Distribuție normală inversă

În teoria probabilității distribuția inversă normală (sau Gauss invers ) este o distribuție continuă de probabilitate dependentă de doi parametri definiți pe numere reale pozitive. Este folosit printre altele în Modelul Liniar Generalizat .

Definiție

Funcțiile de densitate ale unor distribuții normale inverse.

O distribuție inversă normală cu parametri $\lambda >0$ ${\ displaystyle \ lambda> 0}$ $\ lambda> 0$ Și $\mu >0$ ${\ displaystyle \ mu> 0}$ $\ mu> 0$ are ca funcție densitatea probabilității

$f(x)=\left({\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\displaystyle -{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}}$ ${\ displaystyle f (x) = \ left ({\ frac {\ lambda} {2 \ pi x ^ {3}}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} e ^ {\ displaystyle - { \ frac {\ lambda (x- \ mu) ^ {2}} {2 \ mu ^ {2} x}}}}$ $f (x) = \ left ({\ frac {\ lambda} {2 \ pi x ^ {3}}} \ right) ^ {{{\ frac {1} {2}}}} e ^ {{\ displaystyle - {\ frac {\ lambda (x- \ mu) ^ {2}} {2 \ mu ^ {2} x}}}}$

pentru x > 0.

Caracteristici

Valoarea așteptată a unei variabile aleatoare X inverse normale este

\operatorname {E} (X)=\mu

{\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ mu}

\ operatorname {E} (X) = \ mu

.

Varianța este

\operatorname {Var} (X)={\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}

{\ displaystyle \ operatorname {Var} (X) = {\ frac {\ mu ^ {3}} {\ lambda}}}

\ operatorname {Var} (X) = {\ frac {\ mu ^ {3}} {\ lambda}}

.

de aici deviația standard

\sigma ={\sqrt {\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}

{\ displaystyle \ sigma = {\ sqrt {\ frac {\ mu ^ {3}} {\ lambda}}}}

\ sigma = {\ sqrt {{\ frac {\ mu ^ {3}} {\ lambda}}}}

iar coeficientul de variație este

\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}

{\ displaystyle \ operatorname {VarK} (X) = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {\ lambda}}}}

\ operatorname {VarK} (X) = {\ sqrt {{\ frac {\ mu} {\ lambda}}}}

.

Coeficientul de asimetrie este indicat cu

\operatorname {v} (X)=3{\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}

{\ displaystyle \ operatorname {v} (X) = 3 {\ sqrt {\ frac {\ mu} {\ lambda}}}}

\ operatorname {v} (X) = 3 {\ sqrt {{\ frac {\ mu} {\ lambda}}}}

.

Funcția caracteristică este dată de

\phi _{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}is}{\lambda }}}}\right)}

{\ displaystyle \ phi _ {X} (s) = e ^ {{\ frac {\ lambda} {\ mu}} \ left (1 - {\ sqrt {1 - {\ frac {2 \ mu ^ {2} este} {\ lambda}}}} \ right)}}

\ phi _ {{X}} (s) = e ^ {{{\ frac {\ lambda} {\ mu}} \ left (1 - {\ sqrt {1 - {\ frac {2 \ mu ^ {2} este} {\ lambda}}}} \ right)}}

.

în timp ce funcția generatoare de moment a inversului normal invers este

m_{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}s}{\lambda }}}}\right)}

{\ displaystyle m_ {X} (s) = e ^ {{\ frac {\ lambda} {\ mu}} \ left (1 - {\ sqrt {1 - {\ frac {2 \ mu ^ {2} s} {\ lambda}}}} \ right)}}

m _ {{X}} (s) = e ^ {{{\ frac {\ lambda} {\ mu}} \ left (1 - {\ sqrt {1 - {\ frac {2 \ mu ^ {2} s } {\ lambda}}}} \ right)}}

.

Teorema

Suma de vc invers invers identic

Lasa-i sa fie $X_{1},\dots ,X_{n}$ ${\ displaystyle X_ {1}, \ dots, X_ {n}}$ $X_ {1}, \ dots, X_ {n}$ toate variabilele aleatorii distribuite ca invers normal cu parametri $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ Și $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , apoi media lor ${\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$ ${\ frac {1} {n}} \ sum \ limits _ {{i = 1}} ^ {{n}} X _ {{i}}$ este din nou un invers invers normal, dar cu parametri $n\lambda$ ${\ displaystyle n \ lambda}$ $n \ lambda$ Și $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ .

Elemente conexe

Distributie normala

Controlul autorității	Tezaur BNCF 57814 · LCCN (EN) sh88003549 · BNF (FR) cb122822892 (data)

Portalul de matematică

Portalul de statistici