Curba Lévy

Curba balaurului lui Lévy

Curba Lévy (sau curba dragonului lui Lévy ) este o fractală asemănătoare care poate fi obținută începând cu un segment și construind triunghiul dreptunghi isoscel care are acest segment pentru hipotenuză . Linia inițială este apoi înlocuită de celelalte două laturi ale acestui triunghi, cele două linii noi formând fiecare baza pentru un alt triunghi isoscel în unghi drept și sunt înlocuite cu celelalte două laturi ale triunghiului respectiv. Procesul se repetă la nesfârșit. ^[1] Dacă, în loc să o menținem constantă, alternează orientarea triunghiurilor isoscele, obținem curba dragonului Heighway . ^[2] Datorită asemănării sale cu o versiune foarte ornamentată a literei "C", acest fractal ia și numele curbei C a lui Lévy .

Istorie

Această fractală a fost descrisă pentru prima dată și ale cărei proprietăți de diferențialitate au fost analizate de Ernesto Cesaro în 1906 ^[3] și Georg Faber în 1910 ^[4] , dar acum poartă numele matematicianului francez Paul Lévy, care a fost primul care și-a descris proprietăți de similitudine, precum și furnizarea unei construcții geometrice care o arată ca o curbă reprezentativă din aceeași clasă ca curba Koch. ^[5] .

Pași pentru construcție

Constructie

După cum sa menționat, construcția curbei începe cu o linie dreaptă. Un triunghi isoscel cu unghiuri de 45 °, 90 ° și 45 ° este construit folosind linia originală ca hipotenuză . Linia originală este apoi înlocuită de picioarele ) acestui triunghi. La al doilea pas, cele două linii noi formează baza pentru un alt triunghi isoscel drept și sunt înlocuite de celelalte două laturi ale triunghiului respectiv. Apoi, după două etape, curba capătă aspectul a trei laturi ale unui dreptunghi cu aceeași lungime ca linia inițială și înălțimea jumătății acesteia. La fiecare etapă ulterioară, fiecare segment de linie dreaptă din curbă este înlocuit de celelalte două laturi ale unui triunghi isoscel drept construit pe el. La pasul n curba este formată din 2 ⁿ Segmente, fiecare dintre ele fiind mai mic decât linia inițială cu un factor de 2 ^{n / 2} .

Construcție cu sistem L

Folosind un sistem Lindenmayer poate fi descris astfel: ^[2]

„Variabile” :	`F.`
„Constante” :	`+ -`
„Start” :	`F.`
„Reguli” :	`F → + F −− F +`

unde „ F ” înseamnă „trageți linia înainte”, „+” înseamnă „rotiți 45 ° în sensul acelor de ceasornic” și „-” înseamnă „rotiți 45 ° în sens invers acelor de ceasornic”. Curba fractală Lévy este limita acestui proces „infinit”.

Construcție IFS ^[2]

Dacă utilizați un sistem de funcții iterat (IFS), atunci construcția curbei este puțin mai simplă. Definim un set de două „reguli”. Să presupunem că triunghiul dreptunghiular isoscel construit inițial $L_{0}$ ${\ displaystyle L_ {0}}$ $L_ {0}$ este poziționat cu hipotenuza pe axa absciselor pentru a ocupa intervalul unitar, vârful dreptunghiului ocupă punctul de coordonate (1/2, 1/2). Apoi fiecare picior are lungime ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$ . Prin urmare, trebuie să redimensionăm triunghiul $L_{0}$ ${\ displaystyle L_ {0}}$ $L_ {0}$ a masura $r={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$ pentru a obține triunghiurile necesare stadionului $L_{1}$ ${\ displaystyle L_ {1}}$ $L_ {1}$ . Prin urmare, un triunghi trebuie rotit cu 45 °, în timp ce celălalt triunghi trebuie rotit cu -45 ° (adică în sensul acelor de ceasornic) și tradus cu 1/2 în ambele axe. $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Aceasta produce următoarele IFS:

$f_{1}(x)={\begin{bmatrix}0,5&\ -0,5\\0,5\ &0,5\end{bmatrix}}x$ ${\ displaystyle f_ {1} (x) = {\ begin {bmatrix} 0.5 & \ -0.5 \\ 0.5 \ & 0.5 \ end {bmatrix}} x}$ ${\ displaystyle f_ {1} (x) = {\ begin {bmatrix} 0.5 & \ -0.5 \\ 0.5 \ & 0.5 \ end {bmatrix}} x}$

redimensionează a doua $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , se rotește cu 45 °;

$f_{1}(x)={\begin{bmatrix}0,5&\ 0,5\\-0,5\ &0,5\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}0,5\\0,5\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle f_ {1} (x) = {\ begin {bmatrix} 0.5 & \ 0.5 \\ - 0.5 \ & 0.5 \ end {bmatrix}} x + {\ begin {bmatrix} 0.5 \\ 0,5 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle f_ {1} (x) = {\ begin {bmatrix} 0.5 & \ 0.5 \\ - 0.5 \ & 0.5 \ end {bmatrix}} x + {\ begin {bmatrix} 0.5 \\ 0,5 \ end {bmatrix}}}$

redimensionează a doua $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , se rotește cu -45 °;

Unde este $r={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$ este factorul de scară .

Atractorul acestui IFS va fi fractala Lévy, această fractală constă din două piese auto-similare care corespund celor două funcții din sistemul funcțiilor iterate.

În formulă folosind planul complex :

f_{1}(z)={\frac {(1-i)z}{2}}

{\ displaystyle f_ {1} (z) = {\ frac {(1-i) z} {2}}}

{\ displaystyle f_ {1} (z) = {\ frac {(1-i) z} {2}}}

f_{2}(z)=1+{\frac {(1+i)(z-1)}{2}}

{\ displaystyle f_ {2} (z) = 1 + {\ frac {(1 + i) (z-1)} {2}}}

{\ displaystyle f_ {2} (z) = 1 + {\ frac {(1 + i) (z-1)} {2}}}

din sistemul punctelor $S_{0}=\{0,1\}$ ${\ displaystyle S_ {0} = \ {0,1 \}}$ ${\ displaystyle S_ {0} = \ {0,1 \}}$ .

Proprietate

Dimensiunea Hausdorff a curbei Lévy este 2 (conține seturi deschise). Rezultat care poate fi dedus direct din construcția sa prin două omotezii de relație ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$ .
Limita sa are o dimensiune estimată la aproximativ 1,9340 ^[6] .
Curba Lévy țiglă planul ^[7] .
setați lungimea segmentului de origine egală cu 1, aria curbei este validă ${\frac {1}{4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}}}$ ^[7] .
Această curbă se poate forma un mozaic în sine (luo este de asemenea intui modul în care este construit) ^[8] .
Curba seamănă cu detaliile mai fine ale arborelui pitagoric în cazul particular al triunghiului dreptunghiular echilateral.
Dimensiunea Hausdorff a curbei C este egală cu 2 (conține seturi deschise), în timp ce limita are o dimensiune de aproximativ 1,9340 ^[1] .
Este un caz special al unei curbe de dublare a perioadei, o curbă de Rham .

Transformarea în curba dragonului lui Heighway

Construcția curbei Lévy (dragon) și a dragonului Heighway este foarte asemănătoare. În orice caz, puteți începe cu un triunghi isoscel dreptunghi și să înlocuiți acest triunghi cu două triunghiuri dreptunghiulare isoscel, astfel încât ipotenuza fiecărui triunghi nou să fie pe una dintre laturile egale ale vechiului triunghi. Diferența este modul în care aceste noi triunghiuri sunt poziționate în raport cu laturile triunghiului vechi. Pentru dragonul Lévy , ambii sunt poziționați „spre exterior”; pentru dragonul Heighway , unul este plasat în interior, în timp ce următorul este plasat pentru a indica exterior. Din cauza acestei asemănări, nu este surprinzător faptul că dragonul lui Lévy poate fi transformat în Heighway printr-o continuă transformare . De fapt, pentru fiecare $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ în intervalul [0,1] este definit următorul sistem de funcții iterate : ^[2]

$f_{1}(\tau )(x)={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&\ 0\\0\ &{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\cos(45^{\circ })&\ -\operatorname {sen}(45^{\circ })\\\operatorname {sen}(45^{\circ })&\ \cos(45^{\circ })\end{bmatrix}}x$ ${\ displaystyle f_ {1} (\ tau) (x) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} & \ 0 \\ 0 \ & {\ frac {1} { \ sqrt {2}}} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} \ cos (45 ^ {\ circ}) & \ - \ operatorname {sen} (45 ^ {\ circ}) \\\ operatorname {sen} (45 ^ {\ circ}) & \ \ cos (45 ^ {\ circ}) \ end {bmatrix}} x}$ ${\ displaystyle f_ {1} (\ tau) (x) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} & \ 0 \\ 0 \ & {\ frac {1} { \ sqrt {2}}} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} \ cos (45 ^ {\ circ}) & \ - \ operatorname {sen} (45 ^ {\ circ}) \\\ operatorname {sen} (45 ^ {\ circ}) & \ \ cos (45 ^ {\ circ}) \ end {bmatrix}} x}$

$f_{2}(\tau )(x)={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&\ 0\\0\ &{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\cos(45^{\circ }+180^{\circ }\tau )&\ -\operatorname {sen}(45^{\circ }+180^{\circ }\tau )\\\operatorname {sen}(45^{\circ }+180^{\circ }\tau )&\ \cos(45^{\circ }+180^{\circ }\tau )\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}(0,5+0,5\tau )\\(0,5-0,5\tau )\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle f_ {2} (\ tau) (x) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} & \ 0 \\ 0 \ & {\ frac {1} { \ sqrt {2}}} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} \ cos (45 ^ {\ circ} +180 ^ {\ circ} \ tau) & \ - \ operatorname {sen} (45 ^ {\ circ} +180 ^ {\ circ} \ tau) \\\ operatorname {sen} (45 ^ {\ circ} +180 ^ {\ circ} \ tau) & \ \ cos (45 ^ {\ circ} + 180 ^ {\ circ} \ tau) \ end {bmatrix}} x + {\ begin {bmatrix} (0,5 + 0,5 \ tau) \\ (0,5-0,5 \ tau) \ end { bmatrix}}}$ ${\ displaystyle f_ {2} (\ tau) (x) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} & \ 0 \\ 0 \ & {\ frac {1} { \ sqrt {2}}} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} \ cos (45 ^ {\ circ} +180 ^ {\ circ} \ tau) & \ - \ operatorname {sen} (45 ^ {\ circ} +180 ^ {\ circ} \ tau) \\\ operatorname {sen} (45 ^ {\ circ} +180 ^ {\ circ} \ tau) & \ \ cos (45 ^ {\ circ} + 180 ^ {\ circ} \ tau) \ end {bmatrix}} x + {\ begin {bmatrix} (0,5 + 0,5 \ tau) \\ (0,5-0,5 \ tau) \ end { bmatrix}}}$

Este ${\cal {{A}(t)}}$ ${\ displaystyle {\ cal {{A} (t)}}}$ ${\ displaystyle {\ cal {{A} (t)}}}$ singurul atractor al sistemului iterat de funcții corespunzător valorii t. Atunci ${\cal {A}}$ ${\ displaystyle {\ cal {A}}}$ ${\ displaystyle {\ cal {A}}}$ este o funcție continuă de la intervalul [0,1] la spațiul seturilor compacte cu topologia Hausdorff , unde ${\cal {{A}(0)}}$ ${\ displaystyle {\ cal {{A} (0)}}}$ ${\ displaystyle {\ cal {{A} (0)}}}$ egal cu dragonul lui Lévy e ${\cal {{A}(1)}}$ ${\ displaystyle {\ cal {{A} (1)}}}$ ${\ displaystyle {\ cal {{A} (1)}}}$ egal cu dragonul Heighway. ^[2]

Notă

^ ^a ^b http://mathworld.wolfram.com/LevyFractal.html ]
^ ^a ^b ^c ^d ^e Copie arhivată , pe ecademy.agnesscott.edu . Accesat la 14 septembrie 2018 (arhivat din original la 18 mai 2011) .
^ E. Cesaro, Fonctions continues sans dérivée , Archiv der Math. und Phys. 10 (1906) p. 57-63
^ G. Farber, Über stetige Funktionen II , Mathematische Annalen , 69 (1910) p. 372-443.
^ Paul Lévy, Curbe și suprafețe plane sau spațiale care constau din părți similare întregului , în Gerald A. Edgar (ed.), Classics on Fractals , reeditare, Addison-Wesley , 1993 [1938] , ISBN 0-201-58701 - 7 .
^ Duvall, P. și Keesling, J., Dimensiunea Hausdorff a graniței dragonului Lévy , 22 iulie 1999
^ ^a ^b The pavage du plan par la courbe de Lévy, Dubuc Serge & Li Jun , pe cat.inist.fr . Adus la 14 septembrie 2018 (arhivat din original la 4 martie 2016) .
^ Pe 2-reptile din avion, Ngai, 1999

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe curba Lévy

linkuri externe

Giorgio Pietrocola, Levy's DRAGON și creșterea sa "C" , pe Tartapelago , Maecla , 2007. Adus pe 3 ianuarie 2019 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[mathworld.wolfram.com-1] ttp://mathworld.wolfram.com/LevyFractal.html ]

[ecademy.agnesscott.edu-2] Copie arhivată , pe ecademy.agnesscott.edu . Accesat la 14 septembrie 2018 (arhivat din original la 18 mai 2011) .

[3] E. Cesaro, Fonctions continues sans dérivée , Archiv der Math. und Phys. 10 (1906) p. 57-63

[4] G. Farber, Über stetige Funktionen II , Mathematische Annalen , 69 (1910) p. 372-443.

[5] Paul Lévy, Curbe și suprafețe plane sau spațiale care constau din părți similare întregului , în Gerald A. Edgar (ed.), Classics on Fractals , reeditare, Addison-Wesley , 1993 [1938] , ISBN 0-201-58701 - 7 .

[6] Duvall, P. și Keesling, J., Dimensiunea Hausdorff a graniței dragonului Lévy , 22 iulie 1999

[Dubuc-7] The pavage du plan par la courbe de Lévy, Dubuc Serge & Li Jun , pe cat.inist.fr . Adus la 14 septembrie 2018 (arhivat din original la 4 martie 2016) .

[2-reptiles-8] Pe 2-reptile din avion, Ngai, 1999

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]