Pană (geometrie)

Pană

Tip	prismatoid
Formați fețele	2 triunghiuri , 1 pătrat , 2 trapezoide
Nº fețe	5
Nr. De margini	9
Numărul de vârfuri	6
Valențe în partea de sus	3
Grup de simetrie	$\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$
Proprietate	convex , nu chiral
Manual

În geometrie, o pană înseamnă un poliedru identificat printr-o față dreptunghiulară numită baza panii și printr-o margine paralelă cu două laturi opuse ale bazei, astfel încât proiecția sa ortogonală pe planul bazei (de care nu aparține) este un segment al cărui punct mediu (centru) coincide cu centrul dreptunghiului de bază; această margine (de lungimea c din figură) se numește marginea apicală a penei .

Fețe

O pană este un pentaedru care, pe lângă fața bazei, are două fețe în formă de trapezoid isoscel și două fețe în formă de triunghi isoscel. Fețele în formă de trapez sunt identificate de marginea apicală și de fiecare dintre cele două laturi ale bazei paralele cu aceasta; sunt congruente. Fiecare dintre fețele triunghiulare, de asemenea congruente, este identificată printr-un vârf al muchiei apicale și prin una dintre cele două laturi opuse ale bazei, nu paralele cu marginea apicală.

Simetriile

O pană are simetriile unui dreptunghi, iar grupul său de simetrie este grupul $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$ generat de reflecțiile cu privire la cele două planuri ortogonale la cele două perechi de laturi opuse ale dreptunghiului de bază. Segmentul care unește centrul dreptunghiului de bază și punctul mediu al marginii apicale (ortogonale atât la bază cât și la segmentul apical) se numește axa de pană ; de fapt linia sa este intersecția celor două planuri de simetrie și rotația de 180 ° în jurul acesteia lasă puna neschimbată. Lungimea axei unei pene se numește înălțimea penei . Când marginea apicală este redusă la un singur vârf, panoul segmentului

Măsuri

Să luăm în considerare panoul K identificat prin lungimile laturilor dreptunghiului de bază a și b, prin lungimea muchiei apicale c (paralelă cu laturile lungimii a) și prin înălțimea h. Observăm că acești 4 parametri pot asuma toate valorile pozitive posibile și, în special, pot fi c> a (cazul penei lărgite ).

Marginile laterale ale penei sunt congruente și au lungime

{\sqrt {h^{2}+\left({\frac {a-c}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {h ^ {2} + \ left ({\ frac {ac} {2}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {h ^ {2} + \ left ({\ frac {ac} {2}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2}}}}

Suprafața penei date este

ab+b{\sqrt {h^{2}+\left({\frac {a-c}{2}}\right)^{2}}}+(a+c){\sqrt {h^{2}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}}}

{\ displaystyle ab + b {\ sqrt {h ^ {2} + \ left ({\ frac {ac} {2}} \ right) ^ {2}}} + (a + c) {\ sqrt {h ^ {2} + \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2}}}}

{\ displaystyle ab + b {\ sqrt {h ^ {2} + \ left ({\ frac {ac} {2}} \ right) ^ {2}}} + (a + c) {\ sqrt {h ^ {2} + \ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2}}}}

.

Volumul său se obține ca

{\frac {1}{2}}bch+{\frac {1}{3}}(a-c)bh=bh\left({\frac {a}{3}}+{\frac {c}{6}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} bch + {\ frac {1} {3}} (ac) bh = bh \ left ({\ frac {a} {3}} + {\ frac {c } {6}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} bch + {\ frac {1} {3}} (ac) bh = bh \ left ({\ frac {a} {3}} + {\ frac {c } {6}} \ right)}

.

Centrul său de greutate se află pe axă la o distanță de baza inferioară dată de

{\frac {h}{2}}\cdot {\frac {a+c}{2a+c}}

{\ displaystyle {\ frac {h} {2}} \ cdot {\ frac {a + c} {2a + c}}}

{\ displaystyle {\ frac {h} {2}} \ cdot {\ frac {a + c} {2a + c}}}

.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică