Heighway Dragon Curve

Curba Dragonului Heighway , sau pur și simplu Curba Dragonului (sau „Curba Harter-Heighway” sau „Dragonul Heighway”), este o curbă recursivă care nu se intersectează, al cărei nume derivă din asemănarea sa cu binecunoscuta creatură mitică . A fost studiat pentru prima dată de fizicianul NASA John Heighway , în colaborare cu Bruce Banks și William Harter . Curba este un fractal care se dezvoltă prin construirea a două laturi ale pătratului care are un segment dat ca diagonală, apoi segmentul inițial este șters; procesul de substituție se repetă pe cele două segmente obținute prin alternarea orientării triunghiurilor (prin nealterarea orientării se obține curba dragonului Lévy ); această operație se repetă de nenumărate ori pentru fiecare segment rezultat din setul de substituții anterioare.

A fost descris de Martin Gardner în Cronica jocurilor matematice din Statele Unite în 1967. Multe dintre proprietățile sale au fost publicate de Chandler Davis și Donald Knuth .

Constructie

După cum sa menționat mai sus, această curbă poate fi descrisă în acest fel: pornind de la un segment de bază, înlocuiți fiecare segment cu două segmente egale unite în unghi drept și cu o rotație de 45 ° alternativ la dreapta și la stânga, apoi repetați operația: ^{[ 1]}

Poate fi formalizat ca un sistem Lindenmayer cu ^[1]

Unghi de 90 °
Șir de pornire FX
reguli de rescriere a șirurilor
- X $\mapsto$ ${\ displaystyle \ mapsto}$ $\ mapsto$ X + YF +
- Da $\mapsto$ ${\ displaystyle \ mapsto}$ $\ mapsto$ -FX-Y

unde este

F = desen linie,
X / Y = poziție pară sau impară,
+ / - = + 90 ° / -90 °

Curba dragonului Heighway este descrisă mai simplu ca setul limitativ al următorului sistem de funcții iterat în planul complex:

f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}

{\ displaystyle f_ {1} (z) = {\ frac {(1 + i) z} {2}}}

{\ displaystyle f_ {1} (z) = {\ frac {(1 + i) z} {2}}}

f_{2}(z)=1-{\frac {(1-i)z}{2}}

{\ displaystyle f_ {2} (z) = 1 - {\ frac {(1-i) z} {2}}}

{\ displaystyle f_ {2} (z) = 1 - {\ frac {(1-i) z} {2}}}

cu punctele de plecare în ansamblu $S_{0}=\{0,1\}$ ${\ displaystyle S_ {0} = \ {0,1 \}}$ ${\ displaystyle S_ {0} = \ {0,1 \}}$ .

Folosind în schimb perechi de numere reale, este descris de cele două funcții care constau din:

f_{1}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos {\frac {\pi }{4}}&-\sin {\frac {\pi }{4}}\\\sin {\frac {\pi }{4}}&\cos {\frac {\pi }{4}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}

{\ displaystyle f_ {1} (x, y) = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} \ cos {\ frac {\ pi} {4}} & - \ sin {\ frac {\ pi} {4}} \\\ sin {\ frac {\ pi} {4}} & \ cos {\ frac {\ pi} {4}} \ end {pmatrix}} {\ begin { pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle f_ {1} (x, y) = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} \ cos {\ frac {\ pi} {4}} & - \ sin {\ frac {\ pi} {4}} \\\ sin {\ frac {\ pi} {4}} & \ cos {\ frac {\ pi} {4}} \ end {pmatrix}} {\ begin { pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}}

f_{2}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos {\frac {3}{4}}\pi &-\sin {\frac {3}{4}}\pi \\\sin {\frac {3}{4}}\pi &\cos {\frac {3}{4}}\pi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle f_ {2} (x, y) = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} \ cos {\ frac {3} {4}} \ pi & - \ sin {\ frac {3} {4}} \ pi \\\ sin {\ frac {3} {4}} \ pi & \ cos {\ frac {3} {4}} \ pi \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle f_ {2} (x, y) = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} \ cos {\ frac {3} {4}} \ pi & - \ sin {\ frac {3} {4}} \ pi \\\ sin {\ frac {3} {4}} \ pi & \ cos {\ frac {3} {4}} \ pi \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}

Echivalența cu o bandă pliată ^[2]

Urmărind o iterație a curbei dragonului Heighway de la un capăt la altul, veți întâlni o serie de „viraje” de 90 °, unele spre dreapta și altele spre stânga. Pentru primele iterații, secvența curbelor dreapta (Dª) și stânga (Sª) este următoarea:

Prima iterație: Dª

A doua iterație: • Doña Doña • Sª

A treia iterație: Doña Doña • • • Sª Doña Doña • • • Sª Sª

A 4-a iterație: Dª Dª • • • Sª Sª Dª • • • Sª Sª Dª • • • Dª Dª • • Sª Sª Dª • • • Sª Sª.

Acest lucru sugerează următorul model: fiecare iterație se formează luând iterația anterioară, adăugând o Dª la sfârșit și apoi luând din nou iterația originală, rotind-o retrogradă, schimbând fiecare literă și adăugând rezultatul după Dª . Datorită similitudinii de sine arătate de curba dragonului , aceasta înseamnă în mod eficient că fiecare iterație ulterioară adaugă o fractie a ultimei iterații rotite în sens invers acelor de ceasornic.

La rândul său, acest model sugerează următoarea metodă de creare a modelelor de iterație a curbei Heighway prin plierea unei benzi de hârtie . Luați o fâșie de hârtie și împăturiți-o în jumătate spre dreapta. Îndoiți-l din nou la jumătate spre dreapta. Dacă redeschideți banda în acest moment, secvența de ture ar fi RRL, adică a doua dintre iterațiile de mai sus. Continuând să pliați din nou banda în jumătate spre dreapta, secvența de rotații a benzii (dacă se explică acum) este RRLRRLL - a treia iterație. Continuarea plierii benzii în jumătate spre dreapta ar crea iterații suplimentare ale dragonului Heighway (deși, în practică, banda devine prea groasă pentru a se plia brusc după patru sau cinci iterații).

Dimensiuni

În ciuda aspectului său complicat, Heighway Dragon Curve are o dimensiune simplă.

$Dimensiuni fractale dragon.png$

Rețineți că valorile $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ Și $1,5$ ${\ displaystyle 1,5}$ $1.5$ sunt limite și nu valori reale. Suprafața sa este, de asemenea, destul de simplă: dacă segmentul inițial este egal cu 1, suprafața sa este egală cu $\textstyle {\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {2}}}$ . ^[3] Acest rezultat a fost obținut datorită capacităților sale de teselare (a se vedea mai jos).

Dimensiunea sa fractală este $\textstyle {{\frac {\ln 2}{\ln {\sqrt {2}}}}=2}$ ${\ displaystyle \ textstyle {{\ frac {\ ln 2} {\ ln {\ sqrt {2}}}} = 2}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {{\ frac {\ ln 2} {\ ln {\ sqrt {2}}}} = 2}}$ . ^[3]

Și într-adevăr multe „ asemănări de sine ” pot fi văzute în această curbă. Cea mai evidentă este repetarea aceluiași modul cu o înclinație de 45 ° și cu un raport de reducere de $\textstyle {\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ sqrt {2}}}$ .

Limita (sau chenarul ) său are o lungime infinită, deoarece crește cu un factor mai mare decât $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ la fiecare iterație, dar dimensiunea fractală a fost aproximată numeric de Chang și Zhang ^[4] ^[5] $\log _{2}\left({\frac {1+{\sqrt[{3}]{73-6{\sqrt {87}}}}+{\sqrt[{3}]{73+6{\sqrt {87}}}}}{3}}\right)\approx 1,523627086202492.$ ${\ displaystyle \ log _ {2} \ left ({\ frac {1 + {\ sqrt [{3}] {73-6 {\ sqrt {87}}}} + {\ sqrt [{3}] {73 +6 {\ sqrt {87}}}}} {3}} \ right) \ aproximativ 1.523627086202492.}$ ${\ displaystyle \ log _ {2} \ left ({\ frac {1 + {\ sqrt [{3}] {73-6 {\ sqrt {87}}}} + {\ sqrt [{3}] {73 +6 {\ sqrt {87}}}}} {3}} \ right) \ aproximativ 1.523627086202492.}$

Care este rădăcina ecuației: $\textstyle {4^{x}(2^{x}-1)=4(2^{x}+1).}$ ${\ displaystyle \ textstyle {4 ^ {x} (2 ^ {x} -1) = 4 (2 ^ {x} +1).}}$ ${\ displaystyle \ textstyle {4 ^ {x} (2 ^ {x} -1) = 4 (2 ^ {x} +1).}}$