Homeomorfism
În matematică și mai exact în topologie , un homeomorfism (din grecescul homoios = similar și morphe = formă, care nu trebuie confundat cu homomorfismul ) este o funcție specială între spațiile topologice care modelează ideea intuitivă de „deformare fără rupere”. .
Noțiunea de homeomorfism este foarte importantă în topologie. Două spații topologice Și conectate printr-un homeomorfism se numesc homeomorfe : din punct de vedere topologic, acestea sunt practic aceleași. În special, au aceiași invarianți topologici .
Definiție
Un homeomorfism între două spații topologice Și este o funcție continuă care este și bidirecțional și al cărui revers este, de asemenea, continuu. [1]
O definiție echivalentă este următoarea: un homeomorfism este o corespondență unu-la-unu între spații topologice astfel încât un subset din este deschis dacă și numai dacă imaginea sa este în . Pe scurt, este o corespondență unu-la-unu între spații topologice care induce o corespondență unu-la-unu între spațiile deschise ale acestora.
Dacă există un homeomorfism între Și , cele două spații sunt numite homeomorfe . Relația homeomorfismului dintre spațiile topologice este o relație de echivalență .
Exemple
Intervalele liniei reale
Lasa-i sa fie două numere reale. Functia
este un homeomorfism. De fapt, este continuu, unu-la-unu și invers
este, de asemenea, continuu. Orice interval închis și limitat este deci homeomorf la interval . Din proprietatea tranzitivă rezultă atunci că intervalele închise și delimitate sunt toate homeomorfe între ele.
În mod similar, intervin deschise toate sunt homeomorfe unele cu altele. Nu numai asta: un interval deschis este homeomorf pentru întreaga linie reală prin intermediul funcției tangente
care este unu-la-unu, continuu și cu invers continuu ( funcția arctangentă ). Prin urmare, limitarea nu este un invariant topologic: un spațiu delimitat, cum ar fi poate fi homeomorf pentru un spațiu nelimitat, cum ar fi .
Proprietate
Două spații homeomorfe se bucură exact de aceleași proprietăți topologice ( separabilitate , conexiune , conexiune simplă , compactitate ...). În limbajul teoriei categoriilor , se spune că un homeomorfism este un izomorfism între spațiile topologice.
Notă
- ^ M. Manetti , p. 45 .
Bibliografie
- Edoardo Sernesi, Geometria 2 , Bollati Boringhieri, Torino 2006, ISBN 88-339-5548-6 .
- Marco Manetti, Topologia , Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7 .
Elemente conexe
Alte proiecte
- Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre homeomorfism
linkuri externe
- ( EN ) Homeomorfism / Homeomorfism (altă versiune) , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Controlul autorității | GND ( DE ) 4352383-3 |
---|