenilor fracției continue, dar are consecința că constanta Champernowne poate fi „bine aproximată” cu numere raționale , folosind fracția continuă trunchiată chiar înainte de unul dintre acești termeni foarte mari . De exemplu, prin trunchierea chiar înainte de al 4-lea coeficient parțial, obținem fracția parțială 10/81, care aproximează constanta Champernowne cu o eroare de aproximativ 1 × 10 ⁻⁹ , în timp ce trunchierea chiar înainte de al 18-lea coeficient parțial, obținem parțialul fracțiune

{\frac {60499999499}{490050000000}},

{\ displaystyle {\ frac {60499999499} {490050000000}},}

{\ displaystyle {\ frac {60499999499} {490050000000}},}

care aproximează constanta Champernowne cu o eroare de aproximativ 9 × 10 ⁻¹⁹⁰ .

Notă

^ ^A ^b (EN) Edward B. Burger și Robert Tubbs, Making Transcendence Transparent, 2004, p. 20.
^ K. Mahler, Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen , Proc. Konin. Neder. Akad. Umed. Ser. A. 40 (1937), p. 421-428.