Aproximare diofantină

Aproximarea diofantină este domeniul matematicii care se ocupă cu aproximarea numerelor reale cu numerele raționale . Este numit după matematicianul grec Diofant din Alexandria .

Descriere

Micimea distanței (în valoare absolută ) a numărului real care trebuie aproximat la numărul rațional care îl aproxima este o măsură simplă a bunătății aproximării. O măsură mai fină consideră bunătatea aproximării prin compararea diferenței dintre cele două numere cu magnitudinea numitorului .

Prin utilizarea fracțiilor continuate este posibil să se demonstreze că fiecare convergent $p/q$ ${\ displaystyle p / q}$ $p / q$ a oricărui număr irațional $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este astfel încât

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}

{\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {q ^ {2}}}}

\ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {q ^ {2}}}

Această inegalitate poate fi îmbunătățită pentru a arăta că, pentru orice irațional $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , există rațiuni infinite $p/q$ ${\ displaystyle p / q}$ $p / q$ astfel încât

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}

{\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {{\ sqrt {5}} q ^ {2}}}}

\ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {{\ sqrt {5}} q ^ {2}}}

Inegalități mai precise (adică unde ${\sqrt {5}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {5}}}$ ${\ sqrt {5}}$ este înlocuit cu un număr mai mare) poate avea doar un număr finit de soluții; acesta este cazul dacă numărul irațional în cauză este numărul de aur $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ ${\ displaystyle \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$ $\ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}$ .

Joseph Liouville , în 1844, a dovedit că dacă numărul $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este algebric de grad n (adică există un polinom de grad n care îl admite ca rădăcină, dar nu există polinomii de grad inferior cu această proprietate), atunci se menține pentru orice număr rațional $p/q$ ${\ displaystyle p / q}$ $p / q$ merita

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}

{\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right |> {\ frac {A} {q ^ {n}}}}

\ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right |> {\ frac {A} {q ^ {n}}}

pentru o constantă A > 0. Liouville a reușit, de asemenea, să construiască numere care nu verifică această proprietate ( numerele Liouville ), care au fost primele exemple de numere non-algebrice, adică transcendente .

Această inegalitate poate fi, de asemenea, îmbunătățită. Axel Thue , Carl Ludwig Siegel și Klaus Roth au îmbunătățit ulterior această teoremă: în 1955, Roth a enunțat ceea ce este acum cunoscut sub numele de teorema Thue-Siegel-Roth , care afirmă că pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există doar un număr finit de raționale $p/q$ ${\ displaystyle p / q}$ $p / q$ astfel încât

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2+\varepsilon }}}

{\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {q ^ {2+ \ varepsilon}}}}

\ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {q ^ {{2+ \ varepsilon}}}}

Bibliografie

Harold Davenport , Aritmetica superioară . Zanichelli, Bologna, 1994. ISBN 8808091546

Controlul autorității	Tesauro BNCF 58805 · LCCN (EN) sh85006189 · GND (DE) 4135760-7 · BNF (FR) cb13163483b (dată) · NDL (EN, JA) 00.561.502

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică